流体力学完整版本

第四章流体流体运动学和流体动力学基础流体力学基本方程

连续性方程

动量方程动量矩方程伯努利方程能量方程第一节描述流体运动的两种方法流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。研究方法欧拉法拉格朗日法：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场着眼于个别流体质点的运动，综合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律一、拉格朗日法拉格朗日方法（lagrangianmethod）是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。——质点系法研究对象：流体质点空间坐标（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。

所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数。（2）（a,b,c）为变数，t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。

（1）（a,b,c）=const

，t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。流体质点速度为：流体质点加速度为：流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a、b、c和t的函数。如：

p=p(a，b，c，t)ρ=ρ(a，b，c，t)由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。二、欧拉法

欧拉法（eulermethod）是以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法。——流场法

研究对象：流场它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：1.速度写成分量形式（x,y,z,t）——欧拉变量

2.欧拉加速度流体质点某一时刻处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度:如：代入上式得：

等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；

引人微分算子:-----矢量微分算子那么引人随流导数算子：若流动参数为B(可以是速度,压强,密度等),则表示流场中一位置固定点,B参数对时间的变化引起,-----局部改变率表示流场中B参数在空间分布不均匀引起的----迁移改变率时变加速度（当地加速度）流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；

位变加速度（迁移加速度）流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。在水位恒定的情况下：（1）A→A′不存在时变加速度和位变加速度。（2）B→B′不存在时变加速度,但存在位变加速度。

在水位变化的情况下：

(1)A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。

(2)B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。

第二节流体流动的分类按照流体性质划分：可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；

按照流动特征区分：层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；定常流动和非定常流动；超声速流动和亚声速流动；按照流动空间区分：内部流动和外部流动；一维流动、二维流动和三维流动；1.定常流动、非定常流动（steadyandunsteadyflow)非定常流动：定常流动：流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。

2.一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。二维流动→一维流动三维流动→二维流动一.流线

这是欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的手段。1.流线的定义—表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线:

曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切。右图为流线谱中显示的流线形状第三节迹线与

流线

2.流线的性质

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。a.同一时刻的不同流线,不能相交.c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

u1u2s1s2交点

u1u2折点

s

d.流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。3.流线的方程根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上A处一微元弧长:

u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。所以即展开后得到：——流线方程或用它们余弦相等推得：二.迹线迹线—某一质点在某一时段内的运动轨迹线。图中烟火的轨迹为迹线。1.迹线的定义2.迹线的微分方程式中，ux,uy,uz

均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。

注意：流线和迹线微分方程的异同点。——流线方程

【例1】有一流场,其流速分布规律为：ux=-ky，

uy=kx，uz=0，试求其流线方程。

【解】由于uz=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为：

将两个分速度代入流线微分方程，得到即：

xdx+ydy=0

积分上式得到：

x2+y2=c

即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。

【例2】已知：设速度场为ux=t+1,vy=1，t=0时刻流体质点A位于原点。求：（1）质点A的迹线方程；（2）t=0时刻过原点的流线方程；解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为由上两式分别积分可得t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A的迹线方程为:消去参数t得A点的迹线方程为：（2）由流线微分方程：积分可得：

在

t=0时刻，流线通过原点

x=y=0，可得C=0，相应的流线方程为：

一.基本概念

1.流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。

因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。第四节一元流动模型

2.元流

—

流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一条流线。3.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。4.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面,如图中的1-1，2-2断面。又称为有效截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过水断面上，各点的速度可认为是相同的。5.缓变流和急变流缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。缓变流——在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。6.有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。体积流量（）：质量流量：平均流速——体积流量与有效截面积之比值,用v表示。7.湿周水力半径当量直径

湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。圆形截面管道的几何直径非圆形截面管道的当量直径关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。第五节系统控制体输运方程一、系统与控制体

一定量的流体在特定时间，特定空间内的流动规律。系统控制体系统是一团流体质点的集合。系统包含着确定的流体质点有确定的质量表面不断变形控制体是指流场中某一确定的空间区域，这个区域的周界称为控制面。控制体形状和位置相对于坐标系固定不变有确定的体积包含的流体质点不确定二、输运方程建立系统内部某物理量的时间变化率与控制体内的该物理量时间变化率之间的关系已知：系统内流体所具有的某种物理量求：单位质量流体具有的物理yxzIIt时刻取坐标系取隔离体:系统分析N变化从t时刻到t+δt的变化xz时刻II’IIIIy因为：xz时刻II’IIIIy当若控制体的体积用表示则第一项是在δt时间内流出控制体的流体所具有的物理量可以用同样时间内在流体所通过的控制面上流出的这种物理量的面积分来表示xz时刻II’IIIIyCS2CS1同理：t时刻单位时间内流入控制体的流体所具有的物理量应表示为xz时刻II’IIIIyCS2CS1xz时刻II’IIIIyCS2CS1系统内部的N的时间变化率等于控制体内的N的时间变化率加上单位时间内经过控制面的净通量。流体系统内物理量对时间的随体导数公式，或称输运公式。在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。对定常流动：讨论：第六节连续性方程一、公式推导当时流体系统的总质量不随时间发生变化积分形式的连续方程

