矩阵运算及其应用

第二章矩阵运算及其应用

2.1矩阵的加减乘法2.2矩阵的逆2.3矩阵的分块2.4初等矩阵2.5应用实例2.6习题2.1矩阵的加减乘法2.1.1矩阵的加法定义2.1设有两个同型的矩阵，，矩阵A与矩阵B的和记作，规定为：若，把记作，称为A的负矩阵。显然有：由此可定义矩阵的减法为：2.1.2矩阵的数乘定义2.2

数与矩阵的乘积，简称数乘，记作或，规定为矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，矩阵的线性运算满足下列运算规律（A、B、C是同型矩阵，、是数）（1）加法交换律（2）加法结合律

（3）（4）

（5）（6）（7）（8）数乘分配律

2.1.3矩阵的乘法定义2.3设A是矩阵，B是矩阵，那么矩阵A

和矩阵B的乘积是一个矩阵C，其中记作C=AB由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等时，两个矩阵才能相乘。乘积矩阵的第元素等于前一个矩阵的第行各元素与后一个矩阵的第列相应元素乘积之和，即：定义2.4

对于变量，若它们都能由变量线性表示，即有：

（2-1）则称此关系式为变量到变量的线性变换。

可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入向量X：例2.4

式（2-2）给出变量到变量的线性变换；式（2-3）给出变量到变量的线性变换。请写出变量到变量的线性变换。

（2-2）

（2-3）

解：方法一，代换法。将式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩阵运算法。根据矩阵乘法的定义，可以把式（2-2）和式（2-3）分别写为式（2-5）和式（2-6）的矩阵等式：

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等价。通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变换中的运用。有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性方程组（1-3）写为矩阵形式：

（2-8）

若用A表示系数矩阵，X表示未知量构成的向量，b表示常数项所构成的向量，则式（2-8）可以化简为：AX=b例2.5

已知，，求AB，BA解：根据矩阵乘法定义，有：由于矩阵有2列，矩阵有3行，所以B不能左乘A。由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下（2）不能由，推出或（3）不能由，，推出在一般情况下有：矩阵乘法满足下列运算规律：（1）（2）（3），为数（4）（5），，其中为正整数，必须为方阵。

2.1.4矩阵的转置定义2.5设是一个矩阵，将矩阵中的行换成同序数的列得到的一个矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记作，或。例如，，则矩阵转置满足以下运算规律（1）（2）（3）（4）

在此只证明（4）证明：设,,记

，，据矩阵乘法定义及矩阵转置定义知：而的第行就是的第列，为：，的第列就是的第行，为：，因而有即得，亦即。定义2.6

如果n阶方阵

满足，则称为对称矩阵。如果n阶方阵满足，则称为反对称矩阵。显然反对称阵的主对角线上元素都是零。2.2矩阵的逆2.2.1逆矩阵的定义定义2.7设为n阶方阵，若存在n阶方阵，使得，其中为n阶单位矩阵，则称为可逆矩阵或是可逆的，并称为的逆矩阵。如果的逆矩阵为，记，显然，则的逆矩阵为，记，我们也称矩阵和矩阵互逆。

例2.7设

,,,分析矩阵和矩阵、矩阵和矩阵的关系。解：

所以，矩阵和矩阵互为逆矩阵。矩阵和矩阵也互为逆矩阵。2.2.2逆矩阵的性质性质1如果矩阵可逆，则的逆矩阵唯一性质2

若和为同阶方阵，且满足则，即矩阵和矩阵互逆。性质3

若可逆，则也可逆，且性质4若可逆，数，则可逆，且性质5

若、均为阶可逆方阵，则也可逆，且

性质6

若可逆，则也可逆，且例2.8

设方阵满足，试证可逆，并求。解：根据已知条件，可以得到：则有：所以矩阵可逆，且。2.3矩阵的分块在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩阵运算。用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。比如将4×3矩阵分为

