高等应用数学 课件全套 董文雷 第0-12章 预备知识-概率论

第0章预备知识§0.1集合§0.2初等代数§0.3数列§0.1集合

二、常用数集

三、集合的表示方法

四、集合间的关系内容提要

五、集合的运算

一、集合的概念与性质

第一节多元函数MultipleFunction一、集合的概念与性质1.集合的概念集合是数学中的一个基本概念，一般地，我们把由某些确定的对象构成的整体称为集合.构成集合的每个对象都称为这个集合的元素．

例如（1）某学校大学一年级学生的全体构成一个集合，其中，每个学生都是这个集合的元素．（2）偶数的全体构成一个集合，每个偶数都是这个集合的元素．（3）某手机里的所有APP构成一个集合，每个APP都是这个集合的元素，如图0-1所示．（4）王者荣耀里的“战士”构成一个集合，每个“战士”都是这个集合的元素，如图0-2所示．图0-1图0-2第一节多元函数MultipleFunction2.集合的性质

（1）确定性

对于给定的集合，集合中的元素是确定的．

例如：“一些高个子学生”、“一些很小的数”不能构成集合，因为整体对象不确定．

（2）互异性

在同一个集合中，集合的每个元素都是不同的对象．

（3）无序性

对于给定的集合，集合的元素不考虑顺序关系

顺序不同,元素相同的集合看作是同一个集合．解:（1）和（2）不构成集合，因为它们的对象是不确定的；（3）和（4）构成集合，因为它们的对象是确定的．

第一节多元函数MultipleFunction二、常用的数集集合的常用表示方法有列举法、描述法．三、集合的表示方法例2用描述法表示下列集合．（1）大于2小于6的实数组成的集合．（2）由平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．四、集合间的关系第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction五、集合的运算§0.2初等代数

二、代数式的常用运算公式

三、分式

四、一元n次方程内容提要

一、实数的常用运算性质

第一节多元函数MultipleFunction初等代数

一、实数的常用运算性质

二、代数式的常用运算公式

三、分式分式的一些概念和性质与分数类似，只有在分母不等于零时才有意义.所以在研究分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时，都不要忘记在分式有意义的前提下，才能考虑这些问题分析:只有在分式有意义的前提下，才能研究分式的值.因此，只有当分母不为零且分子为零时，分式的值才为零.§0.3数列

二、等差数列

三、等比数列内容提要

一、数列的概念

1.数列的定义定义:按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项,排在第二n位的数称为这个数列的第n项.通常用带数字下标的字母来表示数列的项，于是数列的一般形式可以写成数列也可简单记作

一、数列的概念

1.集合（1）集合的概念和性质（2）集合的表示方法（3）集合的运算2.实数的常用运算性质（1）指数幂的运算性质（2）对数的运算性质3.代数式的常用运算公式（1）平方差公式,完全平方公式,二项展开式等（2）分式的运算小结4.数列（1）等差数列的通项公式和前n项和公式（2）等比数列的通项公式和前n项和公式第一章函数、极限与连续

§1-1函数

§1-2极限的概念

§1-3极限的运算

§1-4无穷小与无穷大

§1-5函数的连续性

函数的概念

函数的三种表示方法

函数的几种性质

反函数

初等函数§1-1函数内容提要1．函数的定义在工程技术和经济领域的研究中，常常遇到不同的量，例如时间、速度、温度、成本、利润等等．这些量可以分为两大类：其中，保持某一数值不变的量称为常量；而在一定范围内可以取不同数值的量称为变量。函数的概念一引例1【银行存款】银行的存款本金A0，年利率为r，t年末A0将增值为At，若以年为期来计算利息，则一年末的本利和；两年末的本利和；

……类推之，年末的本利和。由上述例子可以看出，我们在研究事物的变化时，通过对客观事物的分析，建立各因素之间的关系式，这种关系式通过数量关系揭示事物的变化和发展规律，这就是我们中学已学过的函数，函数描述了变量之间的某种依赖关系。定义1设x

