高考数一轮复习 第六章 第四节 基本不等式突破热点题型 文

第四节基本不等式考点一利用基本不等式证明不等式[例1]已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.[自主解答]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时等号成立)).【互动探究】保持例题条件不变，证明：eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2.证明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))×1)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))×1)≤eq\f(a＋\f(1,2)＋1,2)＋eq\f(b＋\f(1,2)＋1,2)＝eq\f(a＋b＋3,2)＝eq\f(4,2)＝2.当且仅当a＋eq\f(1,2)＝1，b＋eq\f(1,2)＝1，即a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立．【方法规律】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．设a、b均为正实数，求证：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥2eq\r(2).证明：由于a、b均为正实数，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥2eq\r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq\f(2,ab)，当且仅当eq\f(1,a2)＝eq\f(1,b2)，即a＝b时等号成立，又因为eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(\f(2,ab)·ab)＝2eq\r(2)，当且仅当eq\f(2,ab)＝ab时等号成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq\r(4,2)时取等号.高频考点考点二利用基本不等式求最值1．利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题．2．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)构造不等式求最值．[例2](1)(·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2](2)(·山东高考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)(3)(·天津高考)设a＋b＝2，b>0，则eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值为________．[自主解答](1)因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)，故eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，即2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，所以x＋y≤－2.(2)eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y时等号成立．此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2.(3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.令t＝eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)，①当0<a<2时，t＝eq\f(a＋b,4a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,4)＋eq\f(b,4a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(1,4)＋2eq\r(\f(1,4))＝eq\f(5,4)，当且仅当eq\f(b,4a)＝eq\f(a,b)，即b＝2a，a＝eq\f(2,3)∈(0,2)时，t取得最小值为eq\f(5,4).②当a<0时，t＝－eq\f(a＋b,4a)－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))≥－eq\f(1,4)＋2eq\r(\f(1,4))＝eq\f(3,4)，当且仅当－eq\f(b,4a)＝－eq\f(a,b)，即b＝－2a，a＝－2时，t取得最小值为eq\f(3,4).∵eq\f(5,4)>eq\f(3,4)，∴eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值为eq\f(3,4).[答案](1)D(2)C(3)eq\f(3,4)利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略(1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：选C∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，当且仅当－x＝－eq\f(1,x)，即x＝－1时等号成立．2．(·衢州模拟)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，取等号．答案：93．(·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)时等号成立，此时a＝4x2，由已知x＝3时函数取得最小值，所以a＝4×9＝36.答案：36考点三基本不等式的实际应用[例3]为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－eq\f(k,2t＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[自主解答](1)由题意有1＝4－eq\f(k,1)，得k＝3，故x＝4－eq\f(3,2t＋1).故y＝1.5×eq\f(6＋12x,x)×x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2t＋1)))－t＝27－eq\f(18,2t＋1)－t(t≥0)．(2)由(1)知：y＝27－eq\f(18,2t＋1)－t＝27.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,t＋\f(1,2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))).基本不等式eq\f(9,t＋\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))≥2×eq\r(\f(9,t＋\f(1,2))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))＝6，当且仅当eq\f(9,t＋\f(1,2))＝t＋eq\f(1,2)，即t＝2.5时等号成立．故y＝27－eq\f(18,2t＋1)－t＝27.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,t＋\f(1,2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))))≤27.5－6＝21.5.当且仅当eq\f(9,t＋\f(1,2))＝t＋eq\f(1,2)，即t＝2.5时，等号成立，y有最大值21.5.所以年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．【方法规律】解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求．(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值．某单位建造一间地面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，房顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？解：由题意可得，造价y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x×150＋\f(12,x)×400))＋5800＝900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋5800(0<x≤5)，则y＝900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋5800≥900×2eq\r(x×\f(16,x))＋5800＝13000(元)，当且仅当x＝eq\f(16,x)，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b>0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，当