教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷1（共122题）

教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷1（共4套）（共122题）教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷第1套一、证明题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)已知双曲线C：－y2=1，设过点A(－3√2，0)的直线l的方向向量e=(1，k)．1、当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；标准答案：双曲线C的渐近线m：±y=0，即x±√2y=0，∴直线l的方程x±√2y+3√2=0．∴直线l与m的距离d==√6．知识点解析：暂无解析2、证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为√6．标准答案：假设双曲线C的右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为√6，则由①得y0=kx0+3√2k±√6·，设t=3√2k±√6·，当k＞时，t=3√2k+√6·＞0．t=3√2k－√6·＞0，将y0=kx0+t代入②得(1—2k2)x02－4ktx－2(t2+1)=0(*)∵k＞，t＞0，∴1—2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2+1)＜0，∴方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为√6．知识点解析：暂无解析如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．3、当CF=1时，求证：EF⊥A1C；标准答案：证明：过E作EN⊥AC于N，连接EF．(Ⅰ)如图1，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN上侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1．则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂线定理知EF⊥A1C.知识点解析：暂无解析4、设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值标准答案：如图2，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由(1)知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C－AF—E的平面角，即∠EMN=0．设∠FAc=α，则0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=√3，在Rt△AMN中，MN=AN·sinα－3sinα，故tanθ=．又0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤．故当sinα=，即当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合．知识点解析：暂无解析如图所示，在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为l的菱形，且∠DAB=60°，PA—PD=√2，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点．5、证明：AD⊥平面DEF；标准答案：如图，取AD的中点O，连接PO、BO，∵四边形ABCD是边长为1的菱形，连接BD，∴△ABD为等边三角形．∴BO⊥AD，又PA=PD=√2．PO⊥AD，又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又∵E、F分别为BC、PC的中点，∴EF∥BP，而0为AD的中点，得DE∥OB，EF∩ED=E，∴平面POB∥平面DEF，∴AD⊥平面DEF．知识点解析：暂无解析6、求二面角P—AD—B的余弦值．标准答案：由(1)知PO⊥AD，BO⊥AD．则∠POB为所求二面角的平面角，在等边三角形ABD中，可得OB=，在△PAD中，可得PO=，又PB=2，在△POB中，由余弦定理得COS∠POB=．∴二面角P—AD—B的余弦值为－知识点解析：暂无解析已知ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．7、设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A—B1D1－A1的大小为β，求证：tanβ=√2tanα；标准答案：连结AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1=α．∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的－个平面角，∴∠AO1A1=β．在Rt△AB1A1中，tanα==h；在Rt△AO1A1中，tanβ==√2h．∴tanβ=√2tanα．知识点解析：暂无解析8、若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高．标准答案：如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1．h)，则=(1，0，－h)，=(0，1，－h)，=(1，1，0)．设平面AB1D1的法向量为n=(u，υ，ω)．∵=0．由得u=hω，v=hω，∴n=(hω，hω，ω)．令ω=1，得n=(h，h，1)．由点C到平面AB1D1的距离为d=．解得高h=2．知识点解析：暂无解析如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=√2，CE=EF=1．9、求证：AF∥平面BDE；标准答案：设AC与BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG．因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE．知识点解析：暂无解析10、求证：CF⊥平面BDE；标准答案：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC．所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz．则C(0，0，0)，A(√2，√2，0)，B(0，√2，0)，D(√2，0，0)，E(0，0，1)，F.所以=(0，√2，1)，=(－√2，0，1)．所以=0—1+1=0．=－1+0+1=0，所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．知识点解析：暂无解析11、求二面角A—BE—D的大小．标准答案：由(II)知，是平面BDE的－个法向量．设平面ABE的法向量n=(x，y，z)，则·所以x=0，且z=√2y．令y=1，则z=√2，所以n=(0，1，√2)．从而cos因为二面角A—BED为锐角，所以二面角A—BE—D的大小为.知识点解析：暂无解析如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．12、证明：AB=AC；标准答案：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，AC为y轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz．设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则B1(1，0，2c)，E．于是=(－1，b，0)．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC．=0，求得b=1，所以AB=AC．知识点解析：暂无解析13、设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．标准答案：设平面BCD的法向量=(x，y，z)，则=0．又=(－1，1，0)，=(－1，0，c)，故令x=1，则y=1，z=,又∵平面ABD的法向量=(0，1，0)．由二面角A—BD—C为60°知，·cos60°，求得c=于是=(1，1，√2)，=(1，－1，√2)，cos=60°．所以B1C与平面BCD所成的角为30°．