和y是两个变量，D是实数集R的某个子集。按照函数关系f（对应法则）：如果对任意，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记作，称D为该函数的定义域，x为自变量，y为因变量。当自变量x取数值时，与x0对应的因变量y的值称为函数在点x0处的函数值，记为，或，当x取遍D的各个数值时，对应的变量y取值的全体组成的数集称为这个函数的值域。注意关于函数概念的进一步说明有以下两点：（2）函数两要素：函数的定义域D和函数关系f。函数的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y则是由函数关系f确定的。也就是说，只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的。例如，函数和函数

就是两个不同的函数，因为它们的定义域不同；（1）函数记号：在函数的表达式中，f

()表示函数关系，而表示对应于x的函数值，两者是有区别的；解例1已知函数，求。2.分段函数引例3【脉冲电压函数】在电子技术中以为周期的脉冲电压函数表示为引例4【阶梯函数】在自动控制系统中的阶梯函数表示为其中a，c为常数。像这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表示，称这样的函数为分段函数。它表示一个函数，不是几个函数的组合。引例5【符号函数】如图1-1所示图1-13．函数的表示法在函数的定义中，并没有具体规定用什么方法表示函数。为了能更好地研究函数，就应该采用适当的方法将其表示出来，函数的表示法通常有三种，即解析式法、表格法和图像法。4．函数的几种特性（1）有界性若存在正数M，使得函数在某区间I

上恒有，则称函数在I上有界，否则称函数在I上无界。若函数在I上有界，则其图像在直与之间，显然，若函数有界，则其界不唯一。例如，正弦函数在区间内有界，因为对均成立；函数在内无界，而上有界。（2）单调性若对于区间I内任意两点，当时，有（或），则称函数在

I上单调增加（或单调减少），此时区间I称为单调增区间（或单调减区间）。（3）奇偶性设函数的定义D

关于原点对称，若对任意都成立：，则是D上的偶函数；，则是D上的奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。研究函数奇偶性的用途在于：如果知道一个函数是偶函数或奇函数，则知其图像的一半即可知其全部，比如常见的偶函数和奇函数。（4）周期性对于函数，若存在不为零的数T，对任意，均有

，且恒成立，则称为I上的周期函数，称T为的周期，通常所说的周期是指它的最小正周期5．反函数基本初等函数与初等函数二1．平移和伸缩通过平移能产生新的函数，例如的图像是将的图像向上平移2个单位，的图像是将的图像向右平移4个单位，如图1-2所示。图1-2向右平移：用代替，将图像右移个单位形成函数；向左平移：用代替，将图像左移个单位形成函数；向上平移：用代替，将图像上移个单位形成函数；向下平移：用代替，将图像下移个单位形成函数。一般地，已知曲线，则有：（1）平移（2）伸缩用一个常数k乘以函数，是函数的图像沿垂直方向扩大或缩小k倍形成函数；负号表示该图像关于轴对称2．复合函数引例5【原油扩散面积】油轮在海洋发生原油泄漏事故，假设原油污染海水的面积A是被污染圆形水面的半径r

的函数：。同时由于原油在海面上不断扩散，则污染半径r

又是时间t

的函数，因此，原油扩散面积与时间的函数关系是定义2设y

是u的函数，u是x

的函数，当x在某一区间上取值时，相应的u使y有意义，则与

可构成复合函数，此时u为中间变量，称y是x的复合函数。一般地，如果，则称为f

和φ这两个函数的复合函数。称为外层函数，它是因变量y与中间变量

u的函数关系；为内层函数，它是中间变量u与自变量

x的函数关系。解例2函数是由复合而成的，而函数是由复合而成的。要认识复合函数的结构，必须要清楚其复合过程，也就是要理解如何对复合函数进行分解。通常采取由外层到内层分解的办法，将拆分成若干基本初等函数或简单函数的复合。习惯上我们将基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数成为简单函数。解例3将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）解例4将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（1）（2）3．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成，并能用一个解析式来表示的函数，称为初等函数。否则称为非初等函数。例如，多项式函数是由幂函数经过有限次四则运算得到的初等函数。函数，