,,,它们可分别表示为：

分块矩阵的运算与普通矩阵类似，1．加法运算设，都是

矩阵，且将，按完全相同的方法分块：2．数乘运算设,有：3．乘法运算设为矩阵，为矩阵，将它们分别分块成其中的列数分别等于的行数，即可以左乘。则有：其中4．转置运算

设有：注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内的元素位置转置，而且要要把子块本身的位置转置。5．分块对角矩阵如果将方阵分块后，有以下形式：其中主对角线上的子块均是方阵，而其余子块全是零矩阵，则称为分块对角矩阵，记为。设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵则有对于上面的分块矩阵，若对角线上的所有子块都可逆，则有：例2.9

利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。解：线性方程组的矩阵表示为：把系数矩阵按列分成4块：与常数矩阵分别用向量和向量来表示，则有：进而得到向量等式：2.4初等矩阵

定义2.8

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵或初等方阵。前面介绍了三种初等变换，每一种初等变换，都有一个相对应的初等矩阵（1）交换单位矩阵的,两行（或,两列），得到的初等矩阵记为，即：

（2-12）

（2）用一个非零数乘单位矩阵的第行（或第列），得到的初等矩阵记为，即：

（2-13）

（3）将单位矩阵第行的倍加到第行上（或将单位矩阵第列的倍加到第列上）得到的初等矩阵记为，即：

（2-14）

例2.10

设求：E1*A，E2*A，E3*A。解：定理2.1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，其结果等于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，其结果等于在的右边乘以相应的阶初等矩阵。定理2.2设为阶方阵，那么下面各命题等价：（1）是可逆矩阵；（2）线性方程组只有零解；（3）可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵；（4）可以表示为有限个初等矩阵的乘积。例2.11

设判断、是否可逆，如果可逆，请求之。解：

则矩阵可逆，且其逆为：显然矩阵通过初等行变换不能化为单位矩阵，则矩阵不可逆。是降秩的。它通过初等行变换，可以化出一个零行，则其秩为2。故当A不可逆时，(2-15)式应改为：其中是秩为r的n×n方阵，r<n。即它有r个非零行和n-r个零行。2.5应用实例

2.5.1成本核算问题例2.12某厂生产三种产品，每件产品的成本及每季度生产件数如表2.6及表2.7所示。试提供该厂每季度的总成本分类表。表2.6每件产品分类成本成本(元)产品A产品B产品C原材料0.100.300.15劳动0.300.400.25企业管理费0.100.200.15表2.7每季度产品分类件数解：用矩阵来描述此问题，设产品分类成本矩阵为，季度产量矩阵为,则有：产品夏秋冬春A4000450045004000B2000280024002200C5800620060006000令，则的第一行第一列元素为：

(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870不难看出，它表示了夏季消耗的原材料总成本。在Matlab环境下，键入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000];>>Q=M*P

Q=187022202070196034504020381035801670194018301740为了进一步计算矩阵Q的每一行和每一列的和，可以继续键入：>>Q*ones(4,1)ans=8120 14860 7180>>ones(1,3)*Qans=6990818077107280并可以继续算出全年的总成本：>>ans*ones(4,1)ans=30160

根据以上计算结果，可以完成每季度总成本分类表，如表2.8所示。表2.8每季度总成本分类表成本（元）夏秋冬春全年原材料18702220207019608120劳动345040203810358014860企业管理费16701940183017407180总成本（元）6990818077107280301602.5.2特殊矩阵的生成例2.13在Matlab环境下生成矩阵X：矩阵X有相同的10行，每一行都是公差为1的等差数列。解：令则，就实现了矩阵赋值。键入MATLAB语句：>>v1=-10:10;v2=ones(1,10)>>X=v2'*v1例2.14在Matlab环境下生成范德蒙矩阵。解：这里用了Matlab的符号运算功能。键入：>>symsx1x2x3x4real %令x1x2x3x4为实数符号变量>>x=[x1,x2,x3,x4];y=0:3;>>A=x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y>>V=A.^B

%两个方阵的元素群求幂

程序的运行结果为：Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数vander.m是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。2.5.3逆矩阵的求解例2.15设试求其逆阵解：当矩阵的阶数较高时，利用Matlab辅助计算就尤显重要。用Matlab来求矩阵的逆，其方法很多。首先在Matlab环境下键入：>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];

方法1,A^-1,方法2,inv(A),方法3,A\eye(4),方法4,U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)运行结果都为：ans= 0.2323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.2525 0.5859-0.4747-0.17170.10100.2424-0.2424-0.15150.0