高考数学二轮复习资料03 数列教学案

【2013考纲解读】

1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法,

并能根据递推公式写出数列的前几项.

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答

简单的问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决

简单的问题.

【知识网络构建】

概念、，，””的关系|一|简单.的递推数列

.S数

等差数列~|一|通项、附〃项的和|一列

数的

列应

等比数列|一|通项、前〃项的和I-用

数列求和一|裂项法、错位相减法-

【重点知识整合】

一、等差数列与等比数列

1.S与&的关系

、，fs,刀=1，

在数列｛a｝中，S="+z2H---\~an,从而a

[S>5n—1JnN2.

2.等差数列性质

如果数列｛aj是公差为d的等差数列，则

小\,r\,「!nn~n石i+2

z=r

(1)劣=包+(77-1)d,Sn2d=•

(2)对正整数力，n,p,q,劣+为=&+<3*^/+〃=0+q,劣+a=2&0%+z?=2p

3.等比数列性质

如果数列｛aj是公比为q的等比数列，则

ai—qai—a„q

⑴a尸&尸，—ai—q

nn\,q=1.

(2)对正整数〃，n,p,q,a”a〃=@0为仁>勿+〃=77+<7，n=2p.

4.等差、等比数列S的性质

若等差数列的前〃项和为S,则S,即一£,见一瓯，…为等差数列；等比数列的前〃

项和为S,则在公比不等于一1时，£,Sm,&四，…成等比数列.

5.等差、等比数列单调性

等差数列的单调性由公差d的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定.

二、数列求和及数列应用

1.常用公式

等差数列的前〃项和，等比数列的前〃项和，

1+2+3H——Fn=n—,

n±

13+23+-+/73=

2.常用裂项方法

1_1__1__

‘加+1n??+r

1JI__M

J'm+g«+<1s

，71_]/11、

1-2vt—1??+L15

31J11、

（）4二一112M+1/

七〃+1/"二L1_1_____l__gg

（??n»-1-2~nn-1-12,-1-'

3.数学求和的基本方法

公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

4.数列的应用

等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型.

【高频考点突破】

考点一等差数列和等比数列的基本运算

等差数列等比数列

通项公式4=8+(77-1)d4=打尸（o#0）

na\+an

L2小—I&\—da「anq

S⑴小，s—-…

前〃项和

nn-

—77al卜2d(2)q=l,Sn=nai

例1、设等比数列｛aj的前〃项和为S.已知a2=6,6ai+a3=30,求a〃和S„.

解：设｛a｝的公比为°,

aq=6,

由题设得

6ai+ai(7=30.

31=3,0=2,

解得

0=2,q=3.

当a=3时，q=2时，E〃=3X2"T,S=3X(2〃-1)；

当a=2,0=3时，&=2X3"—，S=3"—l.

【变式探究】S为等差数列｛a｝的前〃项和，£=&,&=1,则氏=.

解析：根据已知条件，得生+a+2+主=0，而由等差数列性质得，6+禽=&+&5,

所以，01+包=0，又条=1，所以心=-1.

答案：-1.

考点二等差、等比数列的判定和证明

数列｛a｝是等差或等比数列的证明方法：

(1)证明数列｛a｝是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明am—a.(〃eN*)为常数；

②利用中项性质，即证明2a0=a0T+a〃+i(〃22).

(2)证明｛aj是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明d("CN*)为一常数；

3，n

②利用等比中项，即证明双=4—1a+1(〃三2).

2n4

例2、已知数列｛a｝和｛4｝满足国=出4+1=42+〃，b=a——+-

nnoy

(1)当/=1时，求证：对于任意的实数A,数列｛a.｝一定不是等差数列；

(2)当儿=一3时，试判断数列｛4｝是否为等比数列.

2

解：⑴证明：当哂=1时，6=1,O2=Z+La3=z(z+l)+2=x+x+2.

假设数列｛4)是等差数列，

由6+心=2位，得上二+上+3=2(1+1),

即上—1+1=0,/=-3«,.,•方程无实根.

故时于任意的实数3数列｛4｝一定不是等差数列.

e1,112〃|4

当力=一片时，a+\=~~^n+n,b=a——-r~.

zznonyn

n+4

bn+\=

39

...当”芦7，数列出｝是以加一7薛首项，一㈱1公比的等比数列;

当瞋=视1,数列｛既｝不是等比数列.