也是初等函数。但工程上常用的分段函数绝大部分不是初等函数。因为在其定义域上不能用一个式子来表示。1.函数的连续性知识目标：了解函数的概念；掌握函数的表示方法；掌握基本初等函数、初等函数、复合函数；小结

数列的极限

函数的极限§1-2

极限的概念内容提要

极限的性质一、数列的极限引例1【庄子名言】我国战国时期哲学著作《庄子》中有这样的记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这句话的意思是：有一尺长的木棍，每天截取他的一半，永远截不完．它可以用数列表示为每天木棍的长度是一个变量，随着天数n的增大，木棍的长度越来越短，天数n无限增大时（记为），木棍的长度会无限趋近于常数0。引例2【割圆术】我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。先作圆内接正六边形，其面积记为A1；再作圆内接正十二边形，其面积记为A2；循此下去，圆内接正边形的面积记为An，于是得到一系列圆内接正多边形的面积从几何直观上不难看出，随着n

的增大，对应的圆内接正多边形的面积与圆的面积A越来越接近（即），当n无限增大时（记为），圆内接正边形的面积An就会无限地接近圆的面积A。这种思想就是刘徽提出的割圆术——割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。定义1对于数列，当项数n无限增大时（记为），数列的项xn无限地趋近于一个确定的常数A，那么称A

是数列当时的极限，或称数列收敛于A，记作例如，在引例1中，引例2中。如果数列不趋近于任何确定的常数，即数列没有极限，则称数列发散。解例1某企业对生产设备的投资额是3万元，每年的折旧费为该设备账面价格（即以前各年的折旧费用提取后余下的价格）的，那么这一设备的账面价格（单位：万元）逐年用数列表示为随着年份n无限增大，账面价格无限接近于0，即解例2判断下列无穷数列的极限：（1）（2）（3）（1）通过观察，当n

无限增大时，数列通项无限趋近于常数1，所以1是数列的极限，即（2）通过观察，当

n无限增大时，数列通项xn

总等于3，所以3是数列{3}的极限，即（3）数列按项数展开应该是显然，当

n无限增大时，xn摆动于1，0，-1三个数之间，并不趋于某个确定的常数，所以数列没有极限。1．时函数的极限二、函数的极限定义2设函数在时有定义，对于函数，当无限增大时（记为），函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作定义2中是指x

的绝对值无限增大，它既可以沿正方向无限增大（），也可以沿负方向无限增大（），相应的函数值都会无限地趋近于常数A。如图1-3所示，，既有也有。图1-3但有时x的变化趋向只沿其中一种方向（或）时，相应的函数值也无限地趋近于一个常数A，则称A是函数当或时的极限。记作或，也可记作或。例如，，而，所以，不存在，如图1-4所示。图1-4解例4利用图形说明下列极限是否存在，若存在，则求出极限（1）（2）图1-5图1-6解（1）由图1-5可知则（2）由图1-6可知而所以，不存在。解2．时函数的极限引例1【影子长度】某人晚上沿直线走向路灯正下方的一点．由常识知道，此人越靠近目标，其影子长度越短，当人越来越接近目标（）时，其影子长度趋于0（）。设灯高为H，人高为h，人与灯正下方一点的距离为x，人影的长度为y。如图1-7所示，当人向灯下不断地移动时，即，人影的长度y趋于0，且有，由此解得人影的长度y

是x

的函数：，其中是常数。图1-7当x

越来越趋近于0时，函数值y

也越来越趋近于0，即

，也会是当人逐渐走向灯的正下方时，人影的长度逐渐为0。1．时函数的极限二、函数的极限定义6设函数在x0点附近有定义（），对于函数，当时，函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作或。定义3中是指x

趋于x0的方式是任意的，它包含两种情况：。如果当（或）时，函数的极限存在，则称为函数的左极限（右极限），记作或（）。左极限和右极限反映了自变量从x0一侧变化时函数的极限，称为单侧极限。解例4函数在时的极限存在吗？为什么？

