高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题41(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（41）

一、单项选择题（本大题共17小题，共85.（）分）

1.三棱锥ABC三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别为1,V5,V10,则该三棱锥的外接球体积

为（）

A.争B.冢C,327rD.16兀

2.如图，正方体ABCD-AiBiGA的棱长为百，以顶点A为球心，2为半

径作一个球，则该球面与正方体的六个面相交所得到的曲线长度总和等

于（）

C.n

D.?

6

3.若圆锥SO]，SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别

为4,4V2,则这两个圆锥重合部分的体积为

A9oQr56,px56+16V3

A.-71D.87rC.~~T[D.----------71

333

4.已知正方体ABCD-AiBigDi的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CCVJD1的中点，给出下

列四个命题：

①EF1BQ

②直线FG与直线AiD所成角为60。；

③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；

其中，正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

6.如图所示是某几何体的三视图,

半径之比为

A-I

B|

c|

俯视图

D1

7.已知圆锥的顶点为S,底面圆心是0,过直线SO的平面截该圆锥所得的截面是面积为旧的正三

角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.nB.V3n-C.2nD.2b兀

8.下列关于简单几何体的说法中正确的是（）

①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③在斜二测画法中，直角三角形的直观图仍可能是直角三角形；

④有两个底面平行且相似其余各面都是梯形的多面体是棱台；

⑤空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面.

A.③④⑤B.③⑤C.④⑤D.①②⑤

9.在三棱锥4-BCD中，△ABDVACBC均为边长为2的等边三角形，且二面角4-BD-C的平面

角为120。，则该三棱锥的外接球的表面积为

167r

A.7兀B.87rC-VD.等

10.单位正方体4BC01。在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点M（a,a,O）,N（O,瓦1）,

其中0<a<1,0WbW1,设由M,N,0三点确定的平面截该正方体的截面为E,那么（）

A.对任意点M,存在点N使截面E为三角形

B.对任意点M,存在点N使截面E为正方形

C.对任意点M和M截面E都为梯形

D.对任意点N,存在点M使得截面E为矩形

11.设尸，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线尸0旋转。（0<。<2兀）角后能与

原正方体重合，那么符合条件的直线P。的条数为（）

A.3B.4C.7D.13

12.下列四种说法中：

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

②相等的线段在直观图中仍然相等

③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥

④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

13.已知三棱锥P-4BC的四个顶点都在球。的球面上，PAJ•平面ABC,H.ABAC=60°,PA=2,

BC=2H.则二面角P-BC-4取最小值时，球O的表面积为

A.187rB.207rC.247rD.20V37T

14.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料4BC-&BiG，其

各棱长都为2.己知0、Q?分别为上、下底面的中心，例为Q1Q2的

中点.过A,B,M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积

为（）

A.V7

B166

•9

C.也

4

D.2

15.已知点A、B、C在都在半径为迎的球面上，且4clBC,^ABC=30°,球心。到平面ABC

的距离为1，点M是线段BC的中点，过点M作球O的截面，则截面面积的最小值为（）

A.亘B.芋C.V37TD.3兀

44

16.已知三棱柱4BC-4BiGi中，44i_L平面ABC,AB=BC=AAr=3,/.ABC=90°,M为棱C£

中点，则直线与41c所成角的余弦值为（）

A.在B.小C.立D.夜

31523

17.下列说法中正确的个数为（）

①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体是棱锥

③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台

④用一个平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台

A.0B.1C.2D.3

二、多项选择题（本大题共3小题，共12.0分）

18.折纸艺术起源于中国，是深受大众喜爱的手工艺.如图，有一张矩

形卡纸ABCZZM为BC的中点，将44BM沿直线AM翻折成2MBi

连结&D,N为a。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的

是（）

A.存在某个位置，使得C'NL，13|

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM1BXD

D.若4B=BM=1,当三棱锥&-AMD的体积最大时，三棱锥当一4M0的外接球的表面积是

47r

19.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是（）

A.正六边形B.正三角形C.直角三角形D.梯形

20.如图，在四棱柱4BCD中,44，平面ABCD,AB〃CD,-------71G

Z.DCB=90°,AB=AD=AA=2DC,。为棱CG上一动点，过

t\BX/\Q

直线AQ的平面分别与棱BBI，交于点P,R,且使得DR=BP,'夕/

则下列结论正确的是（），,/DLLCJC

A.对于任意的点。，都有4P//QR

B.对于任意的点Q,四边APQR不可能为平行四边形

C.存在点。，使得AARP为等腰直角三角形

D.存在点。，使得直线BC〃平面APQR

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

21.在四棱锥P-ABCD中，PD1AC,ABJ■平面PAD,底面ABC。为正方形，且CD+PD=3.若

四棱锥P-4BC。的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为.

