高等应用数学 课件 11.2 行列式的性质与计算

第11章线性代数§11.1行列式的概念§11.2行列式的性质与计算§11.3线性方程组（m=n）的解法§11.4矩阵的概念与性质§11.5逆矩阵§11.6矩阵的初等变换§11.7矩阵的秩§11.8线性方程组（）的解法§11.2行列式的性质与计算

一、行列式的性质

二、行列式的计算内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、行列式的性质我们将引入行列式的6条性质，这些性质和它们的推论可以简化行列式的计算.一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.记性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第一节多元函数MultipleFunction例1若

，则??所以第一节多元函数MultipleFunction性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值仅改变符号.例2(1)(第二、三行互换）

(2)(第二、三列互换）

推论

若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零.第一节多元函数MultipleFunction推论

若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零.例3(1)(第一、二行相等）

(2)(第二、三列相等）

推论1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2

行列式中若有两行(列)对应元素成比例，则此行列式为零.第一节多元函数MultipleFunction因为第一列与第二列成比例，即第二列是第一列的4倍.

例4(1)(2)第一节多元函数MultipleFunction例5若

求解

利用行列式性质3，有第一节多元函数MultipleFunction则性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如，第一节多元函数MultipleFunction例7（1）

（2）第一节多元函数MultipleFunction左式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.左式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变例8(1)(2)性质6行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1）可按行列式的任一行（列）展开计算行列式的值。（2）计算行列式的值时，应选择0足够多的那一行（列）将行列式展开。推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则性质6行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得例9计算行列式解例10计算行列式解

注：计算行列式时，选择先按零元素多的行或列展开可大大简化行列式的计算，这是计算行列式的常用技巧之一.

二、行列式的计算常用的计算行列式的方法：1.计算二阶和三阶行列式时可用对角线法则.2.阶行列式常用的计算方法：

（1）定义法：按某行（列）展开（一般选择零元素较多的行或列展开）（2）化三角形法：利用行列式的性质，把它逐步化为上(或下)三角形行列式，这时行列式的值就是对角线上元素的乘积．这种方法一般称为“化三角形法”．

（3）降阶法：先利用行列式的性质把某一行(或列)的元素化为仅有一个非零元素，然后再按这一行(或列)展开，转化为低阶行列式的计算．例11计算行列式解化三角形法例12计算行列式解化零降阶法例13计算行列式解化零降阶法例14计算该行列式的特点是每一行元素的和都等于同一个数6，故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.解注：仿照上述方法可得到更一般的结果:例15计算行列式解

此行列式称为四阶范德蒙行列式，按照同样的方法可求出

阶范德蒙行列式的