一元二次方程（知识点串讲）（原卷版）

专题12一元二次方程考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-=4，④x2=0，⑤x2-+3=0A．①② B．①④⑤ C．①③④ D．①②④⑤2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）xax2+bx+c﹣﹣A．3＜x＜ B．＜x＜ C．＜x＜ D．＜x＜3．（2019·广东中考模拟）方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、2、5B．2、3、5C．2、﹣3、﹣5D．﹣2、3、54．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=0考查题型一应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（2019·吉林中考模拟）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．. B．. C． D．.2．（2019·四川中考模拟）若是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A．0 B．2 C．-2 D．±23．（2017·重庆中考模拟）若方程是一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．–14．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0考查题型二一元二次方程的根的应用方法1．（2019·四川中考模拟）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-22．（2019·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣13．（2018·河北中考模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）A．9 B．3 C．0 D．﹣3知识点2：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步骤移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；【注意】：1）当时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程，变形后的结果正确的是()A． B． C． D．2.．（2018·浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=103.．（2015·湖北中考真题）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】1)若b≥0，方程有两个实数根。（若b>0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）2)若b<0，方程无解。1．（2019·江苏中考模拟）一元二次方程根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于32．（2019·四川中考模拟）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（）A．， B．， C．， D．，3．（2018·福建中考模拟）设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（）A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β方法三：公式法（常用解法）一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没有交点用公式法解一元二次方程的一般步骤：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：最后求出x1，x21．（2019·广西中考模拟）关于的方程有实数根，则满足（）A． B．且 C．且 D．2．（2019·福建中考模拟）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况()A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根 D．无实数根3．（2019·新疆中考模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A． B． C．2或3 D．或考查题型三一元二次方程根的判别式的应用方法1．（2019·河南中考模拟）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤且k≠1 B．k≤ C．k＜且k≠1 D．k＜2．（2015·四川中考真题）方程(m-2)x2-3-mx+A．m>52 B．m≤52且m≠2 C．m≥3 D3．（2019·安徽中考模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤14．（2018·广东中考模拟）关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．且 B． C．且 D．5．（2019·湖北中考模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程的一般步骤：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解1．（2019·湖州市南浔区南浔锦绣实验学校中考模拟）若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或42．（2019·长沙市南雅中学中考模拟）三角形两边长分别为4和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为（）A．14 B．18 C．19 D．14或193．（2013·宁夏中考真题）一元二次方程的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和24．（2018·四川中考模拟）已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．13 B．11或13 C．11 D．12方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是和，则和+＝；＝考查题型四一元二次方程根与系数关系的应用1．（2017·湖北中考模拟）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B． C． D．2．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10 B．9 C．8 D．73．（2017·广东中考模拟）关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(

)A．-1或5 B．1 C．5 D．-14.（2019·湖北中考真题）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（）A． B． C． D．05．（2019·广州市第六十五中学中考模拟）已知a、b为一元二次方程的两个根，那么的值为（）A．-7 B．0 C．7 D．11知识点4：一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。考查题型五用一元二次方程解决平均增长率问题1．（2018·河南中考模拟）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝3152．（2013·甘肃中考真题）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=483．（2018·安徽中考模拟）某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是A． B．C． D．考查题型六用一元二次方程解决“每每型”问题1．（2018·海南中考模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（）A．5元B．10元C．20元D．10元或20元2．（2019·忻城县民族中学中考模拟）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为元时，宾馆当天的利润为10890元.则有()A． B．C． D．3.（2019·山东中考模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？考查题型七用一元二次方程解决几何图形问题1．（2019·广西中考模拟）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=322（2019·广西中考真题）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（）A． B．C． D．3．（2012·广东中考模拟）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（）A． B．C． D．4．（2019·安徽中考模拟）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2＝570 B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570考查题型八用一元二次方程解决传播问题1．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目