考点三等差、等比数列的性质

等差数列等比数列

*

(1)若〃、〃、p、,且*

(1)若勿、〃、p、q£N,且/+〃=0+0,

m+n=p+q,

贝!Ja•a=a•a

性贝mnpqn

mnpqn-m

质(2)a=aq

(2)a=a+(〃一勿)dnm

nm

(3)5,5-5,S—S,…仍成等比数列(SWO)

mmn

(3)S,S—S,S—S,…仍成等差数列

mm

例3、等差数列｛aj的首项为a”公差为d,前〃项和为S,则“小|aj”是“S的最小

值为S,且S无最大值”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：依题意，当心6时，薮列｛久｝是递噌的数列，无论S的取值如何，与的最小值

为$，且与无最大值；反过来，当S1:的最小值为$，且S：无最大值时，如当G=1，d=Q

时，此时工的最小值为$,且S”无最大值,但不满足心⑷综上所述，“心上「是黄的最小

值为$,且S：无最大值”的充分不必要条件.

答案：A

考点四数列求和

数列求和的方法技巧：

(1)转化法：

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几

个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：

这是在推导等比数列的前〃项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列4｝

的前〃项和，其中｛a〃｝,｛4｝分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：

利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限

项的和.

例4、等比数列｛aj中，araz,as分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且功,如

a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若数列｛4｝满足：-=a〃+(—1)气n%,求数列｛4｝的前2〃项和瓯.

解：(D当公=3时，不合题意；

当6=2时，当且仅当8=6,8=1$时，符合题意；

当6=10时，不合题意.

因此S=2,6=6,必=1$.所以公比g=3,

故4=2・3丁】.

(2)因为既=4+(—

=2。3”=+(—l)fl(ln2—ln3)+(—

所以52*=历+B+…+如

=2(1+3+—1+1—1+...+(—l)2B](ln2—ln3)+[—1+2—3+…+

(-1)2"2M]1H3

=2x+Mln3=3)+«ln3—1.

【变式探究】等比数列｛aj的各项均为正数，且2ai+3a2=1,as=93236.

⑴求数列｛aj的通项公式；

(2)设6〃=log3ai+log3a2H---Flogsa。，求数列｛<｝的前〃项和.

解：(1)设数列｛&｝的公比为名

由啬=9勿戊得啬=9W，所以

由条件可知0>0,故q=~

O

由2©+36=1,得勿]+36g=1,得

故数列｛〃"｝的通项公式为4=*.

（2）瓦1=10器4]+1唯公+...+10g3flM

=_（1+2+…+”尸-卓.

4.1_2_J1、

故工一-切+厂一弋―布/・

111II1-'…1、I11、1,11、、一2打

■~-Fz--1一一2[i1-T）+iv7—习）+…+1------TT/尸JFT-

bib2bnI，2，2y%?i+rn+1

所以敌列击的前”项和为一由.

考点五数列与函数、不等式

例5、设6>0,数列｛a｝满足4=6,a产列.

⑴求数列｛aj的通项公式；

⑵证明：对于一切正整数〃,2&^6+1+1.

解：（1）：6=»0,a=

n4-1十〃-1

1,1«-1

令C=~9贝UC=v+TC^-p

nQnuun

①当匕=1时，Q=l+j-i，且Ci=L=J=l

Cl\D

•.•｛G｝是首项为1,公差为1的等差数列，

・・・G=l+(”-1)x1=小于是凸=?=%这时4=1;

4外

11，，1、广，11,11

②当6W1时,+E=Z(C"T+E)'且C】+E=Z+E=^~-b

｛以十廿力是首项为7~,公比为）的等比数列，

\—bb—bb

•c+'=—____.（1）〃T由乌+，=_____i____得a=-~一b-

••以十1—6b-bY，出a〃十1—6-b\一

1,b=l

・・3.n=\n~b6

l-bn

（2）证明:由⑴得，当匕=1时,4=1,24劲门+1=2且成立，

„1一■—H先］）3：1入力月

当6=1时,a^~—2j<6;I*1+lco：L^—<^^1+1,

l—bnn1—bn

而1—匕”=（1—6）（1+$+62+…

又方>0,

故只需证：2汕八36广1+1）（1+6+炭+…+方丁】），保）

而（6"-：+1）（1+6+炉+.-.+/-二+6"-］）=（楞，+炉”-：++/-1）+（尸-：+力力-二+6+］）

=（2+1）+（中-】+6）+…+@丁】+方丁】）之26"+2/+…+2/=2就％

•'•（※:，式成立，原不等式成立.

