高中数学数列试题及答案

高中数学数列试题及答案

第二章数列

1.｛4｝是首项2=1,公差为d=3的等差数列，如果a“=2005,则序号〃等于

（）.

A.667B.668C.669D.670

2.在各项都为正数的等比数列｛4｝中，首项曷=3,前三项和为21,则a：3+ai+a5=

（）.

A.33B.72C.84D.189

3.如果电，…，绿为各项都大于零的等差数列，公差*:0,则（）.

A.当备>用为B.句%〈^为必C.句+西〈^&+缁D.句③^禺恁

4.已知方程（f—2x+而（f—2x+/7）=0的四个根组成一个首项为1的等差数列，则

4

Im-n\等于（）.

A.1B.-C.-D.-

428

5.等比数列｛a｝中，a2=9,备=243,则｛4｝的前4项和为（）.

A.81B.120C.168D.192

6.若数列｛aa｝是等差数列，首项国>0,a2Oo3+a2oo4>O,a2Oo3,a2004<0,则使前〃项

和S>0成立的最大自然数〃是（）.

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差数列｛4｝的公差为2,若a”a*,当成等比数列，则a?=（）.

A.-4B.-6C.-8D.—10

8.设S是等差数列｛a.｝的前〃项和，若出=*,则邑=（）.

9S5

A.1B.-1C.2D.-

2

9.已知数列一1,&,a2,—4成等差数列，一1,仇，也,也,一4成等比数列，则

b2

的值是().

A.-B.C.一!或2D.-

22224

10.在等差数列｛a〃｝中，a〃WO,a“_i一片+且0+|=0(〃22)，若S〃_i=38,则n=().

A.38B.20C.10D.9

二、填空题

11.设利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得〃一

2'+V2

5)+f(-4)H---1-/(0)H----1-/(5)+/(6)的值为.

12.已知等比数列｛4｝中，

(1)若金•a•恁=8,贝(ja2•a3•a,•&•桀=.

(2)若a+az=324,4+&=36,则扁+a=.

(3)若S=2,5)=6,则a?++%+&o=.

13.在9和2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积

32

为•

14.在等差数列｛4｝中，3®+备)+2(4+而+%)=24,则此数列前13项之和为.

15.在等差数列｛4｝中，叁=3,af,=—2,则4+&H--Fa1()=.

16.设平面内有〃条直线(〃23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线

不过同一点.若用f(〃)表示这〃条直线交点的个数，则/'(4)=；当〃>4时，

M.

三、解答题

17.(1)已知数列｛4｝的前〃项和S,=3//—2〃，求证数列｛a｝成等差数列.

(2)已知L,1,_1成等差数列，求证处£,三,也也成等差数歹U.

abcabc

18.设｛4｝是公比为g的等比数列，且a”匈，包成等差数列.

(1)求q的值；

(2)设也,｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前A项和为S，当〃22时，比较

S与4的大小，并说明理由.

19.数列｛4｝的前〃项和记为S,已知a=l,a+|=g2，(〃=1,2,3…).

n

求证：数列｛&｝是等比数列.

n

20.已知数列｛4｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，S为其前〃项和,a,2a7,

3al成等差数列，求证：12S,成等比数列.

第二章数列

参考答案

一、选择题

1.C

解析:由题设，代入通项公式&,=4+(/?-1)d,即2005=1+3(〃-1)〃=699.

2.C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.

设等比数列｛4｝的公比为q(q>0),由题意得2+az+a3=21,

即ai(1+q+q)=21,又々=3,1+q+q=7.

解得q=2或q=-3(不合题意，舍去)，

@3+a〕+a5=a1/(1+q+/)=3X2~X7=84.

3.B.

解析：由团+绿=&+as，.,.排除C.

又a,,盔=4(团+7"=a：+7aid,

&•a5=(a,+3(/)3+4"=a；+7aH+12</>a,,a8.

4.C

解析：

解法1：设ai=」，a2—-!-+(/,a3=+2d,&='+3d,而方程2x+〃=0中两

4444

根之和为2,x—2x+n=0中两根之和也为2,

丁・国+包+包+团=1+6d=4,

.•."=l，a,=l,&=2是一个方程的两个根，&=3,as=3是另一个方程的两个

24444

根.

”分别为加或〃，

1616

/.Im—nI，故选C.

2

解法2：设方程的四个根为X,及，吊，x«,且为+用=及+凡=2,x「x?=m,也•M

=〃・

由等差数列的性质：若叶S=〃+Q,则为+/=&+%,若设乂为第一项，用必为第

四项，则尼=工，于是可得等差数列为工，

44444

・

・・勿=—7,n=1—5,

1616

/.Im—nI='.