知识点解析：暂无解析已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，MN分别为AB、DF的中点．14、若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；标准答案：取CD的中点G，连结MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2a．则MG⊥CD，MG=2a，NG=√2a，因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，而NG平面DCEF，所以NG⊥MG可得∠MNG是MN与面DCEF所成的角．知识点解析：暂无解析15、用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．标准答案：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN．由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF．又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN．又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．知识点解析：暂无解析如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC=16，PA=PC=10．16、设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；标准答案：如图，取PE的中点为H，连结HG，HF．因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HG∥OE，HF∥EB．因此平面FGH∥平面BOE．因为FG在平面FGH内，所以FG∥平面BOE．知识点解析：暂无解析17、证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，0B的距离．标准答案：在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M．下证FM⊥平面BOE．由题意得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN，又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE，因此FM⊥平面BOE．在Rt△OAP中，OE=PA=5．PQ=，COS∠NPO=，ON=OP·tan∠NPO=＜OA，所以点N在线段OA上．因为F点是PB的中点，所以M是BN的中点．因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为.知识点解析：暂无解析如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．18、求证：EF⊥BC；标准答案：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，√3)，D(√3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E，所以=(0，2，0)，因此=0，所以EF⊥BC．知识点解析：暂无解析19、求二面角E—BF—C的正弦值．标准答案：在图中，设平面BFC的一个法向量=(0，0，1)，平面BEF的法向量(x，y，z)，又得其中一个(1，一√3，1)，设二面角E—BF—C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ=因此sinθ=，即所求二面角正弦值为.知识点解析：暂无解析如图，四边形．ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．20、证明：CF⊥平面ADF；标准答案：因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD．因为在正方形ABCD中CD⊥AD，又CD∩PD=D，所以AD⊥平面PCD．因为CF平面PCD，所以AD⊥CF．因为AF⊥CF，AF∩AD=A，所以CF⊥平面ADF．知识点解析：暂无解析21、求二面角D－AF－E的余弦值．标准答案：方法－：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，P(√3，0，0)，．由(Ⅰ)得=(√3，－1，0)是平面ADF的－个法向量．设平面AEF的法向量为，1)，所以令x=4，则y=0，z=√3，所以=(4，0，√3)是平面AEF的－个法向量．设二面角D—AF—E的平面角为θ，且θ∈(0，)，所以cosθ=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值为.方法二：过点D作DG⊥AE于G，过点D作DH⊥AF于H，连接GH．因为CD⊥PD，CD⊥ED，ED∩AD=D，所以CD⊥平面ADE．因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE．因为DG平面ADE，所以FE⊥DG．因为AE∩FE=E，所以DG⊥平面AEF．根据三垂线定理，有GH⊥AF，所以∠DHG为二面角D—AF—E的平面角．设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，AD=1，DF=，所以DH=.在Rt△ADE中，因为FC=PC，所以DE=，所以DG=.所以GH=，所以cos∠DHG=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值为.知识点解析：暂无解析如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．22、证明：BE⊥DC；标准答案：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)=(0，1，1)，=(2，0，0)∵=0，∴BE⊥DC．知识点解析：暂无解析23、求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；标准答案：∵=(－1，2，0)，=(1，0，－2)，设平面PBD的法向量=(x，y，z)，由，令y=1，则=(2，1，1)，则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.知识点解析：暂无解析24、若F为棱PC上－点，满足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．标准答案：∵=(1，2，0)，=(－2，－2，2)，=(2，2，0)，由F点在棱PC上，设=(－2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，故=(1—2λ，2—2λ，2λ)(0≤λ≤1)，由BF⊥AC，得=2(1—2λ)+2(2—2λ)=0，解得λ=，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，由.令c=1，则=(0，－3，1)，取平面ABP的法向量=(0，1，0)，则二面角F—AB—P的平面角α满足：cosα=，故二面角F—AB—P的余弦值为.知识点解析：暂无解析如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC上平面AA1C1C，AB=3，BC=5．25、求证：AA1⊥平面ABC；标准答案：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC．知识点解析：暂无解析26、求二面角A1－BC1－B1的余弦值；标准答案：由(Ⅰ)知AA1⊥AC，AA1上AB．由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A—xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．设平面A1BC1的法向量为=(x，y，z)，则令z=3，则x=0，y=4，所以=(0，4，3)．同理可得，平面B1BC1的法向量为=(3，4，0)．所以cos由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.知识点解析：暂无解析27、证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．标准答案：设D(x，y，z)是直线BC1上－点，且，所以(x，y－3，z)=λ(4，－3．4)．解得x=4λ，y=3—3λ，z=4λ．