【难点探究】

难点一等差数列的通项、求和的性质

例1、（1）已知｛2｝为等差数列，其公差为一2,且切是为与卷的等比中项，S为｛a｝的

前〃项和，〃£N*,则So的值为（）

A.-110B.-90C.90D.110

⑵设数列如是公差不为0的等差数列,囱=2且箕,氏,如成等比数列，则数列｛a｝

的前〃项和Sn=（）

n777n5力

A-T+TB-I+T

2

n3n2।

C.万+t工-D.n+n

【答案】⑴D（2）A

【解析】（1）由£=心・念，d——2,得［6—12>=

（6—4）（6—16）,解之得6=20,・・・$0=10x20+兰产（一2）=110.

（2）根据6，包，63成等比数列求出公差.根据已知得（2+4©;=2（2+124,解得户

故其前“项和只能是选项A.注意等差数列中$=-4乐+珈中，H=<

【点评】在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这

两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方

程思想的运用.

难点二等比数列的通项、求和的性质

例2(1)已知数列｛a｝满足log3a+l=log3a+i(〃WN*)且/+&+a=9,则念+@7

+㈤的值是（）

1

A.-5B.一二

5

1

C.5D.7

5

（2）已知各项均为正数的等比数列｛4｝,2H3=5,8H9=10,贝1J31•2.....@9=

【分析】（1）根据数列满足：ogw4+l=：ogw4-】（力且0+&+%=9可以确定数列｛4｝

是公比等于3的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可通过必+%+恁=9求出名+?

+G的值.（2）根据等比中项求解.

【答案】（1）A（2）250/

【解析】由log必+1=1峥4-1（代＞0,得4-]=3%,所以数列｛4｝是公比等于3的

等比数列，的+?+8=

@+oi+a6）x3W=3S,所以log｝as+a-+ag）=­log：35=-5.

（2）由等比数列的性质知6位包=9径）,2=丞=5,aqag=（aq）q=咫=10，所以

=50T,所以•…,差=4号=（值出产=250班.

【点评】等比数列中有关系式2=不一"（如心*）,其中g为公比，这个关系式可以看做推

为

广的等比数列的通项公式，联a产am（Tlm,〃GN*）,当勿=1时就是等比数列的通项公式.

难点三等差、等比数列的综合问题

例3、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等

比数列伍｝中的"、"、bs.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）数列｛M的前n项和为S”求证：数歹"S+|1是等比数列.

【分析】（1）由条件可以先求得数列｛4｝的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出

bn,（2）充分结合等比数列的定义不难证明.

【解答】（1）设成等差数列的三个正数分别为a—4a,a+d.

依题意，得a—d+a+a+d=15.解得a=5.

所以伉｝中的如口助依次为7—410,18+4

依题意，有（7—中（18+初=100,解得d=2或d=-13（舍去）.

故｛4｝的第3项为5,公比为2.

5

由k=bi•22,即5=6i•22,解得bi=~.

所以｛4｝是以a为首项，2为公比的等比数列，

其通项公式为bn=--2〃T=5•2“7.

2—2〃

455

(2)证明：由(1)得数列｛4｝的前〃项和S=———=5・2〃-2-彳，即3+彳=5・25

1—z44

2

所以S+MI，七!=*S=2.

因止匕［s+||是以I为首项，公比为2的等比数列.

难点四数列求和及其应用

例4、在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃+2个数构成递增的等比数列，将这n

+2个数的乘积记作北，再令为=建北，

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn=tana,tana+i,求数列出｝的前n项和Sn.

【分析】本题考查等比和等差数列，时数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识,

考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力.

【解答】⑴设小Z…，小:构成等比数列，其中h=l，4-2=100,则

•…/_]寸月一2，①

=r>j-2,tn-r...,tz,^i9②

①X②并利用CT-=1叭1型91+2),得

Z^=(fi%-2)・(f偏-1)•…乜-心》(k2八)=1。*"F「・4=lg-="+2，位1.

(2)由题意和(1)中计算结果，知

^=tan(n+2)-tan(M+3)>?!>b

另一方面，利用tanl=tan[(hhl)-k]=磐,

」l+tanA：+l-tan/r

/日，一八,tanA：+l-taut

得tan(H-l)tan『----广；------1.