22.已知长方体4BC0-41B1GD1的体积为36,则三棱锥&一BC/的体积为.

23.半径为K,圆心角为90。的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面面积为.

24.如图，直线/_L平面a,垂足为O,三棱锥4-BCD的底面边长和侧棱长1

都为4,C在平面a内，8是直线/上的动点，则点B到平面a和平面AC。«•一'^D

的距离之和的最大值为.«

25.在长方体ABCC-4窗住1。1中，AD=DDr=1,AB=V3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的

中点，P是底面A8C£＞内一个动点，若直线。记与平面EFG平行，则AB/P面积最小值为

DiG

26.三棱锥的五条棱长都为2,另一条棱长为x,则x的取值范围是

27.已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥轴截面的面积为.

28.如图，在棱长为2的正方体ABCO-中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动,

且满足BiP1DiE,则点％和满足条件的所有点尸构成的图形的面积是

（）.

29.已知两矩形ABCD与AOEF所在的平面互相垂直，力B=l,若将4DEF沿直线FQ翻折，使得点

E落在边BC上（即点P）,则当AO取最小值时，四面体尸一4DP的外接球的半径是

四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

30.如图，在长方体4BCO-&BiCiDi中，点E是的中点.

(1)求证：力劣〃平面&GE；

(2)若48=AD=2,44i=3,求点/到平面4送隹的距离.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体

的外接球同时也是三棱锥P-A8C外接球.算出长方体的对角线即

为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的

体积.本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的体积，

着重考查了长方体对角线公式和球的体积计算等知识,属于基础题.

解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图

则长方体的外接球同时也是三棱锥P-4BC外接球.

•••长方体的对角线长为VI+5+10=4,

.••球直径为4,半径R=2

因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是扣x23=争

故选：A.

2.答案：A

解析:

本题考查空间几何的性质和综合应用.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面44B18、

面A2CD和面44劣。上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BBiGC、面。口5。和面&&口。1

上.由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和.

解：如图，球面与正方体的六个面都相交，

所得的交线分为两类:

一类在顶点A所在的三个面上，即面44iB$、面A8CD和面上;

另一类在不过顶点A的三个面上，即面8B1GC、面CCi/D和面48传1。1上.

在面ZaBiB上，交线为弧EF且在过球心4的大圆上，因为2E=2,AA1=V3>

则4为力E=J.同理4B4F=三所以NE4F=%

666

故弧E尸的长为：2x£=g,

O5

而这样的弧共有三条.

在面B/C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆

上,

此时，小圆的圆心为B,半径为1,ZFBG=p

所以弧FG的长为：1x(=5

于是，所得的曲线长为：=

32o

故选A.

3.答案：A

解析：

本题考查圆锥及球的结构特征，属于基础题.

由题做出其轴线的截面，结合几何关系求解公共部分对应圆锥的体积即可求解.

解：如图，做出对应圆锥SO1，S4的轴线截面，轴截面分别为等边三角形及等腰直角三角形,

两个圆锥重合部分为以AB为直径的圆锥的体积，易知底面半径为2,高为2,所以其体积为

!XITX9'X9—

33

故选A.

s

°iB

4.答案：C

解析：

本题主要考查线线垂直的判定、线线角、截面多边形形状等问题，属于中档题.

解题时需要根据线面垂直的性质，线线角的计算，确定截面多边形形状，逐个判断求解.

解：①如下图，取BC中点M,连接MF,EM,BG，

则FM〃BC「BC、IBJC,

•­,EM//AB,4B1面BCQBI,二EM1面BCC/i，

vByCu面BCC/i，:.B1C1EM,

VEMnFM=M,EMu面EFM,FMu面EFM,

B】C1面EFM,EFu面EFM,

EF1BrC,故①正确；

②如下图,连接&B,BD,易证尸G〃&B,

而ZkAiBD为等边三角形，484。=60。，

・•・直线FG与直线&D所成的角为60。，故②正确：

TZC

M

③如下图,

过E、/、G三点的平面截正方体所得截面为五边形,

故③错误.