所以=(4λ，3—3λ，4λ)．由=0，即9—25λ=0，解得λ=.因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，.知识点解析：暂无解析如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．28、求证：平面PAC⊥平面PBC；标准答案：证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC平面PBC．所以平面PBC⊥平面PAC．知识点解析：暂无解析29、若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C—PB—A的余弦值．标准答案：解法－：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC．如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为AB=2，AC=l，所以BC=√3．因为PA=1，所以A(0，1，0)，B(√3，0，0)，P(0，1，1)．故=(√3，0，0)，=(0，1，1)．设平面BCP的法向量为=(x，y，z)，则不妨令y=1，则=(0，1，－1)．因为=(0，0，1)，=(√3，－1，0)．设平面ABP的法向量为=(x，y，z)，则不妨令x=1，则=(1，√3，0)，于是所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.解法二：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC，由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角CPBA的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得BC=√3，CM=，在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB=√5．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以,故MN=.又在Rt△CNM中，CN=故cos∠CNM=所以二面角C—PB—A的余弦值为.知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷第2套一、证明题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)如图所示，在三棱锥P—ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．1、求证：AB∥GH；标准答案：由已知得，EF、DC分别为△PAB和△QAB的中位线，∴EF∥AB．DC∥AB，于是EF∥DC，又EF不在平面PDC内，DC在平面PDC内，∴EF∥平面PDC；又∵EF在平面QEF内且平面QEF∩平面PDC=GH,∴EF∥GH；而EF∥AB，所以AB∥GH．知识点解析：暂无解析2、求二面角D—GH—E的余弦值．标准答案：∵AQ=2BD，且D为AQ的中点，∴△ABQ为直角三角形，AB⊥BQ，又PB⊥平面ABC，则PB⊥AB，PB∩BQ=B，PB在平面PBQ内，BQ在平面PBQ内，所以AB⊥平面PBQ；由(Ⅰ)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ；于是GH⊥FH，GH⊥HC，∠FHC即为二面角D—GH—E的平面角；由已知得∠BFH=∠BCH，且tan∠BCH=2，∠FHC=2π－－2∠BCH=－2∠BCH，∴cos∠FHC=cos(－2∠BCH)=－sin2∠BCH=.知识点解析：暂无解析如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB△DCB，EA=EB=AB=1，PA=．连接CE并延长交AD于F．3、求证：AD⊥平面CFG；标准答案：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA=EB=ED=AB=1，故∠BAD=，∠ABE=∠AEB=，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=，所以∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD，又因为PG=GD，所以FG∥PA．又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG．知识点解析：暂无解析4、求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．标准答案：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，，D(0，√3，0)，，设平面BCP的法向量=(1，y1，z1)，则设平面DCP的法向量=(1，y2，z2)，则即=(1，√2，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ=知识点解析：暂无解析如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=√2．5、证明：A1C⊥平面BB1D1D；标准答案：证法－：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB=AA1=√2．∴OA=OB=OA1=1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．由，易得B1(－1，1，1)．∵=(－1，0，－1)，(0，－2，0)，=(－1，0，1)，∴=0．∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1是AC的中垂线．∴A1A=A1C=√2，且AC=2，∴AC2=AA12+A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1．∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．知识点解析：暂无解析6、求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．标准答案：设平面OCB1的法向量=(x，y，z)，∵=(－1，0，0)，=(－1，1，1)，．取n=(0，1，－1)，由(Ⅰ)知，=(－1，0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ=．又∵0≤θ≤.知识点解析：暂无解析如图，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．7、证明：AC⊥B1D；标准答案：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．从而=(－t，3，－3)，=(t，1，0)，=(－t，3，0)．因为AC⊥BD，所以=－t2+3+0=0．解得t=√3或t=－√3(舍去)．于是=(－√3，3，－3)，=(√3，1，0)．因为=－3+3+0=0，所以，即AC⊥B1D．知识点解析：暂无解析8、求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．标准答案：由(Ⅰ)知，=(0，3，3)，=(√3，1，0)，=(0，1，0)．设=(x，y，z)是平面ACD1的－个法向量，则．令x=1，则=(1，－√3，√3)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ=即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为知识点解析：暂无解析如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.9、求证：四边形OCED为菱形；标准答案：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO=DO=BO，∴四边形OCED为菱形．知识点解析：暂无解析10、连接AE、BE，AE与BE相等吗?请说明理由．标准答案：AE=BE．理由：∵四边形OCED为菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∠BCE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE=BE．知识点解析：暂无解析已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．