单位时间内控制体内流体质量的增加（减少）等于同时间内通过控制面流入（流出）的净流体质量。对定常流动所以

在定常流动条件下，通过控制面的流体质量通量等于零。应用于定常管流时：A1，A2为管道上的任意两个截面截面A1上的质量流量截面A2上的质量流量二、一维流动的连续方程一维定常流动积分形式的连续性方程

和分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：

三、物理意义：

在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的质量流量是常量。对不可压缩流体不可压缩流体沿流管的体积流量是常量。在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流速大。例：断面为50×50cm2的送风管，通过abcd四个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s，

求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送风口流量Q＝0.4×0.4×5=0.8m3/s

Q0＝4Q＝3.2m3/s根据连续性方程

Q0＝Q１＋3Q

Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/s

Q0＝Q２＋2Q

Q２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/s

Q0＝Q3＋3Q

Q3＝Q0－3Q＝0.8m3/s

各断面流速Q0abcd123123→第七节动量方程与动量矩方程一、惯性坐标系中的动量方程与动量矩方程当时为系统的动量

根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的矢量和。

单位质量流体上的质量力作用在外法线方向微元面积dA上的表面应力由于t时刻流体系统与控制体重合，故得——积分形式的动量方程对于定常流动在定常流动条件下，控制体内质量力的主矢量与控制面上的表面力的主矢量之和应等于单位时间通过控制体表面的流体动量通量的主矢量，与控制体内部的流动状态无关。根据动量矩定理，流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系统上的外力矩的矢量和积分形式的动量矩方程当为流体系统的动量矩.二、定常管流的动量方程壁面处缓变流断面上截面上断面平均速度动量修正系数可求证β＞1：

得证。动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，β值越小，越接近于1.0。

β——动量修正系数，是指实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值，β＞1。对于层流：β=4/3；紊流：β=1.02~1.05，计算值一般取1.0。

假如有效截面上的密度与速度均为常量应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向性，必须根据建立的坐标系判断各个量在坐标系中的正负号。

根据问题的要求正确地选择控制体，选择的控制体必须包含对所求作用力有影响的全部流体。方程左端的作用力项包括作用于控制体内流体上的所有外力，但不包括惯性力。方程只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数，而不必顾及控制体内是否有间断面存在。

例水在直径为10cm的60°水平弯管中以5m/s流速流动，弯管前端压强为0.1at，如不计损失，亦不考虑重力作用，求水流对弯管的作用力。P1P260°α1122xyR壁-水解：1）取控制体，进口、出口及管壁组成1122；P1P260°α1122xyR壁-水2）选择坐标系，如图x轴与弯管进口前管道轴线一致；由于不考虑重力，∴管壁→水作用力为假设与x轴成角；另：方向沿x轴正方向（已知）方向垂直于断面22，且指向控制体内（未知）。根据伯努利方程P1P260°α1122xyR壁-水∵截面积不变∴由动量方程：P1P260°α1122xyR壁-水（未知数，,两个方程）则第八节能量方程

根据能量守衡和转换定律，流体系统中能量的时间变化率应等于单位时间质量力和表面力对系统所做的功加上单位时间外界与系统交换的热量。质量力功率表面力功率传热率积分形式的能量方程对于定比热的完全气体对于定常流动，上式左端第一项为0对一维流动：当不考虑与外界的热量交换，且质量力仅有重力时。由于重力做功，将重力做功作为单位质量流体的位势能包含在单位质量流体的能量项中：重力作用下绝热流积分形式的能量方程第九节伯努利方程及其应用不可压缩理想流体在重力场中一维定常流动对于理想流体取微元流管做为控制体,而对微元截面的积分便是被积函数本身（沿流线成立）一、伯努利方程不可压缩理想流体在与外界无热量交换的条件下，流体的内能u等于常数。—伯努利方程方程的适用条件：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时的一条流线或者一个微元流管上。二、伯努利方程的意义1.能量意义:单位重量流体具有的动能:单位重量流体的势能（或位能）:单位重量流体具有的压能-----单位重量流体所具有的总机械能沿任意一条流线保持不变。2.几何意义------沿流线（元流）总水头为常数。：速度水头（以断面速度u为初速度铅直上升所能达到的高度）

：位置水头（流体质点相对于基准的高度）：压强水头（压强作用使流体沿测压管所能上升的高度）3.水头线：沿程水头(如总水头或测压管水头)的变化曲线。（速度水头）（压强水头）（位置水头）（总水头）

虹吸管的水头线与真空区总水头线：是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状况。测压管水头线：是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。水力坡度J：指单位长度流程的平均水头损失，即测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。

注意：

1.理想流动流体的总水头线为水平线；

2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；

3.测压管水头线可升、可降、可水平。

4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。

5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。三.伯努利方程的应用

1、

皮托管2、文丘里流量计3、虹吸现象1、皮托管在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如所示。在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。VBAZZ皮托管测速原理将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为PB。速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有上式表明,只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰,实际流速比用式计算出的要小，因此，实际流速为