故选C.

5.答案：A

解析：

本题主要考查了柱，锥，台的结构特征以及应用，属于基础题.解决此题的关键是熟练掌握各种空间

几何体的结构特征，并能根据题中条件进行灵活应用.

解：圆柱的母线就是沿表面从上底面到下底面且垂直底面的任何一条线，

并不是在圆柱的上、下底面的圆周上各任取一点的连线，故①不正确；

根据棱锥的定义可得②不正确；

直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥，故③不正确；

棱台的上、下底面一定相似，侧棱长一定相等，选项④不正确，

故选A.

6.答案：C

解析:

本题考查了正四棱锥与其内切球以及外接球的关系应用问题，属于中档题.

根据几何体的三视图，得出该几何体是一个底面边长为2,高为2企的正四棱锥，结合图形，求出该

三棱锥的接球接球的半径，利用体积求出其内切球半径即可求解.

解：由三视图可知该几何体是一个底面边长为2,高为2四的正四棱锥.

设其外接球的球心到底面的距离为4半径为凡其内切球半径为八

则R=2a—d=解得4R=3&.

44

又四棱锥的体积V=95全・7'=|&=当"今「=：71

.匚=也，

R>5。

故选C.

7.答案：C

解析：

本题考查圆锥表面积的求解.

由己知得出母线和底面半径，然后利用公式求解即可.

解：设圆锥的底面半径为，，

依题意得圆锥的母线长为2.，

所以12r)2sin60°=V3,

所以r=L母线长1=2,

所以圆锥的侧面积S=nrl=27r.

故选C.

8.答案：B

解析：

本题考查了棱柱、棱锥、棱台、球的结构特征，是基础题.准确理解几何体的定义，是真正把握几

何体结构特征的关键.直接利用棱柱、棱锥、棱台、球的结构特征逐一核对五个结论得答案.

解：①符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一

个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，故①错误；

②棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故②错误；

③在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中•一般改变长度，但是也有的长度不变,

例如长宽分别为3和鱼的矩形的对角线，长度不变，故③正确；

④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体

不是棱台，故④错误；

⑤在空间中，满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为球面，故⑤正确；

所以正确的是③⑤，

故选&

9.答案：D

解析:

本题考查了球的表面积公式的应用，重点考查球的球心位置的判定.属于中档题.

首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示：

因为△48。与4BCD是边长为2的等边三角形且二面角力-BD-C为120。,

取A4BD和△BCD的中心凡E,取BO的中点记为G,连接EG,FG,

所以NEGF=120°,

则球心。为过△48c和4BCD的中心的垂线的交点，

在四边形OEG中可计算得：OE=OF=1,又因为ED=延，

3

利用勾股定理得：球的半径r=+磬）2=亨，

则外接球的表面积S=4兀3=等.

故选。.

10.答案：A

解析：

本题考查平面的基本性质的应用，空间直角坐标系，考查空间想象能力，属于基础题.

利用平面的基本性质判断选项即可.

解：由MN,。三点确定的平面截该正方体的下底面为。名.

当N与。重合时，截面为矩形OBiBD；

当N与C重合时，截面为等边三角形O&C；

当N在线段QC上（不包括端点时），截面为等腰梯形.

对于A,当N与C重合时，截面为三角形。/C满足题意，故A正确；

对于8,对任意点M,截面的底为。Bi，截面可以是矩形、梯形、三角形，没有正方形，所以B不

正确；

对于C,对任意点M和N,截面E可以是矩形、梯形、三角形，所以C不正确；

对于D,对任意点存在点N使截面E可以是矩形、梯形、三角形，所以。不正确.

故选A.

11.答案：D

解析：

正方体绕着直线P。旋转0（0<。<2兀）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体

绕着直线PQ旋转。（0<9<2兀）角后，中心不能回到原来的位置，结合图形求解，属较难题.