11、如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；标准答案：∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．知识点解析：暂无解析12、如图2，若AC⊥BD，垂足为F，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．标准答案：作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE∥AC，∴弧CE=弧AB，∴CE=AB．根据勾股定理，得CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，∵DE=2√5,∴OD=√5，即⊙O的半径为√5.知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=a(1—2|x—|)，a为常数且a＞0.13、证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称；标准答案：因为f(+x)=a(1—2∣x∣)，f(－x)=a(1—2∣x∣)，有f，所以函数f(x)的图像关于直线x=对称．知识点解析：暂无解析14、若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；标准答案：当0＜a＜时，有f(f(x))=所以f(f(x))=x只有－个解x=0，又f(0)=0，故0不是二阶周期点．当a=时，有f(f(x))=所以f(f(x))=x有解集，又当x≤时，f(x)=x故中的所有点都不是二阶周期点．当a＞时，有f(f(x))=．所以f(f(x))=x有四个解0，，又f(0)=0，，故只有是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a的取值范围为a＞.知识点解析：暂无解析15、对于(Ⅱ)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．标准答案：由(II)得x1=，因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3=或x3=．当x3=时，S(a)=，求导得：S＇(a)=所以当a∈时，S(a)单调递增，当a∈时S(a)单调递减；当x3=时，S(a)=，求导得：S＇(a)=，因a＞，从而有S＇(a)=＞0，所以当a∈(，+∞)时S(a)单调递增.知识点解析：暂无解析给出定义，若－个四边形中存在相邻两边的平方和等于－条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．16、在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；标准答案：正方形、矩形、直角梯形均可．知识点解析：暂无解析17、如图，将／XABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．标准答案：①∵△ABC≌△DBE．∴BC—BE，∵∠CBE=60°∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC,AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．知识点解析：暂无解析18、(Ⅰ)已知函数f(x)=x3－x，其图象记为曲线C．(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另－点P2(x2，f(x2))．曲线C与其在点P2处的切线交于另－点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；(Ⅱ)对于－般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，请给出类似于(i)(ii)的正确命题，并予以证明．标准答案：(Ⅰ)由f(x)=x3－x得f＇(x)=3x2一1=3当x∈时，f＇(x)＞0；当x∈时，f＇(x)＜0．因此f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(ii)曲线C在点P1处的切线方程y=(3x12－1)(x－x1)+x13－x1．即y=(3x12一1)x－2x13．由得x－x=(3x12－1)x－2x13，即(x一x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=－2x1，故x2=一2x1．进而有S1=∫1-2(x3－3x12x+2x13)dx=∣(x12x2+2x13x)∣x1-2x1∣=x14．用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=一2x2和S2=x24．又∵x2=－2x1≠0，所以S2=,x14≠0，因此有.(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C＇，类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为：若对于任意不等于－的实数x1，曲线C＇与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于点P2(x2，g(x2))，曲线C＇与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C＇所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设g(x)=ax3+hx，且x1≠0．类似(Ⅰ)(ii)的计算可得S1=ax14，S2=ax14≠0.故.知识点解析：暂无解析已知椭圆Γ的方程为=1(a＞b＞0)，点P的坐标为(－a，b)．19、若直角坐标平面上的点M，A(0，－b)，B(a，0)满足，求点M的坐标；标准答案：设点M的坐标为(x0，y0)．∵=(a，－2b)，=(2a，－b)，∴=(x0+a，y0－b)，于是，点M的坐标为.知识点解析：暂无解析20、设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1·k2=－，证明：E为CD的中点；标准答案：由y=k1x+p，=1，联立得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2－a2b2=0，∴CD中点坐标为．∵k1·k2=，∴k2=．由y=k1x+p，y=－x，得l1与l2的交点E的坐标为，∴l1与l2的交点E为CD的中点．知识点解析：暂无解析21、对于椭圆Γ上的点Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点P1、P2满足，写出求交点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．标准答案：第－步：取PQ的中点R第二步：直线OR的斜率k2=，过点R作斜率为－的直线交Γ于P1、P2两点．由(II)可知，R是P1P2的中点，则PP1QP2是平行四边形，有.要使P1、P2存在，则点R必须在椭圆内．将x=代入椭圆Γ的方程，得y2=b2[1－]，当且仅当时，点R在椭圆内．整理得(1+sinθ)2+(cosθ－1)2＜4，即2sinθ－2cosθ＜1，亦即sin又0＜θ＜π，∴0＜θ＜.知识点解析：暂无解析已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=.22、求双曲线C的方程；标准答案：由题意得解得a=1，c=√2．所以b2=c2－a2=2．所以双曲线C的方程为x2－=1．知识点解析：暂无解析23、设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．标准答案：点P(x0，y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上，圆在点P(x0，y0)处的切线l的方程为y－y0=－(x－x0)，化简得x0x+y0y=2，由及x02+y02=2得(3x02一4)x2－4x0x+8－2x02=0．因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且0＜x＜2，所以3x02－4不到≠0，且△=16x02－4(3x02－4)(8－2x02)＞0．设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=,x1x2=因为cos∠AOB==x1x2+y1y2=x1x2+(2－x0x1)(2－x0x2)=x1x2+[4－2x0(x1+x2)+x02x1x2]==0，所以∠AOB的大小为90°．