2025版新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数余弦函数的图象导学案新人教A版必修第一册

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】(1)了解利用单位圆作正弦函数图象的方法．(2)会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象．(3)会用正弦函数、余弦函数的图象解决简洁问题．题型1正弦函数、余弦函数的图象的初步相识【问题探究1】(1)在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T(x0，sinx0)，进而画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象？(2)依据函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sinx，x∈R的图象吗？(3)你认为应当利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？例1(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象描述正确的是()A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到B．都是对称图形C．都与x轴有多数个交点D．y＝sin(－x)的图象与y＝sinx的图象关于x轴对称学霸笔记：对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，驾驭两者的形态相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1给出下列命题：①y＝sinx，x∈R的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cosx，x∈R的图象关于直线x＝π成轴对称；③y＝sinx，y＝cosx的图象不超过两直线y＝1和y＝－1所夹的范围．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3题型2利用“五点法”作三角函数的图象【问题探究2】在确定正弦函数的图象形态时，应抓住哪些关键点？例2用“五点法”作出下列函数的图象：(1)y＝－sinx－1，x∈[0，2π]；(2)y＝－2cosx＋3，x∈[0，2π].题后师说用五点法作函数y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0，2π]的图象的一般步骤跟踪训练2用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：(1)y＝－sinx；(2)y＝2－cosx.题型3正弦函数、余弦函数图象的应用例3函数y＝2sin一题多变将本例中的“sinx”改为“cosx”，再求解．题后师说利用正弦函数、余弦函数图象解三角不等式的步骤跟踪训练3(1)在[0，2π]内不等式sinx<－32A．(0，π)B．(π3C．(4π3，(2)函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－12随堂练习1.已知点(5π6，m)在余弦曲线上，则A．32B．－32C．12．用五点法作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A．0，π2，π，3π2C．0，π，2π，3π，4πD．0，π3．依据函数y＝sinx的图象，可得方程sinx＝0的解为()A．x＝2kπ(k∈Z)B．x＝kπ(k∈Z)C．x＝π2＋kπ(k∈Z)D．x＝3π2＋2kπ(k4．函数y＝-cos课堂小结1.正弦函数、余弦函数图象的作法及初步相识．2．“五点法”作函数的图象．3．利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式(方程)．5．4.1正弦函数、余弦函数的图象问题探究1提示：(1)如图，在[0，2π]上任取一个值x0，依据正弦函数的定义可知y0＝sinx0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sinx0)．如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)．(2)把y＝sinx，x∈[0，2π]的图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sinx，x∈R的图象．(3)sin(x＋π2)＝cosx函数y＝sinx(x∈R)的图象向左平移π2个单位长度得到y＝cosx(x∈例1解析：A.正弦函数、余弦函数的图象是将[0，2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A选项错误；B.正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称，故都是对称图形，故B选项正确；C.由函数图象可知，图象与x轴有多数个交点，故C选项正确；D.正弦函数是奇函数，故y＝sin(－x)＝－sinx，故其图象与y＝sinx关于x轴对称，故D选项正确．答案：BCD跟踪训练1解析：由于正弦曲线的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，可得y＝sinx，x∈R的图象关于点P(π，0)成中心对称，即①正确；由于余弦曲线的对称轴为x＝kπ，k∈Z，可得y＝cosx，x∈R的图象关于直线x＝π成轴对称，即②正确；由于－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，可得y＝sinx，y＝cosx的图象不超过两直线y＝1和y＝－1所夹的范围，即③正确．故正确的个数为3个．故选D.答案：D问题探究2提示：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3例2解析：(1)①列表：x0ππ32πy－1－2－10－1②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．(2)由条件列表如下：x0ππ32π－2cosx－2020－2－2cosx＋313531描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．跟踪训练2解析：列表：x－π－π0ππ－sinx010－102－cosx32123例3解析：由2sinx－1≥0得sinx≥12画出y＝sinx的图象和直线y＝12可知sinx≥12的解集为y＝sinx图象与直线y＝12的交点及上方部分的集合，即函数定义域为答案：{x|一题多变解析：由2cosx－1≥0得cosx≥12，画出y＝cosx的图象和直线y＝1视察图象可知函数的定义域为{x|2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈跟踪训练3解析：(1)画出y＝sinx，x∈[0，2π]的草图如下：因为sinπ3＝32，所以sin(π＋π3sin(2π－π3)＝－3即在[0，2π]内，满意sinx＝－32的是x＝4π3或x可知不等式sinx<－32的解集是(4(2)作出y＝cosx，x∈[0，2π]与y＝－12的图象(图略)，由图象可知，函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－1答案：(1)C(2)2[随堂练习]1．解析：因为点(5π6，m)在余弦函数y＝cosx的图象上，所以m＝cos5π答案：B2．解析：由五点作图法可知，