解：若正方体绕着直线尸。旋转火0<8<2兀）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，

否则，正方体绕着直线尸。旋转火0<8<2n）角后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如

图所示；

Q\

')77

当P,Q为正方体的体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转二，正方体回到原来的位置，此时的

直线共有4条；

当P,。为正方体两相对棱中点时，把正方体绕尸。旋转兀，正方体回到原来的位置，此时直线共有

6条；

当P,。为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转:，正方体回到原来的位置，此时直线共有3

条；

综上，符合条件的直线尸。有4+6+3=13条.

故选O.

12.答案:A

解析：解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互

平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误.

②相等的线段在直观图中不一定相等，不正确；

③根据一个直角三角形绕其一条直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，不正确；

④用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，不正确.

故正确的个数为0,

故选A.

根据棱柱、棱台、圆锥的定义，进行判断，从而得出结论.

本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解

答的关键，属于基础题.

13.答案：B

解析：

本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关

键.作A01BC,连接PQ,由题意知取最大值时，二面角P—BC—A最小，再由余弦定理和基

本不等式可得W12,再由面积可得40的最大值为3,故求得球。的半径，由球0的表面积

公式可得答案

解：如图，在△4BC中，作4D1BC,连接PD.由PA1平面ABC,可知/PDA为二面角P—BC—4的

平面角.

•••tam.PDA=—=0<NP/X4<三，二4。取最大值时，“£>力最小.

ADAD2

在ZiABC中，/.BAC=60°,BC=2相,由余弦定理，WfiC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

AB2+AC2-AB-AC=12,^AB-AC<12,当且仅当AB=AC时，等号成立.

•:S^ABC=^BC-AD=-AB-AC-sin^BAC,:.AD=<3.

.•.当二面角p—BC—4取最小值时，AD=3,此时△ABC为等边三角形，易求得球。的半径为近，

此时球。的表面积为207r.

故选8

14.答案：B

解析：

本题考查了三棱柱的结构特征与应用问题，考查平面的基本性质及应用，属于中档题.

根据题意知过A,B,M三点的截面为等腰梯形，画出截面图形，结合图形求出该梯形的面积.

解：根据题意画出截面图形，如图所示：

正三棱柱ABC-4181cl中，各棱长都为2,M为QiQ的中点，。为AB的中点,

过4,8,M三点的截面为等腰梯形ABEF,

则EF=；&Bi=|,梯形的高为p0=L2(2V32=W3；

33yjk373

则截面面积为S=工X(2+2)x延=3.

故选B.

15.答案：B

解析：

本题考查球的截面性质，空间中的距离，属于中档题.

设的中心为01，连结014根据球的截面圆性质、通过勾股定理求解.

而经过点M的球O的截面，当截面与OM垂直时截面圆的半径最小，相应地截面

圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.

解：：因为点A、B、C都在半径为方的球面上，且4C1BC,Z.ABC=30%

4ABe是直角三角形，AB的中点为01，所以01。，平面ABC,

因为球的半径R=迎，球心。到平面ABC的距离为1,得0］。=1,

所以RtA。1。4中，04=1.又因为M为BC的中点，

2ABC是直角三角形，LABC=30°,所以BC=b，BM=叵.

2

因为过E作球。的截面，当截面与OM垂直时，截面圆的半径最小，

所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值.

此时可得截面面积为S=nr2=

4

故选B.

16.答案：B

解析：

本题考查了异面直线所成角的求法，涉及棱柱结构特征的运用，属于中档题.

根据题意可得三棱柱ABC—4B1G为直三棱柱，取41G的中点M连接MMBN,B】N,可得乙BMN

即为直线与4C所成角，然后结合余弦定理求解即可.

解：由题意，三棱柱ABC-4/iG为直三棱柱，取41G的中点N,连接MN,BN,BrN,

则有MN〃4C,所以即为直线BM与41c所成角，

因为ZB=BC=AA1=3,乙ABC=90。，

所以4c=ArCi=3V2.

BM=VBC2+CM2=[2+(J=

MN=加C=^AA,2+AC2=小+(3小了=当,

BN=JBB/+B[N2=J32+(乎)2=乎,

所以在三角形BMN中，由余弦定理得COSNBMN=空丝空处

2BMMN2*吟乎_】5.

故直线BM与4C所成角的余弦值为普.

故选B.