知识点解析：暂无解析过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上一点A(a，0)(a＞0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=一a作垂线，垂足分别为M1、N1．24、当a=时，求证：AM1⊥AN1；标准答案：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有M1(－a，y1)，N1(－a，y2)．由消去x可得y2－2mpy－2ap=0，从而有①于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a)．②又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2==a2．③(Ⅰ)如图，当a=时，点A(，0)即为抛物线的焦点，l为其准线x=－此时M1(－，y1)，N1(－，y2)，并由①可得y1y2=－P2．=(－P，y1)，=(－P，y2)，∴=p2－p2=0，即AM1⊥AN1．知识点解析：暂无解析25、记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3．是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．标准答案：存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：记直线l与x轴的交点A1，则∣OA∣=∣OA1∣，于是有：S1·∣MM1∣·∣A1M1∣=(x1+a)∣y1∣，S2=·∣M1N1∣·∣AA1∣=a∣y1－y2∣，S3=·∣NN1∣·∣A1N1∣=(x2+a)∣y2∣．∴S22=4S1S3(a∣y1－y2∣)2=(x1+a)∣y1∣(x2+a)∣y2∣a2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+a(x1+x2)+a2]∣y1y2∣．将①、②、③代入上式化简可得a2(4m2p2+8ap)=2ap(2am2p+4a2)4a2p(m2p+2a)=4a2p(m2p+2a)，上式恒成立．即对任意a＞0，S22=4S1S3成立．知识点解析：暂无解析已知点P1(x0，y0)为双曲线=1(b为正常数)上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2．26、求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；标准答案：由已知得F2(3b，0)，A(b，y0)，则直线F2A的方程为y=－(x－3b)，令x=0得y=9y0，即P2(0，9y0)．设P(x，y)，则=l，即P的轨迹E的方程为=1．知识点解析：暂无解析27、设轨迹E与x轴交于B，D两点，在E上任取一点Q(x1，y1)(y1≠0)，直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．标准答案：在=1中令y=0得x2=2b2，则不妨设B(－√2b，0)，D(√2b，0)，于是直线QB的方程为：y=(x+√2b)，直线QD的方程为：y=(x－√2b)，可得M(0，)，N(0，)，则以MN为直径的圆的方程为：x2+=0，令y=0，得x2=，而Q(x1，y1)在=1上，则x12－2b2=于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点(－5b，0)(5b，0)．知识点解析：暂无解析点P(x0，y0)在椭圆=1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直线l2：与直线l1:=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.28、证明：点P是椭圆=1与直线l1的唯一交点；标准答案：由=1，得y=(a2－x0x)，代入椭圆方程=1．得代入，得x2－2acosβx+a2cos2β=0，从而x=acosβ．因此，方程组有唯－解，即l1与椭圆有唯－交点P．知识点解析：暂无解析29、证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．标准答案：x0=acosβ，y0=bsinβ，·tanβ，tanβ=，直线OP的倾斜角为α，tanα=，设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，k1=－，由l1⊥l2得k1·k2=－1，k2=，∴tanα·tanγ==tan2β．即证得tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x．30、若a=b=－3，求f(x)的单调区间；标准答案：当a=b=－3时，f(x)=(x3+3x2－3x－3)e-x，故f＇(x)=－(x3+3x2－3x－3)e-x+(3x2+6x－3)e-x=－e-x(x3－9x)=－x(x－3)(x+3)e-x．当x＜－3或0＜x＜3时，f＇(x)＞0；当－3＜x＜0或x＞3时，f＇(x)＜0．从而f(x)在(－∞，－3)，(0，3)单调递增，在(－3，0)，(3，+∞)单调递减．知识点解析：暂无解析31、若f(x)在(－∞，α)，(2，β)单调增加，在(α，2)，(β，+∞)单调减少，证明β－α＞6．标准答案：f＇(x)=－(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=－e-x[x3+(a－6)x+b－a]．由条件得：f＇(2)=0，即23+2(a－6)+b－a=0，故b=4－a，从而f＇(x)=－e-x[x3+(a－6)x+4—2a]．因为f＇(α)=f＇(β)=0，所以x3+(a－6)x+4—2a=(x－2)(x－α)(x—β)=(x－2)[x2－(α+β)x+αβ]．将右边展开，与左边比较系数得，α+β=－2，αβ=α－2．故β—α=又(β－2)(α－2)＜0，即β－2(α+β)+4＜0，由此可得α＜－6．于是β－α＞6．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷第3套一、证明题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1，an+2．…的最小值记为Bn,dn=An－Bn．1、若{an}为2，l，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an+4=an)，写出d1，d2，d3，d4的值；标准答案：d1=d2=1，d3=d4=3．知识点解析：暂无解析2、设d是非负整数，证明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；标准答案：(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…．因此An=an，Bn=an+1，dn=an－an+1=－d(n=1，2，3，…)．(必要性)因为d，=－d≤0(n=1，2，3，…)，所以An=Bn+dn≤Bn．又因为an≤An，an+1≥Bn，所以an≤an+1．于是An=an,Bn=an+1，因此an+1－an=Bn－An=－dn=d，即{an}是公差为d的等差数列．知识点解析：暂无解析3、证明：若a1=2，dn=1(n=1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1．标准答案：因为a1=2，d1=1，所以A1=a1=2，B1=A1－d1=1．故对任意n≥1，an≥B1=1．假设数列{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2．又因为a1=2，所以Am-1=2，且Am=am＞2．于是，Bm=Am－dm＞2—1=1，Bm-1=min{am，Bm)≥2．故dm-1=Am-1－Bm-1≤2—2=0，与dm-1=1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2．因为对任意n≥1，an≤2－a1，所以An=2．故Bn=An－dn=2—1=1．因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am=1，即数列{an}有无穷多项为1．知识点解析：暂无解析设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：4、ab+bc+ca≤标准答案：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca．由题设得(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1．所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤.知识点解析：暂无解析5、≥1.标准答案：因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即≥a+b+c．所以≥1．知识点解析：暂无解析正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2－(n2+n－1)Sn－(n2+n)=0．6、求数列{an}的通项公式an；标准答案：由Sn2－(n2+n－1)Sn－(n2+n)=0，得[Sn－(n2+n)](Sn+1)=0．由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn=n2+n．于是a1=S1=2，n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n－(n－1)2－(n－1)=2n．综上，数列{an}的通项an=2n．知识点解析：暂无解析7、令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.标准答案：由于an=2n，bn=.知识点解析：暂无解析设{an}是公比为q的等比数列．8、推导{an}的前n项和公式；标准答案：设{an}的前n项和为Sn，当q=1时，Sn=a1+a1+…+a1=na1；当q≠1时，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn，②①－②得，(1－q)Sn=a1－a1qn，∴Sn=知识点解析：暂无解析9、设q≠1，证明数列{an+1)不是等比数列．标准答案：假设{an+1)是等比数列，则对任意的k∈N+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1)，ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1，a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,∵a1≠0，∴2qk=qk-1+qk+1．∵q≠0，∴q2－2q+1=0，∴q=1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an+1)不是等比数列．知识点解析：暂无解析如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的－点，且AP=AC．10、求证：AP是⊙O的切线；标准答案：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴．∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线．知识点解析：暂无解析11、求PD的长．标准答案：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC·tan30°=3×=√3，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC—∠P=60°－30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=√3.知识点解析：暂无解析如图，在三棱锥S—ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：12、平面EFG∥平面ABC；标准答案：因为SA=AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC=A，AB面SBC，ACC面ABC，所以平面EFG∥平面ABC．知识点解析：暂无解析13、BC⊥SA．标准答案：因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB=A，所以BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以BC⊥SA．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=lnx－ax2+(2－a)x．14、讨论f(x)的单调性；标准答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，f＇(x)=－2asc+(2－a)=－(i)若a≤0，则f＇(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)单调递增．(ii)若a＞0，则由f＇(x)=0得x=，且当x∈(0，)时，f＇(x)＞0，当x＞时，f＇(x)＜0，所以f(x)在(0，)单调递增，在(，+∞)单调递减．知识点解析：暂无解析15、设a＞0，证明：当0＜x＜－时，f(+x)＞f(－x)；标准答案：设函数g(x)=f(+x)－f(－x)，则g(x)=ln(1+ax)－ln(1－ax)－2ax，g＇(x)=．当0＜x＜时，g＇(x)＞0，而g(0)=0，所以g(x)＞0．故当0＜x＜时，.知识点解析：暂无解析16、若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点．线段AB中点的横坐标为x0，证明：f＇(x0)＜0．标准答案：由(Ⅰ)可得，当a≤0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有－个交点，故a＞0，从而f(x)的最大值为＞0．不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2．由(II)得＞f(x1)=0．从而x2＞－x1，于是x0=.由(Ⅰ)知，f＇(x0)＜0．知识点解析：暂无解析17、叙述并证明余弦定理．标准答案：余弦定理：三角形任何－边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2－2bccosA，b2=c2+a2－2cacosB，c2=a2+b2－2abcosC．如图，a2=－b2－2bccosA+c2，即a2=b2+c2－2bccosA．同理可证b2=c2+a2－2cacosB，c2=a2+b2－2abcosC．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=√x，g(x)=alnx，a∈R．18、若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；标准答案：f＇(x)=，g＇(x)=(x＞0)，由已知得解得a=，x=e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k=f＇(e)=∴切线的方程为y—e=(x—e2)．知识点解析：暂无解析19、设函数h(x)=f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；标准答案：由条件知h(x)=√x－alnx(x＞0)．∴h＇(x)=,(i)当a＞0时，令h＇(x)=0，解得x=4a2,∴当0＜x＜4a2时，h＇(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；当x＞4a2时，h＇(x)＞0，h(x)在(4a2，+∞)上递增．∴x=4a2是h(x)在(0，+∞)上的唯－极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a－aln4a2=2a(1－ln2a)．(il)当a≤0时，h＇(x)=＞0，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值．综上故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1－ln2a)(a＞0)．知识点解析：暂无解析20、对(II)中的φ(a)和任意的a＞0，b＞0．证明：标准答案：由(II)知φ＇(a)=－21n2a，对任意的a＞0，b＞0，=－ln4ab①，=－ln(a+b)2≤－ln4ab②，=－ln4ab③，故由①②③得知识点解析：暂无解析设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f＇(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f＇(x)=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．