所以S产之产耳an(计D-tan^vF哼产一；

k]L3<-3Ltani-

tan?i+3-tan3

=”

【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识.本题两问中的方法都是值得注意的，

在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消

法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见

到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐

项相消的问题，基本思想就是裂项.

难点五数列应用题的解法

例5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业

每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增

加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等.

(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；

(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器.从2011年2月1日投放使用，

从启用的第一天起连续使用，第〃天的维修保养费为管一元(〃dN*),求前〃天这台仪器的

日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天?

【分析】（1）甲企业的各个月份的产值组成等差数列，乙企业各个月份的产值组成等比

数列，在这两个各有十三项的数列中其第一项和最后一项相等，比较的是中间项的大小，根

据等差中项和等比中项的概念和基本不等式进行比较大小；（2〕前“天的维修费用之和加上

购买仪器的费用除以“即为日均耗费，使用基本不等式求其最值以及取得最值时的”即可.

【解答】（1）甲企业的产值比乙企业的产值要大.

设从2010年1月到2011年1月甲企业每个月的产值分别是a”6,…，am乙企业每

个月的产值分别记为如史，…，如.由题意｛4｝成等差数列，｛瓦｝成等比数列.二.a-=4ai

又。]=瓦，々】三=瓦3，1・4-=f一=>—6卯=>/瓦如=加,

即2010年7月甲企业的产值大.

⑵设一共用了刀天，则〃天的平均耗资为〃5）,

〃+49

5+10\n

3.2X10―

2-3.2X104779.9

则户（力-n-+20+~

n

当且仅辛F/时儿）取得最小值，此时片800,

故日平均耗资最小时使用了800天.

【点评】本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交

汇.数列在.实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但

并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。

【历届高考真题】

[2012高考试题】

、选择题

1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列｛a,J中，a2=l,%=5贝U｛%｝的前5项和

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因为生=1,4=5,所以a1+%=生+/=6,所以数列的前5项和

a=$&+%)=50+%)=2*6=15.选B.

2.12012高考真题浙江理7】设S“是公差为d(dWO)的无穷等差数列｛a0｝的前n项和，

则下列命题错误的是

A.若d<0,则数列｛S„｝有最大项

B.若数列｛S„｝有最大项，则d<0

C.若数列｛SC是递增数列，则对任意“eN*,均有S.〉0

D.若对任意nwN*,均有Sn>Q,则数列｛S„｝是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1,0,1,2,3,….满足数列｛SJ是递增

数列，但是S〃>0不成立.故选C。

3.[2012高考真题新课标理5]已知｛4｝为等比数列，%+%=2，生4=一8,则

+〃10=()

(A)7⑻5(C)-5.(D)-7

【答案】D

【解析】因为｛%｝为等比数列，所以的4=%%=-8,又4+%=2，所以

=4,a7=—2或=-2,ci]—4.右=4,Qq——2,角牛彳导a1——8,Go=1,

41+%o=—7；若(=—2,%=4,解得——8,q=1,仍有%+60——7,综上

选D.

jYl兀

4.[2012高考真题上海理18]设Q〃=—sin——cl,Sn=ai.+a2z.+—\-anit,在

n25

风,邑,…,So。中，正数的个数是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】当时，an>0>当26S〃S49时，<7,<0»但其绝对值要小于10〃024

时相应的值，当51sn<74Bj,,a^>0,当76w”099时，a*V。，但其绝对值要小于510〃盘4

时相应的值，二当1W“口00时，均有S,>0.

5.[2012高考真题辽宁理6]在等差数列｛aj中，己知a+a=16,则该数列前11项和凡=

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】2

【解析】在等差数列中，4+1]=%+为=16,，%=生乂手4a=88。

6.12012高考真题四川理12]设函数/(x)=2x-cosx,{%}是公差为差的等差数列,

8

/(%)+/(/)+…+/(%)=5%，贝|][/(。3)「一%。5=()

c12八1213。

A、0B、—nC、-7iD、—n

16816

【答案】D

【解析】/(q)-/(a;)------/(a)=(2o5~cos^)-(2a-cosa)^------(2a:-cosa)=5^>

即

TT

2(q+生+…+生)一(cosq+cos%+…+cos%)=5；r,而｛%｝是公差为二的等差数列,

8

代入2(q+生+…+生)一(cosax+cos生+…+cos生)=5",即10生一[cos(a3一；)

•TT-^rr^rr

+cos(a；一一)+co皿+cosQ+二)+cosQ+—)]=51，

'8'84

:(2cosj+2cos1■+Dcos%不是的倍数，

2+

10a3=a3=—.[f(«3)]—=(2x——0)"—(——

13万..„

=---，故选D.

