积分变换文字总结

积分变换文字总结第1篇积分变换文字总结第1篇我们称\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t为拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一个特殊的傅里叶变换。我们可以直接有定义得出：

\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\betat}]

我们有：

拉普拉斯变换也满足如下几个性质：

这个微分性质可以用来求一些特殊函数的拉普拉斯变换，比如：

f(t)=e^t\Rightarrowf(0)=1,f'(t)=e^t\Rightarrow\mathcal{L}[e^t]=s\mathcal{L}[e^t]-1\Rightarrow(s-1)\mathcal{L}[e^t]=1所以\mathcal{L}[e^t]=\frac{1}{s-1}

积分性质也能得到一个非常重要的计算反常积分的方法：\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\mathrm{d}t=\int_s^{+\infty}F(s')\mathrm{d}s'取s=0有

我们还有性质:

我们可以由位移性质得到一个比较重要的拉普拉斯变换}}：

\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s+a}]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s-1+(1+a)}]=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{[s-(-1-a)]-1}\}=e^{-(1+a)t}e^t=e^{-at}

即：\mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}

不同于傅里叶变换，我们并没有直接给出拉普拉斯逆变换的公式，不过我们说过有\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\betat}]所以我们可以得到：

注意奇点和所要用的函数并不一样！

我们可以用此性质来求微分方程：

如：y''+2y'-3y=e^{-t}，y(0)=0,y'(0)=1

令\mathcal{L}[y(t)]=Y(s)\Rightarrows^2Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=\frac{1}{s+1}\RightarrowY(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s-1)(s+3)}\Rightarrow...

剩下的就很好处理了。比起用傅里叶变换来做，拉普拉斯变换更简单，因为一个是对函数的要求更低，另一个是求逆变换就变成了求留数。而傅里叶逆变换除了查表基本上就是积分的过程。

更新：拉普拉斯变换是适用于卷积定理的：

一定要背的几个公式!!!!

1.求变换,出现e^{at}f(t)这种形式的.

\mathcal{F}[e^{jat}f(t)]=F(\omega-a)

\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)

2.求逆变换出现e^{st}F(s)这种形式的

\mathcal{L}^{{-1}}[e^{st_0}F(s)]=f(t+t_0)

\mathcal{F}^{{-1}}[e^{j\omegat_0}F(\omega)]=f(t+t_0)

3.出现t^nf(t)这种形式的

\mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-j)^n}F^{(n)}(\omega)

\mathcal{L}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-1)^n}F^{(n)}(s)

变换的几个记忆方法:(我自己编的)

1.变换或者逆变换的时候一定要“横线守恒”:

什么意思呢?我们来看Fourier变换\mathcal{F}[f]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{\color{red}{-}j\omegat}\mathrm{d}t与逆变换:\mathcal{F}^{-1}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omegat}\mathrm{d}\omega发现没有假如积分里面没有横线(指数函数的负号)那么外面就有一根横线(分数的横线)

2.变换与逆变换要遵守_负号守恒_:

我们单独看里面的积分核:

\mathcal{F}\leftrightarrowe^{\color{red}{-}j\omegat}与\mathcal{F}^{\color{red}{-1}}\leftrightarrowe^{j\omegat}

所以我们有:\mathcal{L}\leftrightarrowe^{\color{red}-st}即\mathcal{L}[f]=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t

不仅如此,我们来看这么几个性质:

1.\mathcal{F}[e^{at}f(t)]=F(\omega\color{red}-a)\leftrightarrow\mathcal{F}^{\color{red}{-1}}[e^{\omegat_0}F(\omega)]=f(t+t_0)

\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s\color{red}-a)\leftrightarrow\mathcal{L}^{\color{red}{-1}}[e^{st_0}F(s)]=f(t+t_0)

2.\mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(\color{red}-j)^n}F^{(n)}(\omega)\leftrightarrow\mathcalF^{\color{red}{-1}}[\omega^{n}F(\omega)]=\frac{1}{(j)^n}f^{(n)}(t)

\mathcal{L}[t^nf(t)]=\frac{1}{(\color{red}{-}1)^n}F^{(n)}(s)\leftrightarrow\mathcalL^{\color{red}{-1}}[s^nF(s)]=\frac{1}{1^n}f^{(n)}(t)(f(0)=f^{(i)}(0)=0)

我们可以发现它的负号均守恒.

3.积分性质

\mathcal{F}[\int_{-\infty}^tf(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{j\omega}F(\omega)

\mathcal{L}[\int_0^tf(t)\mathrmdt]=\frac{F(s)}{s}

\mathcalL[\frac{f(t)}{t}]=\int_s^{+\infty}F(s)\mathrmds=-\int_0^sF(s)\mathrmds

4.j与s

一定要记住:\mathcal{F}一定会出现j,\mathcal{L}一定不会j.

5.其他，见：

积分变换文字总结第2篇如果f_{T}(t)满足Dirichlet条件

1）有限个第一类间断点

2）有限个极值点

则f_T(t)可以被展开为傅里叶级数：f_T(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cosn\omega_0t+b_n\sinn\omega_0t)

其中\omega_0=\frac{2\pi}{T},a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\cosn\omega_0t\mathrm{d}t,b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\sinn\omega_0t\mathrm{d}t

运用欧拉公式，我们可以得到：

f_T(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{-jn\omega_0t}其中C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{jn\omega_0t}\mathrm{d}t

令A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\cos\theta_n=\frac{a_n}{A_n},\sin\theta_n=-\frac{b_n}{A_n}则f_T(t)=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\theta_n)

我们称A_n为振幅，n\omega_0为频率，\theta_n为相位

对比系数我们可以得到|C_n|=\frac{A_n}{2},\mathrm{arg}C_n=\theta_n

令C_n=F(n\omega_0)，则我们称|F(n\omega_0)|为幅谱，F(n\omega_0)为频谱

我们注意到上述展开针对的是有周期的函数，那么无周期的函数呢？或者说f_T(t)当T\rightarrow\infty时。这就推广出了傅里叶变换的概念。

但先让我们给出积分变换的概念：

积分变换文字总结第3篇令F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau则f(t)=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omegat}\mathrm{d}\omega

我们称F(\omega)为f(t)的傅里叶变换，记作F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)].f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]为F(\omega)的傅里叶逆变换。

我们称f(t)与F(\omega)构成傅氏积分对。为了行文方便记作f(t)\simF(\omega)

由于绝对可积条件太强了，很多函数不满足这个条件，比如条件很好的三角函数都不满足，所以我们引入了脉冲函数\delta(t)（注：这是一个广义函数，真正要探究它的性质要涉及到泛函分析，但我们是工程数学，所以我们将省去数学上的严谨性，所以也请数学大佬勿喷！！）

我们定义\delta(t)为一个满足\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\varphi(t)\mathrm{d}t=\varphi(0)

我们可以从这个定义上得到一个比较重要的性质：

还可以得到：

我们在电路里会学到阶跃函数u(t)=\begin{cases}0~~t<0\\1~~t