高考数 五高考真题分类汇编 第六章 不等式、推理与证明 理

五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明选择题1．（·湖南高考理）若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则x＋2y的最大值是()A．－eq\f(5,2)B．0C.eq\f(5,3)D.eq\f(5,2)【解析】选C本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x＋2y＝0与边界直线x＋y＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))可得(x＋2y)max＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).2．（·安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}【解析】选D本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算．考查转化化归思想及考生的合情推理能力．因为一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，所以可设f(x)＝a(x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x－\f(1,2)))<0，即10x<eq\f(1,2)，x<－lg2，故选D3．（·安徽高考理）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4eq\r(2)D．4eq\r(3)【解析】选D本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，可得∠AOB＝eq\f(π,3)，又A，B是两定点，可设A(eq\r(3)，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OP→＝λOA→＋μOB→，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)λ，,y＝λ＋2μ，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)x，,μ＝\f(y,2)－\f(\r(3),6)x.))因为|λ|＋|μ|≤1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－\f(\r(3),6)x))≤1，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,3y－\r(3)x≥0,3y＋\r(3)x≤6))，时，由可行域可得S0＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4eq\r(3)，故选D.4.（·新课标Ⅱ高考理）已知a＞0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,x≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【解析】选B本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝eq\f(1,2)，故选B.5．（·北京高考理）设关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))【解析】选C本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－eq\f(2,3).6．（·广东高考理）设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S【解析】选B本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．7．（·山东高考理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0))所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)【解析】选C本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－eq\f(1,3).8．（·山东高考理）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．3【解析】选B本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f(2,y)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.9．（·天津高考理）设变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,y－3≤0，))则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1【解析】选A本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y＝2x＋z经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值－7.10．（·天津高考理）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|).设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A.若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))⊆A,则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(3),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(5),2)))【解析】选A本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，当a>0时无解，所以a<0，此时1－a2>0，所以－1<a<0.函数f(x)的图象(图略)中两抛物线的对称轴x＝eq\f(1,2a)，x＝－eq\f(1,2a)之间的距离大于1，而[x＋a，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x＋a)＜f(x)的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)，－\f(1,2a)－\f(a,2)))，所以eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))⊆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)，－\f(1,2a)－\f(a,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－\f(a,2)＜－\f(1,2)，,－\f(1,2a)－\f(a,2)＞\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－1＜0，,a2＋a＋1＞0，))解得eq\f(1－\r(5),2)＜a＜eq\f(1＋\r(5),2)，又－1＜a＜0，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0)).11．（·北京高考文）设a，b，c∈R，且a>b，则()A．ac>bcB.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a2>b2D.a3>b3【解析】选D当c＝0时，选项A不成立；当a>0，b<0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))2＋eq\f(3b2,4)>0，故选D.12．（·重庆高考文）关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝A.eq\f(5,2)B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4)D.eq\f(15,2)【解析】选A本题主要考查二次不等式与二次方程的关系．由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝eq\f(513．（·山东高考文）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)【解析】选C本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.14．（·大纲卷高考文）不等式|x2－2|<2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)【解析】选D本题主要考查绝对值不等式、二次不等式的解法．由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2.15.（·福建高考文）若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥1，,y≥0，))则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0【解析】选B本题主要考查线性规划问题中求目标函数的最值，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力．画出可行域(如图中阴影部分)，由图像可得，当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2，故选B.16．（·福建高考文）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】选D本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故选D.17．（·天津高考文）设变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,y－3≤0，))则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1【解析】选A本题主要考查线性规划，意在考查考生的数形结合能力．约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数y＝2x＋z经过直线x－y－2＝0和y＝3的交点(5,3)时，z取得最小值－7.18.（·湖北高考文）某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解析】选C本题主要考查用二元一次不等式组解决实际问题的能力，考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力．设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900，,y－x≤7，,y＋x≤21，,x，y∈N，))画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800.19．（·陕西高考文）若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0【解析】选A本题主要考查分段函数的图像和性质以及求解线性规划最优解的思维方法．作出函数y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≥0,－xx＜0))和y＝2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(－2，2)时，2x－y取得最小值－6.20．