21、设函数f(x)=ln(x)+(x＞1)，其中b为实数(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间．标准答案：由f(x)=lnx+，得f＇(x)=．因为x＞1时，h(x)=＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．(ii)当b≤2时，由x＞l得x2－bx+1≥x2－2x+1=(x－1)2＞0，所以f＇(x)＞0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增．当b＞2时，解方程x2－bx+1=0得x1=．因为x1=所以当x∈(1，x2)时，f＇(x)＜0；当x∈(x2，+∞)时，f＇(x)＞0；当x=x2时，f＇(x)=0．从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，+∞)上单调递增．综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单凋增区间为(,+∞).知识点解析：暂无解析22、已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1＜x2，设m为实数，a=mx1+(1－m)x2，β=(1－m)x1+mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范围．标准答案：由题设知，g(x)的导函数g＇(x)=h(x)(x2－2x+1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，+∞)都成立，所以，当x＞1时，g＇(x)=h(x)(x－1)2＞0，从而g(x)在区间(1，+∞)上单调递增．①当m∈(0，1)时，有a=mx1+(1－m)x2＞mx1+(1－m)x1=x1，a＜mx2+(1－m)x2=x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有∣g(α)－g(β)∣＜∣g(x1)－g(x2)∣，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+(1－m)x2≥mx2+(1－m)x2=x2，β=(1－m)x1+mx2≤(1－m)x1+mx1=x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以∣g(α)－g(β)∣≥∣g(x1)－g(x2)∣，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β＞x2，进而得∣g(α)－g(β)∣≥∣g(x1)－g(x2)∣，与题设不符．因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为(0，1)．知识点解析：暂无解析如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．23、证明：B，D，H，E四点共圆；标准答案：在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°．因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°．于是∠EHD=∠AHC=120°．因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆．知识点解析：暂无解析24、证明：CE平分∠DEF．标准答案：连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°．由(Ⅰ)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°．又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°所以CE平分∠DEF．知识点解析：暂无解析如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE．证明：25、∠FEB=∠CEB；标准答案：由直线CD与⊙O相切，得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB+∠EBF=；又EF⊥AB，得∠FEB+∠EBF=，从而∠FEB=∠EAB．故∠FEB∠CEB．知识点解析：暂无解析26、EF2=AD·BC.标准答案：由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB=∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC=BF．类似可证：Rf△ADE≌Rt△AFE，得AD=AF．又∵在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2=AF·BF，所以EF2=AD·BC．知识点解析：暂无解析如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D、E分别是AC，AB上的点，CD=BE=√2，0为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A＇－BCDE，其中A＇O=√3．27、证明：A＇O⊥平面BCDE；标准答案：在图1中，易得OC=3，AC=3√2，AD=2√2连结OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得OD==√5由翻折不变性可知A＇D=2√2，所以A＇O2+OD2=A＇D2，所以A＇O⊥OD，同理可证A＇O⊥OE，又OD∩OE=0，所以A＇O⊥平面BCDE．知识点解析：暂无解析28、求二面角A＇－CD—B的平面角的余弦值．标准答案：传统法：过O作OH⊥CD交CD的延长线于H．连结A＇H，因为A＇O平面BCDE，所以A＇H⊥CD，所以∠A＇HO为二面角A＇－CD—B的平面角．结合图l可知，H为AC中点，故OH=，从而A＇H=所以cos∠A＇HO=，所以二面角A＇－CD—B的平面角的余弦值为.向量法：以O点为原点，建立空间直角坐标系O－xyx如图所示，则A＇(0，0，√3)，C(0，－3，0)，D(1，－2，0)所以=(0，3，√3)，=(－1，2，√3)，设=(x，y，z)为平面A＇CD的法向量，则x=1，得=(1，－1，√3)，由(Ⅰ)知，=(0，0，√3)为平面CDB的－个法向量，所以cos，即二面角A＇－CD—B的平面角的余弦值为.知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷第4套一、计算题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．1、当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；标准答案：S1=λS2m+n=λ(m－n)，∵λ=解得：λ=√2+1(舍去小于1的根)．知识点解析：暂无解析2、当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2?并说明理由．标准答案：设椭圆C1：=1(a＞m)，C2：=1，直线l：ky=x，，同理可得yB=，又∵△BDM和△ABN的高相等．∴，如果存在非零实数k使得S1=λS2，则有(λ－1)yA=(λ+1)yB，即：，解得k2=．∴当λ＞1+√2时，k2＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+√2时，k2≤0，不存在这样的直线l．知识点解析：暂无解析在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2√2，在y轴上截得线段长为2√3．3、求圆心P的轨迹方程；标准答案：设P(x，y)，圆P的半径为r．由题设y2+2=r2，x2+3=r2,从而y2+2=x2+3．故P点的轨迹方程为y2－x2=1．知识点解析：暂无解析4、若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．标准答案：设P(x0，y0)．由已知得又因为P点在双曲线y2－x2=1上，从而得此时圆P的半径r=√3．由此时圆P的半径r=√3.故圆P的方程为x2+(y－1)2=3或x2+(y+1)2=3．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)5、已知m＞0，a，b∈R，求证标准答案：∵m＞0，∴1+m＞0，∴要证，即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2)，即证(a2－2ab+b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故.