第12讲 等腰三角形的性质和判定（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第12讲等腰三角形的性质和判定【人教版】·模块一等腰三角形的性质·模块二等腰三角形的判定·模块三课后作业模块一模块一等腰三角形的性质等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.【考点1等腰三角形性质“等边对等角”的应用】【例1.1】在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=（

）A．40° B．70° C．100° D．70°或100°【例1.2】已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________．【例1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B=【变式1.1】如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，则∠CAD的度数为（A．30° B．25° C．22.5° D．21°【变式1.2】如图，AB∥CD，AB=CB，∠B=80°，则∠ACD等于（

）A．50° B．55° C．60° D．85°【变式1.3】如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=CD．若∠BAD=40°，则∠C的大小为_____度．【例2.2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，连结CE，使得AE=CE，若∠ECD=20°，则∠B=_____．【例2.3】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：DF=DE．（不证△BFD≌△CED）

【变式2.1】如图AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20°【变式2.2】如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2.3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是△ABC的高，将△AMB沿AM折叠得到△AMN，点N落在线段MC上．(1)求∠MAN的度数．(2)过点N作∠ANC的平分线NO交AC于点O，若AC=8，求AO的长．模块二模块二等腰三角形的判定等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【考点1等腰三角形的判定】【例1.1】△ABC的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a:b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【例1.2】如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【例1.3】已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．【变式1.1】如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（

A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FCC．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC【变式1.2】如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为______．【变式1.3】我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．证明这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明．按以上思路完成下面的作图与填空．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD．（只保留作图痕迹）∵AD∥BC，∴①，②，∵AD平分∠CAE，∴③，∴④，∴AB=AC（等角对等边）．【考点2等腰三角形的性质与判定的综合应用】【例2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，若∠A=∠ABE=46°，则∠F的度数是(

)A．20° B．23° C．44° D．30°【例2.2】如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD//BC，则图中等腰三角形的个数有________【例2.3】请将下面的证明过程补充完整．已知：如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，且AB=AE．求证：∠ABC=∠ACB．证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=________（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（_____________）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=_____________（等量代换），∴AE=AC（____________）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代换），∴∠ABC=∠ACB（___________）．【变式2.1】如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=125°，则∠ABC为（）A．80° B．70° C．50° D．60°【变式2.2】如右图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，若∠BAD=45°，则【变式2.3】如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形．模块三模块三课后作业1．等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（

）A．6 B．4 C．8 D．4或82．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：23．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段A．3 B．4 C．3.5 D．24．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ=2，则线段OQ的长是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．25．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（）A．130° B．125° C．120° D．115°7．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AC=BD．若∠B=50∘，则∠CAD的度数为（A．10∘ B．15∘ C．20∘8．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分线交AD于点E，则9．聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是____________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为_____．11．如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．13．如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD=CD．

(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并把证明过程补充完整．判断：DE①AC，理由如下：∵AD=CD（已知）∴∠A=②（

③

）又∵DE平分∠BDC（已知）∴∠BDC=2∠CDE（

④

）又∵∠