高考数二轮专题突破 （预测演练+提能训练）第1部分 专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（选择、填空题型）（以真题和模拟题为例） 理

《创新方案》届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质（选择、填空题型）（以年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(·北京高考)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A.y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC.y＝±eq\f(1,2)x D.y＝±eq\f(\r(2),2)x解析：选B在双曲线中离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±eq\r(2)x.2．(·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶3解析：选C过点M作MM′垂直于抛物线C的准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知|MM′|＝|FM|，所以eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝sin∠MNM′，而∠MNM′为直线FA的倾斜角α的补角．因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFA＝－eq\f(1,2)＝tanα，所以sinα＝eq\f(1,\r(5))，所以sin∠MNM′＝eq\f(1,\r(5)).故|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).3．(·福建高考)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)解析：选C双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(x,2)，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).4．(·四川高考)从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－eq\f(b,a)＝－eq\f(b2,ac)，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即该椭圆的离心率是eq\f(\r(2),2).5．已知双曲线eq\f(y2,2)－eq\f(x2,3)＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2eq\r(5)的动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(x≠0)解析：选C依题意得，|F1F2|＝2eq\r(2＋3)＝2eq\r(5)，|PF1|＋|PF2|＝6>|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋2eq\r(5)的动点P的轨迹是以点F1，F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠0)．6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.eq\f(\r(3)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),4) D.eq\f(\r(3)＋1,4)解析：选B由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，又因为e>0，故所求的椭圆的离心率为eq\f(\r(5)－1,2).7．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为()A．4 B．6 C．10 D．16解析：选D设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得焦点F(0,1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝eq\r(3)x＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1，,x2＝4y))得y2－14y＋1＝0，所以y1＋y2＝14，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点在抛物线C：y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1解析：选B抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，所以双曲线的焦距2c＝12.根据双曲线的渐近线方程得b＝eq\r(3)a，代入c2＝a2＋b2，解得a2＝9，所以b2＝27，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.9．(·郑州模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2) C．1 D．2解析：选D由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2).因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2.10．(·辽宁五校联考)设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3) C．24 D．48解析：选C由已知|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，代入到|PF1|－|PF2|＝2中得|PF2|＝6，故|PF1|＝8.又双曲线的焦距|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所求的面积为eq\f(1,2)×8×6＝24.二、填空题11．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(eq\r(5)，0)，则a＝________，b＝________.解析：双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线为y＝±2x，则eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，又因为c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.答案：1212．(·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0.在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值为3eq\r(2)－1.答案：3eq\r(2)－113．(·辽宁高考)已知F为双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.答案：4414．(·辽宁五校联考)设点A1，A2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\f(a2,4)，与椭圆方程联立，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2)))·x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0＜eq\f(b2,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2))))＜a，化简得0＜eq\f(a2－c2,c2)＜1，即0＜eq\f(1－e2,e2)＜1，得eq\f(1,2)<e2<1，所以e的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))15．已知P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是eq\f(5,4)，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为________．解析：由·＝0得⊥，设||＝m，||＝n，不妨设m>n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝9，又eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝5，))∴b＝3，a＋b＝7.答案：716．(·湖北八校联考)已知点A，D分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且·的最大值是1，最小值是－eq\f(11,5)，则椭圆的标准方程为________．解析：设点P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则