41

17.答案：4

解析:

本题考查了命题的真假判断，涉及多面体和旋转体的结构特征,根据概念及其结构逐一判断即可得到

结果.

解：4不符合棱柱的结构特征，若几何体的下部是一个正三棱柱，上部是一个以正三棱柱上底面为

底面的斜三棱柱，故此选项错误；

B.不符合棱锥的结构特征，应该是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故

此选项错误；

C.不符合棱台的结构特征，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后

相交于一点，故此选项错误；

D应是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台，故此

选项错误.

故选A.

18.答案:BD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取的中点为E,连接CE交于点F,如图1,

M

图1

贝ljNE〃4Bi，NF"MB\

如果CN1ABr则ENJ.CN,

由于ABilMBi，则ENJ.NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故不正确;

对于B,如图1,由/NEC=NMABi,

且NE=^ABltAM=EC,

.♦.在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为0,•••4B=BM,即=则4M1B1。

若4MlBi。，由于当0n=Bi，

且&0,当。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面0C81，

0D1AM,则/W=M0,

由于4。力MD,故4Ml不成立，故不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面&AM，平面AM。时，

三棱锥S-4MD的体积最大，取AD的中点为£,

连接。E,B]E,ME,如图2

AB=BM=1,贝IjABi=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

Br0LAM,By0u平面B/M

Bi。_L平面AMD,0Eu平面AMD

:.B]01OE,

则AM=V2,Br0=\AM=y，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而%二俯"直=1,

易知£;4=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥a-AM。的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确;

故答案为：BD.

19.答案：ABD

解析：

本题主要考查了空间几何体及其结构特征的应用，解题的关键是熟练掌握空间几何体及其结构特征

的判断，

根据已知及空间几何体及其结构特征的判断，可知截面不可能是哪一个.

解：用一个平面去截正方体，截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、

等边三角形（如图所示），但不可能是钝角三角形或直角三角形，

锐角三角形等腰三角形等边三角形

②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形（如图所示），但不可能是直

角梯形；

梯形平行K边形变形矩形

③截面为五边形时，如图所示，不可能是正五边形;

五边形

④截面为六边形时，如图所示，可以是正六边形.

正六边形

故可选ABD.

20.答案：ABD

解析：

本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题.

根据面面平行的性质判断A、B,使用假设法判断C、D.

解：•••AB//CD,441//0。1，AArnAB=A,DDrnCD=D,AAr,ABu平面DDr,CDu平

面

二平面力BBi4〃平面CDDiG，

•••平面APQRn平面4BBi4=AP,平面4PQRn平面CDOiG=RQ,

..AP//QR,故A正确；

••・四边形ABC。是直角梯形，AB//CD,

二平面BCGBi与平面ADDiAi不平行，

•••平面4PQRn平面BCC/1=PQ,平面4PQRn平面4叫七=AR,

・••PQ与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故8正确；

由DR=PBH.DR//PB,易得DB=PR,要使△ARP为等腰直角三角形，则>90°,

但根据题意N/MB<90。，故C不正确：

延长CQ至M,使得MD=CD,

则四边形"CM是矩形,

•••BC//AM.

当R,Q,M三点共线时，AMu平面AP0R,BC仁平面APQR,

二BC〃平面APQR,故O正确.

故选A8D.

21.答案：67r

解析：

本题考查了棱锥外接球的表面积，以及立体几何与函数思想的应用，属于中档题.

由题意求出球心的位置，表示球。的表面积，利用二次函数性质即可求解.

设CD=x(0cx<3),则PO=3—x,

vAB1平面PAD,PDu平面PAD,

•••AB1PD.

又••,P"！AC,ABOAC=A,AB,AC在平面ABC。内,

PD，平面ABCD.

故可将四棱链P-ABC。补为一长方体，PB中点即为球心,

2

工2+X2+(3-X)2

=3TT((X—1)2+2)267r.

当x=l时，S取最小值.

故答案为.

22.答案：12

解析：

本题考查棱锥的体枳求法，属于基础题.

利用三棱锥&-BC］。的体积为长方体ABCD-&&口。1的体积减去4个相等的三棱锥体积求解即

可.