不存在。因为而，所以不存在。解例5考察函数当时的极限。由图1-8可知因为，所以不存在。图1-8三、极限的性质定义4称实数集为点a的邻域，记作，a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。数集称为点a的去心δ

邻域，记作。性质1（唯一性）若，则极限A唯一。性质2（局部有界性）若，则存在常数及

，当时，有。性质3（保号性）若且（或），则存在常数，当时，有（或）。1.极限的概念知识目标：了解极限的概念；小结§1-3极限的运算内容提要

极限的四则运算法则

极限运算举例

两个重要极限极限的四则运算法则一设，则：1．2．3．4．

（k为常数）5．类型一（代入法）解例1求：由例1可知，对于多项式，当时的极限有当有意义时，例2求：解类型二当时，例3求：解因为，则不能用商的极限四则运算法则，而

，由无穷大与无穷小的关系，可。例4求：解类型三（型）当时，通过变换化为类型一求极限。例5求：解例6求：解类型四（型）将型经过通分转化为型求极限。例7求：解类型五（型）分子、分母同除以分子、分母的最高次幂，并利用无穷小求极限。一般地，对于分式有理函数，当时，极限有如下结论：其中，m，n为非负整数。二、两个重要极限1．第一重要极限下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-1所示。表1-1由表1-1可以看出，当x越接近于0，函数的值就越接近于1，由此可以证明此公式的特征是：（2）正弦符号后面的变量与分母一致，这个一致的变量趋于0。（1）分子、分母的极限均为0，即型；我们形象地将公式表示为（方框表示同一变量）。例8求下列函数的极限：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）例9已知半径为R的圆内接正n边形的面积，求该圆的面积A。解该圆的面积为2．第二重要极限或下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-2所示。表1-2由上表可以看出，当时，函数无限地趋近于无理数e，即若令，则上面极限变为，所以第二个重要极限公式表示为或此公式的特征是：（1）函数的极限形式为“”型；例10求下列函数的极限：（1）（2）（2）在自变量的变化过程中，函数可表示为，且无穷小×无穷大=1。则极限等于e。解（1）（其中）（2）（其中）可以看出，若无穷小×无穷大=常数k，则极限等于。例11已知，求k值。解例12求：解法一因为时，无穷小kx与无穷大的乘积等于2k，所以极限应等于，即，于是。解法二1.极限的运算知识目标：掌握极限的四则运算法则；掌握两个重要极限；小结

无穷小与无穷大

无穷小的性质

无穷小的比较§1-4无穷小与无穷大内容提要无穷小一1．无穷小的概念引例1【电容器放电】电容器放电时其电压随时间的增加而逐渐减少并无限趋近于0。引例2【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少，当清洗次数无限增大时，衣物上的污渍量就会无限趋近于0。当然，为了保护您的身体健康，健康专家建议我们少用或者最好不使用洗涤剂。定义1在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量X称为无穷小量，简称无穷小，即变量X是这一变化过程中的无穷小例如，，所以为时的无穷小；再如，所以为时的无穷小。解例1讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例2【手机销售】一款新手机上市，其销售量与时间的函数关系为：请预测长期的销售量。长期的销售量应理解为当时的销售量，即由此可见，随着时间的推移人们买此款手机的可能性将趋于零，故长期的销售量为无穷小。在自变量的同一变化过程中，无穷小满足以下性质：性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积是无穷小。性质3有界变量与无穷小的乘积是无穷小。2．无穷小的性质解例3求极限：（1）（2）（1）因为当时，x2为无穷小，而有界。所以，由性质3可知（2）因为当时，为无穷小，而有界。所以，由性质3可知3．函数极限与无穷小的关系在自变量的某一变化过程中，函数以

A为极限的充要条件是可以表示为极限A与一个无穷小的和，即定义2在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作。无穷大二1．无穷大的概念如果变量X取正值无限增大，则称变量X为正无穷大，记作

；如果变量X取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作。解例4讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例5【银行存款】假设某人在银行存入10000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？由题设条件可得，t年后的本利和为随着存款时间越长，即时，本利和变为即当存款时间无限延长时，本利和将无限增大。2．无穷小与无穷大的关系在自变量的变化过程中，若变量X是无穷大，则是无穷小；反之，若变量X（）是无穷小，则是无穷大，即变量X（）是无穷小是无穷大例如，因为，所以。（1）若，则称α是比β高阶的无穷小，记作；定义3设