式中ψ—流速修正系数,一般由实验确定，ψ=0.97。则

如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则则得用皮托管和静压管测量气体流速考虑到实际情况，

动压管工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，称为皮托－静压管或者动压管。原理：测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。

文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。2、文丘里(Venturi)流量计文丘里流量计原理图以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程

由一维流动连续性方程整理得

由流体静力学

上式表明，若ρ液、

ρ、A2、A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度。流量为：

考虑到实际情况

式中Cd为流量系数，通过实验测定。文丘里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文丘里流量计基本相同，不再叙述。判断：文丘里流量计公式能不能用来测量计算倾斜管道中的流量？【例】有一文丘里管如图a所示,若水银差压计的指示为360mmHg，并设从截面A流到截面B的水头损失为0.2mH2O，dA=300mmdB=150mm，试求此时通过文丘里管的流量是多少?图a文丘里管【解】以截面A为基准面列出截面A和B的伯努利方程

由此得

由连续性方程所以水银差压计1—1为等压面，则有3、虹吸现象

由于大气压的作用，液体从液面较高的容器通过曲管越过高处而流入液面较低容器的现象。它发生的条件是曲管（虹吸管）里先要灌满液体，同时高于较高液面的液柱的压强不超过大气压。例如：汽车司机常用虹吸管从油桶中吸出汽油或柴油；河南、山东一带应用虹吸管把黄河里的水引到堤内灌溉农田；在日常生活中，如给鱼缸换水等都是。在图3-60所示的虹吸管中，已知：H1=2m；H2=6m；管径D=15mm；如不计损失。问s处的压强应为多大时此管才能吸水？此时管内流速v2及流量qv各为若干？（注意：管端并未接触水面或深入水中）【解】选取过水断面1-1、2-2及水平基准面O-O，列1-1面（水面）到2-2面的伯努利方程：即（A）再选取水平基准面O′-O′，列过水断面2-2及3-3的伯努利方程：即（B）因v2=v3由（B）式得：代入（A）式得：故【例】如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，试求断面2的平均压强。

【解】取0-0，列断面1，2的能量方程（取α1=α2=1）

（a）v2=v3=v（因d2=d1=d），可对断面1，3写出能量方程：

（b）

可得：

代入式（a）中得：

可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸出高），防止形成过大真空。

第十节沿流线主法线方向压强和速度的变化讨论垂直于流线方向的压强和速度的变化对所取微元柱体进行受力分析,根据牛顿第二定律：受力平衡方程：其中在伯努利常数对所有流线具有同一值的条件下，伯努利常数沿r方向不变由积分得在弯曲流线主法线方向上，速度随距曲率中心距离的减小而增加，即在弯曲管道中，内侧的速度高，外侧的速度低如果流线位于水平面内，或者重力势变化的影响可以忽略不计。则在弯曲流线主法线方向上，压强随距曲率中心距离的增加而增加，即在弯曲管道中，内侧的压强小，外侧的压强大。

代入弯曲管道中流体压强和速度分布图对于直线流动

在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式在直线流动中如果不计重力影响：忽略重力影响的直线流动，沿流线法向的压强梯度为零，即没有压强差。第十一节粘性流体总流伯努利方程设有一不可压缩恒定流动，在总流各自处于渐变流的流断上，任意选取两个过流断面。单位重量元流伯努利方程方程两端同乘以元流重量流量γdQz1z2在整个过流断面进行积分：上述积分可分为三个部分：1）∵渐变流过流断面服从液体静压强分布规律∴z1z22）令动能修正系数z1z2上式截面的平均流速

动能修正系数a是由于截面上速度分布不均匀而引起的，a是个大于1的数，有效截面上的流速越均匀，a值越趋近于1。在实际工业中，通常都近似地取a=1.0。以后如不加特别说明，都假定a=1，并以v

代表平均流速。而对于圆管层流流动a=2。3）令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为则综上可得-----不可压缩恒定总流伯努利方程讨论：（1）恒定不可压缩。（2）选在渐变流。（3）功率输入H输入（如泵)功率输出H输出（如汽轮机）H输入H输出（4）有分流或合流仍然适用思考题:

问题1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？

参考答案：靠拢；流速增大、压强降低问题2：两船并行相撞的解释：两船间流线密、流速高、压力低。注：能量方程的解题步骤

三选一列

1选择基准面：基准面可任意选定,但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。2选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面.

3选择计算点：管流通常选在管轴上,明渠流通常选在自由液面。对同一个方程,必须采用相同的压强标准。4列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使用.

【例】一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率hp=0.76。设已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g)，试求轴功率。

【解】取基准面0-0及断面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为hp，取α1=α2=1，则能量方程有：

因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大，v1≈v2≈0，而管中流速：故有：

得：

hp=16.47N·m/N

所需轴功率Np为：

由上式可得