高考数 五高考真题分类汇编 第十一章 几何证明选讲 理

五年高考真题分类汇编：几何证明选讲一.选择题1．（•北京高考理）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】选A逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误，故选择A.2．（•北京高考理）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【解析】选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.二.填空题3．（•天津高考文）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5,BE＝4,则弦BD的长为________．【解析】本题主要考查相似三角形、圆中切割线定理，意在考查考生的逻辑推理能力．因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB×EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△EBA，所以eq\f(BD,EA)＝eq\f(BC,EB)，则BD＝eq\f(BC·EA,EB)＝eq\f(5×6,4)＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)4．（•陕西高考文）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.【解析】本题主要考查平面几何的计算，具体涉及三角形相似的内容，重点考查考生对平面几何的计算能力．由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED，在△PDE和△PEA中，∠P公用，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，则PD∶PE＝PE∶PA.于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，则PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)5．（•广东高考文）如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.【解析】本题主要考查平面几何、解三角形等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力和应用意识、创新意识．tan∠BCA＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30°＝eq\f(3\r(3),2).在△ECD中，由余弦定理得ED＝eq\r(CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2＋\r(3)2－2×\f(3\r(3),2)×\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(21),2).【答案】eq\f(\r(21),2)6．（•重庆高考理）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．【解析】本题主要考查弦切角定理及切割线定理的应用．由题意得BC＝AB·sin60°＝10eq\r(3)，由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5eq\r(3)，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则DE＝5.【答案】57．（•北京高考理）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.【解析】本题考查圆的切割线定理，意在考查考生对定理的运用能力．设PD＝9t，DB＝16t，则PB＝25t，根据切割线定理得32＝9t×25t，解得t＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．（•陕西高考理）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.【解析】本小题图形背景新颖，具体涉及圆的性质以及相似三角形等内容，重点考查考生的逻辑推理能力．由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED.在△PDE和△PEA中，∠APE＝∠EPD，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，则eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)9．（•广东高考理）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.【解析】本题考查圆与直线的位置关系、射影定理，考查考生逻辑推理能力和综合运用几何图形解决问题的能力．连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，∴BC＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)10．（•湖北高考理）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则eq\f(CE,EO)的值为________．【解析】本题考查平面几何中射影定理的应用，意在考查考生的推理运算能力．连接AC，BC，则AC⊥BC.∵AB＝3AD，∴AD＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(2,3)AB，OD＝eq\f(1,6)AB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝eq\f(1,2)AB.在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝eq\f(2,9)AB2.在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝eq\f(1,18)AB，CE＝eq\f(4,9)AB，∴eq\f(CE,EO)＝8.【答案】811．（•天津高考理）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．【解析】本题考查三角形相似、圆中切割线定理，意在考查考生的逻辑推理能力．因为AE是圆的切线，且AE＝6，BD＝5，由切割线定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.又由题意可得△CAF∽△CBA，所以eq\f(CA,CB)＝eq\f(CF,CA)，CF＝eq\f(CA2,CB)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)12．（•天津高考文）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．【解析】因为AB与CE相交于F点，且AF＝3，EF＝eq\f(3,2)，FB＝1，所以CF＝eq\f(AF·FB,EF)＝eq\f(3×1,\f(3,2))＝2，因为EC∥BD，所以△ACF∽△ABD，所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(AD－CD,AD)＝eq\f(3,4)，所以BD＝eq\f(CF·AB,AF)＝eq\f(2×4,3)＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，所以CD＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)13．（•广东高考文）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.【解析】因为直线PB是圆的切线，所以∠ABP＝∠C，又因为∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)，所以AB＝eq\r(AD·AC)＝eq\r(mn).【答案】eq\r(mn)14．（•广东高考理）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.【解析】如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)15．（•天津高考理）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．【解析】由相交弦定理可得CF·FE＝AF·FB，得CF＝2.又因为CF∥DB，所以eq\f(CF,DB)＝eq\f(AF,AB)，得DB＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，由切割线定理得DB2＝DC·DA＝4CD2，得CD＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)16．（•陕西高考理）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________________.【解析】由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.【答案】517．（•湖南高考理）如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【解析】设圆的半径为r，则(3－r)(3＋r)＝1×3，即r2＝6，解得r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)18．（•湖北高考理）(选修4－1：几何证明选讲)如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．【解析】由题意知CD2＝OC2－OD2，OC是半径，所以当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．【答案】219．（•湖南高考理）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．【解析】如图，连接AB，AC，CE，由于A，E为半圆周上的三等分点，可得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，由此得AB＝2，AD＝eq\r(3)，BD＝1，则DF＝eq\f(\r(3),3)，故AF＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)20．（•广东高考理）(几何证明选讲选做题)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝____________.【解析】由PA为⊙O的切线，BA为弦，得∠PAB＝∠BCA，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以eq\f(PB,AB)＝eq\f(AB,BC)，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝eq\r(35).【答案】eq\r(35)21．（•天津高考理）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为____________．【解析】设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝eq\f(1,2)，E＝eq\f(7,2)，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，所以CE＝eq\f(\r(7),2).【答案】eq\f(\r(7),2)【答案】522．（•陕西高考）如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.【解析】由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠C，从而得eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，解得AE＝2，故BE＝eq\r(AB2－AE2)＝4eq\r(2).【答案】4eq\r(2)三.解答题23．（•江苏高考）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.24．（•新课标Ⅱ全国高考文）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：本题主要考查相似三角形的判定定理、四点共圆的性质及弦切角定理，意在考查考生的推理认证能力与运算求解能力．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)如图，连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为eq\f(1,2).25．（•新课标Ⅰ全国高考文）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解：本题主要考查几何证明选讲中圆的几何性质、切线的相关定理与结论的应用，难度中等．(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝eq\f(\r(3),2).设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于eq\f(\r(3),2).26．（•辽宁高考文）如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：本题主要考查直线和圆相切，利用弦切角定理导出角的关系，利用全等和相似导出线段关系．(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2).又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.27．（•辽宁高考理）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：本题主要考查圆的基本性质、全等三角形的应用以及直角三角形的性质，考查了考生的逻辑思维能力和归纳推理能力．(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.28．（•新课标Ⅰ全国高考理）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解：本题主要考查平面内直线与圆的位置关系、弦切角定理、勾股定理、中垂线定理等知识，意在考查考生的推理论证能力和运算能力．(1)证明：连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝eq\f(\r(3),2).设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于eq\f(\r(3),2).29．（•新课标Ⅱ全国高考理）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.解：本题考查圆的基本性质、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知识，是对考生基本推理能力以及转化与化归能力的考查．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由BD＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为eq\f(1,2).30．（•辽宁高考文）如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.解：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，AC＝AE.31．（•新课标高考文）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.32．（•辽宁高考理）如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，AC＝AE.33．（•江苏高考）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.解：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.34．（•新课标高考理）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.解：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，