α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小。无穷小的比较三1．无穷小比较的定义（2）若，则称α是比β低阶的无穷小；（3）若，则称α是比β同阶无穷小；（4）若，则称α是比β等阶无穷小，记作α～β；当时，下列函数之间为等价无穷小：2．等价无穷小的应用求型函数极限时，利用以上常见的等价无穷小替换可以使计算过程简化，结论如下：设自变量在同一变化过程中，无穷小，，若存在，则解例6问当时，与相比是什么阶的无穷小？所以，当时，。因为当时，与都是无穷小，且解例7求下列函数的极限：（1）（2）（3）（1）因为当时，，，所以（2）因为当时，，，所以（3）因为当时，，，所以1.无穷大与无穷小知识目标：理解无穷小与无穷大概念；小结

连续与间断

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质§1-5函数的连续性内容提要函数连续的概念一为了准确地描述函数连续的概念，我们首先引入函数增量的概念，如图1-9所示。图1-9设函数在x0点及其附近有定义，我们把x0附近的x记作，并称为自变量由x0变到x时自变量的增量（或改变量），这时相应地函数值由变到，我们称

为函数值的增量（或改变量），记作，即引例1【植物的生长高度】大家都知道植物的生长高度h是时间t的函数，而且h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的变化很微小时，植物的生长高度h的变化也很微小，即当时，

。引例2【图形得出的启示】观察图1-9不难看出，函数在点x0处连续时，越小，点N越靠近点M，对应的函数增量也越小；当

时，点N沿曲线无限接近于点M，这时。从以上两个引例可以看出，函数在某点连续具有以下数学特征：即因为，所以当时，，这时上式可以写为根据连续的定义，函数在点处连续必须满足三个条件：定义1设函数在点x0及其近旁有定义，若或

，则称函数在点x0连续。点称为函数的连续点。注意（1）在x0点有定义，且存在；（2）在x0点极限存在，即；（3）。如果函数在点x0处不满足连续的条件，则称函数在点x0

不连续或间断，点x0称为函数的不连续点或间断点。解因为在0点有定义，且，而，所以

。例1判断函数在点的连续性。由定义可知，函数在点连续。解例2判断函数在点的连续性。因为在1点有定义，且，又因为，所以在1点右连续；而，所以在点不左连续，从而函数在点不连续。解例3讨论函数在定义域内连续性。设任意一点。因为。所以，由定义1可知，函数在点x0连续。由点x0的任意性可得，函数在定义域内连续。基本初等函数的连续区间就是其定义域。根据极限的四则运算法则和函数连续的定义，得出如下结论：（1）若函数和在点x0处连续，则函数，

，在点x0处也连续。初等函数的连续性二（2）若函数在点x0处连续，而函数在对应的点u0处也连续（其中），则复合函数在点x0处连续。根据结论2可得即

连续的复合函数求极限时，极限符号可以与函数符号交换顺序。例4求极限：解例5求极限：解因为，所以。一切初等函数在其定义区间内是连续的。初等函数的连续区间就是它的定义区间。求初等函数定义区间内某一点的极限值等于求该点的函数值。例6求下列函数的极限：（1）（2）解（1）因为是初等函数，时函数有定义，所以（2）因为是初等函数，时函数有定义，所以闭区间上连续函数的性质三性质2（介值定理）若函数在闭区间上连续，且

，对于与之间的任意数C，则在开区间内至少存在一点ξ，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线与水平直线至少相交于一点，如图1-10所示有三个这样的相交点，即。图1-10性质3（零点定理）若函数在闭区间上连续，且

，则在开区间内至少存在一点ξ，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线，当两端点不在x轴同侧时与x至少相交于一点，如图1-11所示。图1-11例7证明方程在区间内至少有一个实根。解令，它在闭区间上连续，并且，。所以由零点定理可知，在区间内至少存在一点ξ，使得，即方程在区间内至少有一个实根。1.函数知识目标：理解函数连续的概念；了解闭区间上连续函数的性质.小结第一节导数的概念基础部