解：设长方体的长宽高分别为a,b,h,则abh=36,

三棱锥&-Bq。的体积为长方体4BCD-的体积减去4个相等的三棱锥体积，

故三棱锥4一BCi。的体积=长方体4BC。-公当口小的体积-4%_BDC】=abh-4x^x^abh.=

iab/i=ix36=12.

故答案为12.

解析：

本题考查了圆锥的性质，面积公式，属于基础题，难度不大.

根据圆的面积公式求出凡母线长，再求出圆锥的底面半径，即可利用公式求解.

解：设扇形的半径为R,

•••圆心角为90。，

二扇形面积为:乃/?2,

由圆锥母线长为：，=R,

・•・-nR2=nrI,

4

••・圆锥底面半径为r=

J.圆锥底面积为S麻=nr2=2〃R2.

故答案为白兀R2

24.答案：44-1V6

解析:

本题考查点到平面的距离.结合图形，弄清题意是解题的关键，首先点B到平面ACD的距离是定值，

而点8到平面a的距离的最大值是BC的长，只要求出点8到平面ACQ的距离问题迎刃而解，作BM_L

平面AC。，垂足为“，连接AM并延长与CC交于N点，判断M是△4C。的重心，利用勾股定理求

出BM,从而求出所求的最大值.

解：作BMJL平面4C。，垂足为连接4W并延长与交于N点，

•••三棱锥4-BCO的底面边长和侧棱长都为4

M是△4CD的重心

•••AN1CD

：•CN=ND=2

AN=y/AD2-ND2=J42-22=2遮

BM=y/AB2-AM2=J42一(Ix28)=^V6

即B到平面ACD的距离为g巡，

点B到平面a距离的最大值等于BC的长，

所以点B到平面a和平面ACZ)的距离之和的最大值为4+T后.

故答案为4+1V6.

25.答案:亘

4

解析：

本题考查多面体的截面性质，属较难题.利用面面平行的性质补全截面EFG为截面EFG/7QR,得到

△BBiP为直角三角形，再求面积的最小值.

解：如图，补全截面E『G为截面

易知平面ZCDi〃平面设BRIAC于点R,

「直线QP〃平面EFG,

PeAC,且当P与R重合时，BP最短为BR,此时APSBi的面积最小,

由等积法：IBRXAC=IBAXBC,

得BR=—,又BBiJ•平面ABCD,

2

ABB11BP,△PB81为直角三角形，

故S0BB/=IxBBTXBP=*

故答案为今

26.答案：(O,2V3)

解析:

本题考查三棱锥的结构特征，考查组成三角形的三边关系，属于基础题.由三棱锥的结构特征和三角

形的三边关系求解.

解：如图：

设A。=4C=BD=BC=CC=2,点G是CD的中点，所以三角形ACDBCD都是等边三角形，BG=

AG=V3.由三角形三边关系知AB<BG+AG=2b，因为4B>0,所以0<AB<2次，即0cx<

2版.

故答案为（0,28）.

27.答案：V3

解析：

本题考查圆锥的轴截面面积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

易知该圆锥的轴截面形状为边长为2的等边三角形，由此能求出该圆锥的轴截面面积.

解：由题意可知，该圆锥的底面直径为2,

故该圆锥的轴截面形状为边长为2的等边三角形，

故该圆锥的轴截面面积为S=1x2x2xsin60°=V3.

故答案为：V3.

28.答案：|

解析:

本题考查正方体的结构特征，同时考查线面垂直的性质及判定，属于较难题.

找出过当且与垂直的平面即可求解.

解：取CQ,CD的中点分别为N,M,连接4MMMBIMABI，DE,

由于

所以四点共面，且四边形ABiNM为梯形,

在正方体ABCD-中，

易知△XDMsADCE,则ZD4M=4CDE,

则皿1M+乙AMD=ACDM+ADMA=90°,

AM1DE,

又正方体中DDi_L平面ABCD,AMu平面ABCD,

AM1DDX,又D%CDE=D,D%、DEu平面。EO，，

•••AM1平面。ED]，又D[Eu平面DE5,

AAM1D]E,

正方体中BC_L平面4BB1%,ABXu平面4BB送i，

:.BC1ABr,

又ABilA/,A]BCBC=B,&B、BCu平面〃。。出，

1平面BCMi，

又ED】u平面BCDMi，•••