高考数一轮复习 第二章 第四节 二次函数与幂函数演练知能检测 文

第四节二次函数与幂函数[全盘巩固]1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是()A．－4B．4C．－2D．2解析：选A二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()A．①y＝xeq\f(1,3)，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1D．①y＝xeq\f(1,3)，②y＝xeq\f(1,2)，③y＝x2，④y＝x－1解析：选B函数y＝x2的定义域、值域分别为R和[0，＋∞)，且其图象关于y轴对称，故该函数应与图象②对应；函数y＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)的定义域、值域都是[0，＋∞)，故该函数应与图象③对应；函数y＝x－1＝eq\f(1,x)，该函数应与图象④对应，故排除选项C，D.对于函数y＝xeq\f(1,3)，随着x的增大，函数图象向x轴弯曲；而对于函数y＝x3，随着x的增大，函数图象向y轴弯曲，故图象①应与函数y＝x3对应．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是()ABCD解析：选D∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)()A．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增B．在(－∞，3)上单调递增C．在[1,3]上单调递增D．单调性不能确定解析：选A由已知可得该函数的图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，在[2，＋∞)上是单调递增的．5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))解析：选C令f(x)＝x2＋ax－2，由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f5≥0.))解得－eq\f(23,5)≤a≤1.6．(·衢州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)＜f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：选B函数的对称轴为x＝－1，设x0＝eq\f(x1＋x2,2)，由0＜a＜3，得到－1＜eq\f(1－a,2)＜eq\f(1,2)，又x1＜x2，用单调性和离对称轴的远近作判断，故选B.7．若y＝xa2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a解析：∵函数在(0，＋∞)内是减函数，∴a2－4a∴2－eq\r(13)＜a＜2＋eq\r(13)，又函数是偶函数，∴a2－4a∴整数a的值可以是－1,1,3或5.答案：－1,1,3或58．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝eq\f(1,2).∴f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1.答案：f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－19．(·海口模拟)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.答案：(－2,0)10．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x＜1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,8))).求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．解：设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,8)))在函数图象上，求得n＝3.令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．11．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，对称轴x＝－eq\f(3,2)∈[－2,3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)函数f(x)的对称轴为x＝－eq\f(2a－1,2).①当－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)满足题意；②当－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即综上可知a＝－eq\f(1,3)或－1.12．(·湖州模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a＞1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a，,fa＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a＋5＝a，,a2－2a2＋5＝1，))解得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]．[冲击名校]1．对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(3，＋∞)解析：选Bf(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＞0，,g－1＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2＞0，,x2－5x＋6＞0.))解得x＞3或x＜1，故选B.2．已知函数f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是()A．[0,3)B．[3,9)C．[1,9)D．[0,9)解析：选D据题意只需转化为当x≤0时，ax2－(3－a)·x＋1>0恒成立即可．结合f(x)＝ax2－(3－a)x＋1的图象，当a＝0时验证知符合条件；当a≠0时必有a>0，当x＝eq\f(3－a,2a)≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；当x＝eq\f(3－a,2a)<0时，只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－a,2a)))>0即可，解得3<a<9.综上所述可得a的取值范围是0≤a＜9.[高频滚动]1．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数解析：选C法一：根据题意，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数．法二：(特殊函数法)由条件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函数．2．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的三个命题：①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象