一、导数的定义

二、求导举例内容提要三、导数的几何意义四、函数可导与连续的关系一、导数的定义

一、导数的定义1.引例

首先讨论在历史上与导数概念的形成密切相关的两个问题。由导数的定义知，求函数的导数可以分为以下三个步骤：(1)求增量：；(2)算比值：；(3)取极限：.应用这三个步骤，我们来求出几个基本初等函数的导数，得出的结果以后可作为公式使用.

二、求导举例三、导数的几何意义四、函数可导与连续的关系导数的实质:增量比的极限导数的几何意义:切线的斜率函数可导一定连续，但连续不一定可导求导数最基本的方法:由定义求导数小结§2.2导数的求导法则

一、函数和、差的求导法则

二、函数乘积的求导法则内容提要

三、函数商的求导法则

四、复合函数的求导法则

五、高阶导数

二、函数乘积的求导法则

三、函数商的求导法则

四、复合函数的求导法则

五、高阶导数导数的四则运算法则复合函数的求导法则高阶导数的定义和运算§2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数及其求导法

二、对数求导法内容提要

三、参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数及其求导法隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出即得到所求的隐函数的导数.

二、对数求导法

三、参数方程所确定的函数的导数隐函数求导法则:直接对方程两边求导参数方程求导§2.4函数的微分

一、微分的定义二、微分的几何意义内容提要

三、微分基本公式及微分的运算法则

一、微分的定义二、微分的几何意义MNT）PQ

三、微分基本公式及微分的运算法则微分的概念微分的计算§3.1微分中值定理

一、罗尔(Rolle)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理内容提要

三、柯西(Cauchy)中值定理

一、罗尔(Rolle)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

三、柯西(Cauchy)中值定理§3-2洛必达法则

一、型和

型未定式

二、其他类型的未定式内容提要一、型和

型未定式二、其他类型的未定式1.型和

型未定式（1）理解并掌握会洛必达法则（2）会利用洛必达法则求极限小结2.其他类型的未定式（1）会利用洛必达法则求其他未定式的极限§3-3函数的单调性与极值

一、函数单调性的判定法

二、函数的极值及其求法内容提要一、函数单调性的判定法二、函数的极值及其求法1．函数极值的定义2．函数极值的判定和求法1.函数单调性的判定法（1）掌握函数单调性的判别法。（2）会判断函数的单调区间。小结2.函数的极值及其求法（1）了解函数极值的定义（2）会求函数极值（3）掌握函数极值的判定方法§3-4最大值和最小值问题

最大值和最小值问题内容提要最大值和最小值问题

最大值和最小值问题会结合实际，利用上节所学知识求最大最小值问题小结§3-5曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘

一、曲线的凹凸性与拐点

二、函数图像的描绘内容提要一、曲线的凹凸性与拐点第一节多元函数MultipleFunction二、函数图像的描绘1.曲线的凹凸性与拐点（1）了解曲线凹凸性的定义。（2）掌握求函数拐点的方法。小结2.函数图像的描绘（1）会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。（2）会利用函数特性，描绘函数图像。§3-6曲线的曲率

一、曲率的概念

二、曲率的计算公式内容提要

三、曲率圆一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、曲率圆1.曲率的概念了解曲率的概念小结2.曲率的计算公式会求给定方程任意一点的曲率3.曲率圆了解曲率圆的定义，会利用曲率圆解决生活中的问题第4章不定积分

§4.1不定积分的概念§4.2基本积分公式和运算法则§4.3换元积分法§4.4分部积分法§4.1不定积分的概念

一、原函数

二、不定积分的概念

三、不定积分的几何意义内容提要

四、不定积分的性质一、原函数二、不定积分的概念三、不定积分的几何意义图4-1四、不定积分的性质1.原函数（1）理解原函数的概念，会求一些函数的原函数（2）掌握原函数存在定理2.不定积分的概念（1）理解不定积分的概念（2）会求一些函数的不定积分3.不定积分的几何意义小结（1）理解不定积分的几何意义（2）会利用不定积分的几何意义求曲线方程4.不定积分的性质掌握不定积分的性质，利用其求不定积分§4-2基本积分公式和运算法则