16

7.[2012高考真题湖北理7]定义在(-oo,0)(0,+oo)上的函数/(x),如果对于任意给

定的等比数列｛〃"｝,｛/(()｝仍是等比数列，则称/(x)为“保等比数列函数”.现有定义

在(-8,0)(0,y)上的如下函数：

①/(x)=尤2；②/(%)=2'；③/(x)=；④f(x)=InI.rI.

则其中是“保等比数列函数"的f(x)的序号为

①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【解析】等比数列性质，①/(qMq一.1=畤7二=[a：i「=/*(a„+1

②〃=24-*工2g=U

③f(S.)=他a”?|=而丁=/论”J；

④/'(4)1/(4+J=In,Jink-JhIlnR"J「=/论一).选c

8.【2012高考真题福建理2】等差数列｛aj中，5+期=10,a4=7,则数列｛aj的公差为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B.

【解析】由等差中项的性质知％="幺=5,又•.•%=7,，2=。4一。3=2

9.12012高考真题安徽理4】公比为次等比数列｛4｝的各项都是正数，且％4=16,

则叫246=()

(A)4(B)5(C)6(D)7

【答案】B

【解析】生=16=a：=16Oa-=4n=a,xg"=32<=>log；=5.

10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列｛aj的前n项和为S“，a5=5,S*=15,则数列

的前100项和为

9999101

(B)---(C)----(D)

101100W0

【答案】A

【解析】由%=545=15,得%=l,d=l，所以。“=1+(〃—1)=〃，所以

]_]_J__1

anan+1n(n+1)nn+1

11111100

一•.二-------1-----------------------------------=1------

I选A.

ClyCl?^100^101223100101101101

二、填空题

n.【2012高考真题.浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列｛aj的前n项和为S”。

若1$2=3@2+2,$4=3a4+2,贝!JQ—O

【答案】I

【解析】将S:=3a,+2,S4=3a4+2两个式子全部转化成用%、q表示的式子.

即，'''世5,:>两式作差得：+巧/=36式了—1)>即：

I巧+多，+/g-+qy=。日7+2

lqz-?-3=0)解之得：或？=-1(舍去).

12.12012高考真题四川理16］记［划为不超过实数x的最大整数，例如，［2］=2,口.5］=1,

rar

Xn+［一］

［-0.3］=-lo设。为正整数，数列｛七｝满足苞=。，x„+1=［—「J］("eN*),现有下

列命题：

①当a=5时，数列｛七｝的前3项依次为5,3,2；

②对数列｛%„｝都存在正整数k,当nNk时总有％=々；

③当〃之1时，xn>Va-1；

④对某个正整数左，若则%=［&］。

其中的真命题有。(写出所有真命题的编号)

【答案】①③④

5+23+自

［解析］当。=5时，Xj-a-5x2=—°工=3,演=［—『一］=2，故①正确；同

样验证可得③④正确，②错误.

13.12012高考真题新课标理16］数列｛%｝满足。用+(-贝U｛a,J的前

60项和为

【答案】1S30

【解析】由a—+(-=2〃-1得,

j=(-I)%,+2n+l=(-严4+2n-l］+2«+l

=一%+(-1)”(2〃-1)+2〃+1,

即a—+4=(一1)黑2%—1)+2〃+1,也有a.+a»i="(一1)"(2〃+1)+2力+3,两

式相加得an+a.+a.+々一=—2(-1)'：+4n+41设左为整数，

贝Ua#1+4至+1+a状-3+4册-4=-2(-1)"+4(4^r+1)+4=16k+10,

1414

于是S柳=y(a4i+1++a4k-3+a杭-4)=Y(16/c+'10)=1830

X-0£-0

14.12012高考真题辽宁理14］已知等比数列｛a“｝为递增数列，且

aj=aw,2(an+an+2)=5an+l,则数列｛a0｝的通项公式a〃=。

【答案】2"

