高考数一轮复习 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破热点题型 文

第二节平面向量基本定理及坐标表示考点一平面向量基本定理的应用[例1]在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.[自主解答]选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝eq\f(1,2)＋，＝＋eq\f(1,2)，又＝λ＋μ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))故λ＋μ＝eq\f(4,3).[答案]eq\f(4,3)【互动探究】在本例条件下，若＝c，＝d，试用c，d表示，.解：设＝a，＝b，因为E，F分别为CD和BC的中点，所以＝eq\f(1,2)b，＝eq\f(1,2)a，于是有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d.))即＝eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c，＝eq\f(2,3)(2c－d)＝eq\f(4,3)c－eq\f(2,3)d.【方法规律】应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝eq\f(1,3)BC.因为点M为AH的中点，所以＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，即λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)考点二平面向量的坐标运算[例2]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：(1)3a＋b－3(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标．[自主解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M的坐标为(0,20)．又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N的坐标为(9,2)．故＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．【方法规律】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四个顶点D的坐标．解：设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD.则由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－x＝1，,4－y＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1；))若平行四边形为ACBD，则由＝(－7,2)，＝(5－x，7－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－7，,7－y＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝5；))若平行四边形为ABDC，则由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝1，,y－4＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝9.))综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9).高频考点考点三平面向量共线的坐标表示1．平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．2．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题．[例3](1)(·陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0(2)(·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(3)(·东营模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．[自主解答](1)因为a∥b，所以m2＝2，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2).(2)∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)．(3)＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).[答案](1)C(2)(－4，－2)(3)eq\f(1,2)平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．1．(·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：选A∵A(1,3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)，又∵||＝5，∴与同向的单位向量为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：由题意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，即2(m－1)＝3，故m＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)3．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．解析：法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以＝eq\f(3,4)＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．答案：(3,3)———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个区别——向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．2种形式——向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0