一、基本积分公式二、不定积分的运算法则内容提要一、基本积分公式二、不定积分的运算法则1.基本积分公式熟记基本积分公式，会求一些函数的不定积分2.不定积分的运算法则（1）理解不定积分运算法则（2）会利用直接积分法求不定积分，掌握常用的恒等变形小结§4.3换元积分法

一、第一类换元法(凑微分法)

二、第二类换元法内容提要利用不定积分的直接积分法所能计算的积分是十分有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的求法．最常用的积分方法是换元积分法，简称换元法.换元积分法就是通过适当的变量替换，使所求积分在新变量下具有积分基本公式的形式或用直接积分法求解．一、第一类换元法(凑微分法)例1：求

分析：因为被积函数是一个复合函数，基本积分公式中没有这样的公式，所以不能直接应用公式解

因为函数是和复合成的，所以例1的解法特点是引入新变量，从而将原积分化为积分变量为的积分，再用积分基本公式求解．第一节多元函数MultipleFunction定理4-1若，且有连续函数，则这种先“凑”微分，再作变量代换的方法，称为第一类换元积分法，也称为凑微分法.一般地，我们可以得到如下的结论：第一类换元积分法的特点是被积函数由两部分组成，即复合函数和(复合函数内层函数的导数)，换元(凑微分)是将内层函数进行换元(凑微分).第一换元积分是复合函数微分的逆运算.在使用凑微分过程中，最常见的有以下类型：例2求不定积分（1）（2）（3）（4）,

.

（1）因为，所以解（2）因为，所以（4）因为，所以（3）因为，所以解利用凑微分法求不定积分需要一定的技巧，而且往往要作多次试探，初学者不要怕失败，应注意总结规律性的技巧，当运算熟练以后，变量代换和回代这两个步骤，可省略不写，直接按得出结果.第一节多元函数MultipleFunction

二、第二类换元法

在第一类换元积分法中，是选择新变量u代换被积函数中的可微函数进行换元.但有些积分，如等，却不易用上述方法代换，我们设想，如果令进行换元，那么则积分一般地，我们可以得到如下的结论：定理4-2若

是连续函数，

有连续的导数,其反函数存在且可导，又设,则有换元公式：这种换元的方法称为第二类换元积分法.第一节多元函数MultipleFunction常见的第二类换元积分方法有：（一）简单根式代换例6求下列不定积分：（1）（2）解（1）因为被积函数含有根号，为了去掉根号，可先换元，令，即，于是

，所以（2）令，，则，于是有再回代，得出注使用第二类换元积分法的关键是如何选择函数.如果被积函数中含有根式时，一般可作变量代换去掉根式.*（二）三角代换例7求下列不定积分：（1）（2）

（3）

（1）为了去掉根号，考虑变量代换构造直角三角形(如图4-2)，则

，邻边，于是因为，所以，由图4-2，显然有代入上面的结果，有图4-2（2）为了去掉根号，考虑作变量代换(对于的情形可类似考虑)，构造直角三角形(如图4-3)，则，于是有根据图4-3，显然有，，回代得出图4-3，其中（3）对于()，构造直角三角形(如图4-4)，作变量代换，则斜边.于是有图4-4注如果被积函数含有可分别作，，的变换去掉根式，这种代换统称为三角代换.第二类换元积分法是变量代换法，主要有三角代换，根式代换和倒代换，适用于积分式中有根式的.1.第一类换元法(凑微分法)理解第一类换元法，会求带有复合函数的不定积分小结2.第二类换元法理解第二类换元法，会求带有根式的不定积分§4.4分部积分法

一、分部积分法的概念

二、不同类型被积函数的分部积分法内容提要一、分部积分法的概念二、不同类型被积函数的分部积分法1.分部积分法的概念理解分部积分法的概念2.不同类型被积函数的分部积分法掌握三种类型被积函数所对应的分部积分法小结第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.1定积分的概念