［解析］：%=。1。，一(qq)=qg，-q=g,-.a1=q：

•.•2(4+41!_2)=5<2"”:24(1+0-)=5&必:2(1+不)=5必解得9=2或9=：(舍去)，二生=

15.12012高考真题江西理12］设数列｛aj,｛bj都是等差数列，若%+仇=7,

a3+b3=21,贝!!a5+b5=。

【答案】35

【解析】设数列｛4｝,｛〃｝的公差分别为d,b,则由生+仇=21，得

6+4+23+1)=21,即2S+d)=21—7=14,所以Z?+d=7,

所以。5+4=弓+A］+4(Z?+d)-7+4x7-35o

16.［2012高考真题北京理10］已知｛4｝等差数列5“为其前n项和。若％=^,S2=a3,

则a2=o

【答案】分=1,=

・44

【解析】因为S：=生=q+%=生=q+q+d=q+2d=W=q=彳，

所以生=q+d=1,Sn=>zax+n（n-Y）d=：■/+；•%

17.12012高考真题广东理11】已知递增的等差数列｛aj满足ai=l,生=为？—4,则a„=.

【答案】2"-1

【解析】由4=022-4得到1+2』=（1+〃）2—4,即/=4,应为显｝是递增的等差

数列，所以d=2,故q=2〃—1。

18.【2012高考真题重庆理12】lim—

iVn2+5n-n

【答案】|

［解析］%、—二躯=:=-

J与，+5%-n（/丁+5n一切（J>广+5汽+琼

»2-»®

19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、,为公比的等比

2

数列，体积分别记为匕，区,…，匕，…，则口111（匕+匕+…+匕）=。

ns

Q

【答案】-O

7

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，』为公比的等比数列,

8

；.匕+匕+…+匕=T父〃8（1—1）,.•.所旧+匕+…+匕）8

1178n~87

1-----

8

a.=HCO8—+1

20.【2012高考真题福建理14］数列｛aj的通项公式2，前n项和为S”,

则$2012=

【答案】301S.

【解析】因为函数1=。。5：》的周期是4,所以数列｛a*｝的每相邻四项之和是一个常

数6,所以导012=^^x6=3018.

三、解答题

21[2012高考江苏20](16分)已知各项均为正数的两个数列｛为｝和｛"｝满足:

a,,+bn,“eN*,

anl

+d+b：

b

(1)设。〃+1=1+」~,neN*,求证：数列<”,是等差数列;

an

(2)设么+1=&・％,TIGN*,且｛4｝是等比数列，求4和乙的值.

%

\rhVI

「•数列’3''是以1为公差的等差数列.

.•.1<%=普当」(0。(*)

设等比数列｛为｝的公比为q,由%>0知q>0,下面用反证法证明q=l

n

若q>l,则当〃>log“变时，an+1-axq>-J1,与(*)矛盾。

qax

若0<qV1,则。1二竺>〃2>1，；•当〃Alog,,时，%+1V1，与（*）矛盾。

q4q

二・综上所述，4=1。「・%N*）,1<o

又•••%1=&・%=正・，（〃eN*）,.•.｛£｝是公比是它的等比数列。

若为w则—>1,于是bi<b2<b3o

见+〃±a,小2-%

又由an+\即见=

+第-1

bvbv4中至少有两项相同，与4<b2Vb3矛盾。工二立。

=

=82v2o

【解析】（1）根据题设4厘=和埼1=1+3,求出如=J1-2，

f、2f、2

th'1•'

从而证明也=1而得证.

（2）根据基本不等式得到1v4“=、三事,用反证法证明等比数列｛aj的

+b；

公比g=l.从而得到％=6的结论，再由如=0•二=走・4知色｝是公比是

46

走的等比数列.最后用反证法求出4=6、=近.

用

22.12012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）

已知等差数列｛4｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

（I）求等差数列｛g｝的通项公式；

（II）若4，%，q成等比数列，求数列1｝的前”项和.

【答案】(I)设等差数列｛《｝的公差为%则生=q+d,q=q+2d,

由题意屋生-"17解得J"；或;：=「'

101gl_rf)(q-2d)=S.|d=T|d=3.

所以由等差数列通项公式可得

j=2-3(〃-1)=-3花—5,或a1t=-4-3(力-1)=3打一7.

故4,=一3打一5,或4,=3打一7.

(II)当为=-3〃+5时，a2,a3,%分别为一1,-4,2,不成等比数列;

当为=3〃-7时，a2,a3,%分别为-1,2,-4,成等比数列，满足条件.