高等应用数学 课件 11.8 线性方程组（m≠n）的解法

在11.3节里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形.求解线性方程组是线性代数的主要内容之一，此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用，因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的解法．

本节主要讨论一般线性方程组的解法和线性方程组解的存在性．§11.8线性方程组（）的解法

一、线性方程组的矩阵表示

二、线性方程组解的讨论

三、线性方程组解的判定与求解内容提要设含有个未知量、有个方程组成的线性方程组(11-11)

其中系数

，常数

都是已知数，

是未知量(也称为未知数)．当右端常数项，…，不全为0时，称方程组（11-11）为非齐次线性方程组；当时，即(11-12)称为齐次线性方程组．非齐次线性方程组的矩阵表示形式为其中．

矩阵称为方程组的系数矩阵，称为未知数矩阵，称为常数项矩阵．将系数矩阵和常数矩阵放在一起构成的矩阵称为方程组(11-11)的增广矩阵（也可简记作显然，方程组与增广矩阵是一一对应的．齐次线性方程的矩阵表示形式为：其中二、

高斯消元法用消元法解方程组的每一步变换相当于对方程组的增广矩阵施以同样的行变换．因此，由方程组的同解变换就有下面的事实：定理11-10如果用初等行变换将增广矩阵化成矩阵，则方程组与是同解方程组．消元法(高斯消元法)：用初等行变换将方程组(11-11)的增广矩阵化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所代表的方程组，逐步回代，求出方程组的解．因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组的解．例1解线性方程组用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解．如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解．例如，对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，即：最后一个矩阵对应的线性方程组为将此方程组中含的项移到等号的右端，就得到原方程组的全部解，即其中是自由未知量．将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的,所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的.特别地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组,从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解.三、

线性方程组解的情况判定应用消元法解线性方程组，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解．归纳求解过程，实际上就是对方程组(11-11)的增广矩阵进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：，(11-13)

其中，或．(11-14)由定理11-9可知，阶梯形矩阵(11-13)和(11-14)所表示的方程组与方程组(11-11)是同解方程组，于是由矩阵(11-13)和(11-14)可得方程组(11-11)的解的结论:1.当时，阶梯形矩阵(11-13)和(11-14)所表示的方程组中的第个方程“”是一个矛盾方程，因此，方程组(11-11)无解．，则阶梯形矩阵(11-13)表示的方程组为2.当

时，方程组(11-11)有解．并且解有两种情况：（1）如果用回代的方法，自下而上依次求出…，的值．因此，方程组(11-11)有唯一解.（2）如果，则阶梯形矩阵(11-13)表示的方程组为将