一、引例

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义内容提要

四、定积分的性质定积分在几何学、力学、工程技术以及物理学等领域中都有广泛的应用．虽然随着计算机的高度发展和广泛应用，积分的计算已逐渐被各种程序和软件包所代替．然而，积分学中的基本思想和方法仍是解决实际问题的一种有力工具．本章将从两个实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质及计算方法，最后介绍定积分的应用．第一节多元函数MultipleFunction

一、引例1.曲边梯形的面积

设函数y=f(x)

在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则称由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的平面图形为曲边梯形。

在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)

在区间[a,b]上是变动的，因此它的面积不能直接计算。但是，由于曲边梯形的高f(x)

在区间[a,b]上是连续变化的，所以在一个很小的区间上它的变化很小，近似于不变。所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯形）。把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值。y=f(x)Oyabx所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。分割越细，误差越小。当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。Oyabxy=f(x)确定曲边梯形面积的具体步骤如下：（1）分割（化“整”为“零”）abx

y=f(x)yO（2）近似（以“粗”代“精”）abx

y=f(x)yO（3）求和（合“零”为“整”）（4）取极限（去“粗”取“精”）abx

y=f(x)yO2.变速直线运动的路程（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限

从上面两个引例可以看出，虽然两个问题的背景不同，但解决问题的思路和方法是相同的，都是用“分割、近似、求和、取极限”这四步解决，最后都统一为求具有相同结构的一种特定和式的极限.还有许多实际问题也是用这种方法解决，我们抛开这类问题的实际意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出下述定积分的概念.

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义图5-3图5-3

四、定积分的性质由定积分定义知，定积分是和式的极限，由极限的运算法则，容易推出定积分的一些简单性质．以下假设所给函数在所给出区间上都是可积的．性质1

函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即显然，这个性质可以推广到有限个函数。

性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即这两个性质是定积分的线性性质。

性质3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则

注：值得注意的是不论a，b，c的相对位置如何，上面的等式总成立。

如右图所示，a<c<b

时，等式同样成立。奇偶函数的定积分如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为奇函数，则如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为偶函数，则－aOaxy－aOaxy

性质4

如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则y1Oa

b

x

性质5（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则

性质6（积分估值定理）设M

与m

分别是f(x)

在区间[a,b]上的最大值与最小值，则yMmOa

b

xy=f(x)

性质8（积分中值定理）如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得这个公式称为积分中值公式。积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ

)的一个矩形的面积。由积分中值公式所可得这个公式称为函数f(x)

在区间[a,b]上的平均值。Oaxbxyf

(x)y=f(x)第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.2微积分基本定理

一、引例

二、变上限的定积分内容提要三、微积分基本定理

根据定积分的定义，求定积分的值是非常复杂的，下面我们通过讨论变速直线运动的路程函数与速度函数之间的联系，导出计算定积分的公式——牛顿—莱布尼兹公式．

一、引例

二、变上限的定积分

设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，x

为区间[a,b]上的一点。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍连续，因此定积分存在。这个定积分的写法有一个不方便之处，就是

x

既表示积分上限，又表示积分变量。为避免混淆，我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成

对于其他的变限积分函数利用定积分的补充定义或定积分的可加性均可化为变上限函数．如．

定理1（原函数存在定理）若函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，且其导数三、微积分基本定理

定理2如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而F(x)

是f(x)

的一个原函数，则有上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。

微积分基本公式进一步揭示了定积分和不定积分之间的联系，它把定积分问题转化为求不定积分的问题，即定积分的值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量.这给定积分计算找到了一条捷径，大大降低了定积分的计算复杂性.例3计算定积分解例4计算定积分解例5已知，求解第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.3定积分的换元积分法和分部积分法

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法内容提要由牛顿-莱布尼茨公式可知，计算连续函数的定积分最终归结为求它的原函数。这说明连续函数的定积分计算与不定积分计算有着密切的联系。在不定积分的计算中