高等应用数学 课件 1.1 函数

第一章函数、极限与连续

§1-1函数

§1-2极限的概念

§1-3极限的运算

§1-4无穷小与无穷大

§1-5函数的连续性

函数的概念

函数的三种表示方法

函数的几种性质

反函数

初等函数§1-1函数内容提要1．函数的定义在工程技术和经济领域的研究中，常常遇到不同的量，例如时间、速度、温度、成本、利润等等．这些量可以分为两大类：其中，保持某一数值不变的量称为常量；而在一定范围内可以取不同数值的量称为变量。函数的概念一引例1【银行存款】银行的存款本金A0

，年利率为r，t年末A0

将增值为At，若以年为期来计算利息，则一年末的本利和；两年末的本利和；

……类推之，年末的本利和。由上述例子可以看出，我们在研究事物的变化时，通过对客观事物的分析，建立各因素之间的关系式，这种关系式通过数量关系揭示事物的变化和发展规律，这就是我们中学已学过的函数，函数描述了变量之间的某种依赖关系。定义1设x

和y是两个变量，D是实数集R的某个子集。按照函数关系f（对应法则）：如果对任意，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y

是变量x

的函数，记作，称D为该函数的定义域，x

为自变量，

y

为因变量。当自变量x

取数值时，与x0

对应的因变量y

的值称为函数在点x0

处的函数值，记为，或，当x取遍D的各个数值时，对应的变量y

取值的全体组成的数集称为这个函数的值域。注意关于函数概念的进一步说明有以下两点：（2）函数两要素：函数的定义域D和函数关系f

。函数的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y则是由函数关系f确定的。也就是说，只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的。例如，函数和函数

就是两个不同的函数，因为它们的定义域不同；（1）函数记号：在函数的表达式中，f

()表示函数关系，而表示对应于x

的函数值，两者是有区别的；解例1已知函数，求。2.分段函数引例3

【脉冲电压函数】在电子技术中以为周期的脉冲电压函数表示为引例4【阶梯函数】在自动控制系统中的阶梯函数表示为其中a，c

为常数。像这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表示，称这样的函数为分段函数。它表示一个函数，不是几个函数的组合。引例5【符号函数】

如图1-1所示图1-13．函数的表示法在函数的定义中，并没有具体规定用什么方法表示函数。为了能更好地研究函数，就应该采用适当的方法将其表示出来，函数的表示法通常有三种，即解析式法、表格法和图像法。4．函数的几种特性（1）有界性若存在正数M，使得函数在某区间I

上恒有

，则称函数在I上有界，否则称函数在I上无界。若函数在

I上有界，则其图像在直与之间，显然，若函数有界，则其界不唯一。例如，正弦函数在区间内有界，因为对均成立；函数在内无界，而上有界。（2）单调性若对于区间I内任意两点，当时，有（或），则称函数在

I上单调增加（或单调减少），此时区间I称为单调增区间（或单调减区间）。（3）奇偶性设函数的定义D

关于原点对称，若对任意都成立：

，则是D上的偶函数；

，则是D

上的奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。研究函数奇偶性的用途在于：如果知道一个函数是偶函数或奇函数，则知其图像的一半即可知其全部，比如常见的偶函数和奇函数。（4）周期性对于函数，若存在不为零的数T，对任意，均有

，且恒成立，则称为I上的周期函数，称T为的周期，通常所说的周期是指它的最小正周期5．反函数基本初等函数与初等函数二1．平移和伸缩通过平移能产生新的函数，例如的图像是将的图像向上平移2个单位，的图像是将的图像向右平移4个单位，如图1-2所示。图1-2向右平移：用代替，将图像右移个单位形成函数；向左平移：用代替，将图像左移个单位形成函数；向上平移：用代替，将图像上移个单位形成函数；向下平移：用代替，将图像下移个单位形成函数。一般地，已知曲线，则有：（1）平移（2）伸缩用一个常数k

乘以函数，是函数的图像沿垂直方向扩大或缩小k

倍形成函数；负号表示该图像关于轴对称2．复合函数引例5【原油扩散面积】油轮在海洋发生原油泄漏事故，假设原油污染海水的面积A

是被污染圆形水面的半径r

的函数：。同时由于原油在海面上不断扩散，则污染半径r

又是时间t

的函数，因此，原油扩散面积与时间的函数关系是定义2设y

是u

的函数，

u是x

的函数，当x

在某一区间上取值时，相应的u使y有意义，则与

可构成复合函数，此时u为中间变量，称y是x

的复合函数。一般地，如果，则称为f

和φ这两个函数的复合函数。称为外层函数，它是因变量y

与中间变量

u

的函数关系；为内层函数，它是中间变量u

与自变量

x的函数关系。解例2

函数是由

复合而成的，而函数是由复合而成的。要认识复合函数的结构，必须要清楚其复合过程，也就是要理解如何对复合函数进行分解。通常采取由外层到内层分解的办法，将拆分成若干基本初等函数或简单函数的复合。习惯上我们将基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数成为简单函数。解例3将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）解例4将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（1）（2）3．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成，并能用一个解析式来表示的函数，称为初等函数。否则称为非初等函数。例如，多项式函数