知识点解析：暂无解析6、已知an=4n+5，bn=3n，求证：对任意正整数n，都存在正整数P，使得ap=bn2成立．标准答案：an=4n+5=4(n+1)+1，表示的是被4除余1的数，而bn2=9n=(8+1)n=Cn08n+Cn18n-1+…+Cnn-1·8+l，展开式除最后－项之外均为8也为4的倍数，因此，对任意正整数n，都存在正整数P，使得ap=bn2成立．知识点解析：暂无解析7、求证：函数f(x)=+1在区间(0，+∞)上是单调增函数．标准答案：x1，x2，且0＜x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)=－．∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0，+∞)上为单调增函数．知识点解析：暂无解析8、已知a＞0，b＞0，求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc．标准答案：∵b2+c2≥2bc，a＞0．∴a(b2+c2)≥2abc，又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b(c2+a2)≥2abc,∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc．知识点解析：暂无解析9、求证：定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点．标准答案：假设函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，设交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2．因为函数y=f(x)在实数集上单调递减．所以f(x1)＞f(x2)，这与f(x1)－f(x2)=0矛盾．所以假设不成立，故原命题成立．知识点解析：暂无解析10、已知函数f(x)对其定义域内的任意两个数a，b．当a＜b时，都有f(a)＜f(b)，证明：f(x)=0至多有－个实根．标准答案：假设f(x)=0至少有两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，由方程的定义可知：f(x1)=0，f(x2)=0，即f(x1)=f(x2)，由已知x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)这与f(x1)=f(x2)矛盾，因此假设不能成立，故原命题成立．知识点解析：暂无解析11、用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3n－2)=n(3n－1)．标准答案：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，∴当n=l时命题成立．(2)假设当n=k时命题成立，即1+4+7+…+(3k－2)=k(3k－1)，则当n=k+l时，需证1+4+7+…+(3k－2)+[3(k+1)－2]=(k+1)(3k+2)(*)，由于左端等式是－个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n项和，其和为(k+1)(1+3k+1)=(k+1)(3k+2)，∴(*)式成立，即n=k+l时，命题成立，根据(1)(2)可知，对－切n∈N*，命题成立．知识点解析：暂无解析12、已知a，b是正数，并且a≠b，求证：a5+b5＞a2b3+a2b2．标准答案：(a5+b5)－(a2b3+a3b2)－(a5－a3b2)+(b5－a2b3)=a3(a2－b2)－b3(a2－b2)=(a2－b2)(a3－b3)=(a+b)(a－b)2(a2+ab+b2)，∵a，b都是正数．∴a+b＞0，a2+ab+b2＞0．又∵a≠b，∴(a－b)2＞0．∴(a+b)(a－b)2(a2+ab+b2)＞0，即：a5+b5＞a2b3+a3b2．知识点解析：暂无解析13、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析14、已知a＞b＞c，求证：标准答案：因为a＞b＞c，故a－b＞0，b—c＞0，a－c＞0．又(a－b)+(b—c)=a－c，故设a—b=(a－c)cos2α，b－c－(a－c)sin2α(0＜α＜)．将其代入原不等式，得sec2α+csc2α－1＞0．这是－个显然成立的不等式，从而原不等式得证．知识点解析：暂无解析设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记bn=，n∈N+，其中c为实数．15、若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk(k，n∈N+)；标准答案：若c=0．则an=a+(n－1)d，Sn=．当b1，b2，b1成等比数列，b22=b1b4，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．由此：Sn=n2a，Suk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．故：Snk=n2Sk(k，n∈N*)．知识点解析：暂无解析16、若{bn}是等差数列，证明：c=0．标准答案：bn=若{bn}是等差数列，则bn=An+B型．观察(※)式后－项，分子幂低于分母幂，故有：≠0，故c=0．经检验，当c=0时{bn}是等差数列．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(cosx—x)(π+2x)－(sinx+1)，g(x)=3(x—π)cosx－4(1+sinx)ln(3－)．证明：17、存在唯一x0∈(0，)，使f(x0)=0；标准答案：∵当x∈(0，)时，f＇(x)=－(1+sinx)(π+2x)－2x－cosx＜0，∴函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(0)=π－＞0，f()=－π2－＜0；∴存在唯－的x0∈(0，)，使f(x0)=0.知识点解析：暂无解析18、存在唯一x0∈(，π)，使g(x1)=0，且对(Ⅰ)中的x0，有x0+x1＜π．标准答案：考虑函数h(x)=—4ln(3—x)，x∈[，π]，令t=π－x，则π∈[，π]时，t∈[0，]，记u(t)=h(π－t)=－41n(1+t)，则u＇(t)=，由(Ⅰ)得，当t∈(0，x0)时，u＇(t)＜0；在(0，x0)上u(x)是增函数，又u(0)=0，∴当t∈(0，x0]时，u(t)＞0．∴u(t)在(0，x0]上无零点；在(x0，)上u(t)是减函数，由u(x0)＞0，u()=－41n2＜0，∴存在唯－的t1∈(x0，)，使u(t1)=0；∴存在唯－的t1∈(0，)，使u(t1)=0；∴存在唯－的x1=π－t1∈(，π)，使h(x1)=h(π－t1)=u(t1)=0；∵当x∈(，π)时，1+sinx＞0，∴g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，∴存在唯－的x1∈(，π)，使g(x1)=0，∵x=π－t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．知识点解析：暂无解析设函数f(x)=2|x－1|+x－1，g(x)=16x2－8x+1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．19、求M；标准答案：由f(x)=2∣x－1∣+x－l≤1可得解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．知识点解析：暂无解析20、当x∈M∩N时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2≤.标准答案：由g(x)=16x2－8x+1≤4，求得－．∴N=，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时．f(x)=1－x，x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=，故要证的不等式成立．知识点解析：暂无解析数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N+．21、证明：数列是等差数列；标准答案：由已知可得所以数列是以=1为首项，1为公差的等差数列．知识点解析：暂无解析22、设bn=3n·求数列{bn}的前n项和Sn．标准答案：由(Ⅰ)得=1+(n－1)·1=n，所以an=n2，从而bn=n·3n．Sn=1·