2

5.B

解析：,**52—9,a=243,四~=d=/3=27,

a29

・・Q=3,ag=9,a1=3,

.•.S=^i=空=120.

1-32

6.B

解析:

解法1：由及003+司2004＞0，@2003*心004＜。，知22003和22004两项中有一＞正数一*负数,

又8＞0,则公差为负数，否则各项总为正数，故比003＞刈004，即@2003＞0，方2004＜。.

-e—4006（〃1+。4006）—40°&〃2003卜”2004）＞n

22

.c_4007/,x_4007o-

・•51007----------*（国十&007）------------*2H2004V。，

22

故4006为S>0的最大自然数.选B.

解法2：由4>0,金003+金004>0，^2003*方2004V0,同

解法1的分析得@2003>。，刘2001<0,

・・・W003为S中的最大值.

•・・s是关于〃的二次函数，如草图所示,20032004

（第6题）

A2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，

.•.土丝在对称轴的右侧.

根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点8的左侧，4007,4008

都在其右侧，S>0的最大自然数是4006.

7.B

解析：..,{4}是等差数列，，且3=&+4,a；=a+6,

又由a,a,功成等比数列，

(a+4)2=a(a+6),解得a=-8,

=

•*.a2—8+2=-6.

8.A

9(4十%)

解析：\=2=上幺=9-=1,.,.选A.

S55(q+“J5-a359

2

9.A

解析：设d和q分别为公差和公比,则一4=-1+3(/且一4=(―1)q,

/.d=—1,q=2,

%-4_d_

F-一7―5

10.C

解析：•••{4}为等差数列，...a；=ai+a〃+”.•.a；=2a”

又aHO,，&=2,{4}为常数数列,

而a“=$2,1,即2〃-1=羽=19,

2n-l2

'.n=10.

二、填空题

11.3>/2.

解析:

2,+痣

12工¥

f(l—X)

2I-X+V22+V2-2-1,V2+2X

-^-2'1+」2

1VI__V2a2=

：.f(x)+f(l-x)+史显

y[2+2xy/2+2x亚+2"y[2+2x2

设S=F(—5)+f(-4)+•••+/(0)+…+f(5)+f(6)，

则S=f(6)4-/(5)+…+f(0)+,,,+/*(—4)+f(—5),

.\25="(6)+f(—5)]+"⑸+f(—4)]4——F"(-5)+f(6)]=6后,

.•.S=f(—5)+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3痣.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：（1）由a3•包=a：,得a1=2,

a2•a3•at•,%=a：=32.

%+e=3241

(2)、=q-=不

(q+〃2)q~=369

••t?5+Sg=(dJj+a?)Q=4.

54=/+。2+。3+。4=24°

(3)

、=4nq=2，

§8=。]+做+,••+ci^S^~^~S4g

*a1317H-13|8+ag+<320=SlO-=32.

13.216.

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数

必与号，2同号，由等比中项的中间数为J|W=6,••.插入的三个数之积为卫X6

32V3232

=216.

14.26.

解析：***55=2EL\94+国3=2句0，

•♦6(曷+句o)=24,国+国0=4,

・c_13(。］+。”)—以牝+4。)_13X4_。公

222

15.-49.

解析：-5,

ai+as+…+a］。

_7(44+410)

2

_7(a$—d+as+5d)

2~

=7(&+2中

=-49.

16.5,—(z?+l)(n—2).

2

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已

有的每条直线都相交，•••F5)-)+(AT).

由A3)=2,

f(4)=f(3)+3=2+3=5,

f⑸=/(4)+4=2+34-4=9,

/(/?)=/(n—1)+(/?—1),

相加得M=2+3+4+-+(/7-1)=1(〃+1)(〃一2).

2

三、解答题

17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前

一项差为常数.

证明：(1)〃=1时，4=S=3—2=1,

2

当时，4=S—Sn-\—3ri—2〃一[3(〃-1)—2(〃-1)]=6/7—5,

〃=1时,亦满足，・\&=6〃­5(〃£N*).

首项ai=l,4一*=6〃-5—[6(/7—1)—5]=6(常数)(〃£N*),

・・・数列｛4｝成等差数列且a=l,公差为6.

(2)•••2，1,1成等差数列，

abc

-化简得2ac=6(方+c).

bac

2j2122

b+c।a+b_bc+cra+ab_b(a~\-c)+ac~—(a+c)_(tz+c)—oa+c

acacacac伙a+c)b

2

...士，士，处女也成等差数列.

abc

18.解：(1)由题设2次=且+9，即2旬/=国+囱仍

;国W0,/.2q—q—1—0,

,7—1或一’.

2

(2)若q=L则$=2〃+如0=立即.

22

当〃22时，S“一b尸S"_、=(”-1)(〃+2)>o,故

2

若q=-_L,则(-1)=Z^±^.

2