高考数一轮复习 第九章 第七节 数系的扩充与复数的引入突破热点题型 文

第七节数系的扩充与复数的引入考点一复数的有关概念[例1](1)(·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1(2)(·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i是虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1)∵a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.[答案](1)D(2)D【互动探究】若将本例(2)中的“z－3”改为“z－i”，则eq\x\to(z)为何值？解：∵(z－i)(2－i)＝5，则z－i＝eq\f(5,2－i)，∴z＝i＋eq\f(5,2－i)＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i.【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\x\to(z)＝a－bi，则z－eq\x\to(z)为()A．实数B．纯虚数C．零D．零或纯虚数解析：选D由题意知z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，当b＝0时，z－eq\x\to(z)为0；当b≠0时，z－eq\x\to(z)为纯虚数．2．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z2＋eq\x\to(z)2的虚部为()A．0B．－1C．1解析：选A∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虚部为0.考点二复数的几何意义[例2](1)(·江西高考)已知复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(3)(·辽宁高考)复数z＝eq\f(1,i－1)的模为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2[自主解答](1)由共轭复数的定义知：z＝1－2i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．(2)设z＝－a＋bi(a>0，b>0)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝－a－bi.它对应的点为(－a，－b)，是第三象限的点，即图中的B点．(3)∵z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,i－1i＋1)＝eq\f(i＋1,－1－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)B(3)B【方法规律】判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限．1．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：选C由题意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中点C的坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i.2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.答案：5高频考点考点三复数代数形式的运算1．复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题．2．高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)复数的乘法运算；(2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数．[例3](1)(·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i(2)(·新课标全国卷Ⅰ)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i(3)(·广东高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4[自主解答](1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,－2ii)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.(3)由已知得x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，故|x＋yi|＝eq\r(42＋－32)＝5.[答案](1)C(2)B(3)D复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．(3)利用复数相等求参数．a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：选A由题意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.2．i为虚数单位，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝()A．－iB．－1C．iD．1解析：选Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝i2014＝i2＝－1.3．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析：∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.答案：8———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个分类——复数的分类对复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．2个技巧——复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代