（·江西高考文）下列选项中，使不等式x＜eq\f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)【解析】选A本题主要考查分式不等式的解法，考查考生化归与转化的能力．法一：取x＝－2，知符合x＜eq\f(1,x)＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D.法二：由题知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,x)，,\f(1,x)＜x2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1x＋1,x)＜0，,\f(x－1x2＋x＋1,x)＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－1或0＜x＜1，,x＜0或x＞1，))得x＜－1.21．（·四川高考文）若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24【解析】选C本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0))表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.22．（·重庆高考理）不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为()A．(－eq\f(1,2)，1]B．[－eq\f(1,2)，1]C．(－∞，－eq\f(1,2))∪[1，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)【解析】选A由数轴标根法可知原不等式的解集为(－eq\f(1,2)，1]．23．（·广东高考理）已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2，,x＋y≥1，,x－y≤1，))则z＝3x＋y的最大值为()A．12B．11C．3【解析】选B如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2，,x－y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2))，此时，z＝y＋3x＝11.24．（·山东高考理）设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－eq\f(3,2)，6]B．[－eq\f(3,2)，－1]C．[－1,6]D．[－6，eq\f(3,2)]【解析】选A作出不等式组所表示的区域如图，由z＝3x－y得y＝3x－z，平移直线y＝3x，由图像可知当直线经过点E(2,0)时，直线y＝3x－z的截距最小，此时z最大为z＝3×2－0＝6，当直线经过C点时，直线y＝3x－z的截距最大，此时z最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y＝－1，,2x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝3，))此时z＝3x－y＝eq\f(3,2)－3＝－eq\f(3,2)，所以z＝3x－y的取值范围是[－eq\f(3,2)，6]．25．（·江西高考理）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123【解析】选C记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.26．（·江西高考理）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表.年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30【解析】选B设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋3y≤180，,x≥0，,y≥0.))画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点B时，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋3y＝180，))求得B(30,20)，故选B.27．（·四川高考理）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【解析】选C设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x>0，y>0，))z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．28．（·辽宁高考理）设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45【解析】选D作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－eq\f(2,3)x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.29．（·辽宁高考理）若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B.eq\f(1,\r(1＋x))≤1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2C．cosx≥1－eq\f(1,2)x2D．ln(1＋x)≥x－eq\f(1,8)x2【解析】选C对A，因为e3>1＋3＋32，故A不恒成立；同理，当x＝eq\f(1,3)时，eq\f(1,\r(1＋x))>1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2，故B不恒成立；因为(cosx＋eq\f(1,2)x2－1)′＝－sinx＋x≥0(0∈[0，＋∞))，且x＝0时，y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1＝0，所以y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1≥0恒成立，所以C对；当x＝4时，ln(1＋x)<x－eq\f(1,8)x2，故D不恒成立．30．（·大纲卷高考理）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝eq\f(3,7).动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A．16B．14C．12【解析】选B结合已知点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射过程中直线是平行的，那么利用平行关系，作图可以得到P第一次碰到E点时，需碰撞14次．31．（·福建高考理）下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))＞lgx(x＞0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈R)【解析】选C取x＝eq\f(1,2)，则lg(x2＋eq\f(1,4))＝lgx，故排除A；取x＝eq\f(3,2)π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则eq\f(1,x2＋1)＝1，故排除D.32．（·福建高考理）若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【解析】选B可行域如图中的阴影部分所示，函数y＝2x的图象经过可行域上的点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))即函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1，应选B.33．（·四川高考文）若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－3，,x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，,y≥0，))则z＝3x＋4y的最大值是()A．12B．26C．28【解析】在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图)及直线3x＋4y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点M(4,4)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，即zmax＝3×4＋4×4＝28.【答案】C33（·辽宁高考文）设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45【解析】选D根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值．作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－eq\f(2,3)x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.34（·天津高考文）设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,x－1≤0，))则目标函数z＝3x－2y的最小值为()A．－5B．－4C．－2【解析】选B不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l0：3x－2y＝0，结合图形可知，当直线3x－2y＝z平移到过点(0,2)时，z＝3x－2y的值最小，最小值为－4.35（·山东高考文）设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－eq\f(3,2)，6]B．[－eq\f(3,2)，－1]C．[－1,6]D．[－6，eq\f(3,2)]【解析】选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B(eq\f(1,2)，3)处取得，即最大值为6，最小值为－eq\f(3,2).36．（·福建高考文）若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【解析】选B可行域如图阴影所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y－3＝0))得交点A(1,2)，当直线x＝m经过点A(1,2)时，m取到最大值为1.37（·安徽高考文）若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))则z＝x－y的最小值是()A．－3B．0C.eq\f(3,2)D．3【解析】选A根据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3.))得可行域如图中阴影部分所示，根据z＝x－y得y＝x－z，平移直线y＝x得z在点B(0,3)处取得最小值－3.38（·广东高考文）已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5【解析】选C变量x，y满足的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0))表示的平面区域如图所示，作辅助线l0：x＋2y＝0，并平移到过点A(－1，－2)时，z＝x＋2y达到最小，最小值为－5.39（·湖南高考文）设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】选D由a>b>1，c<0得，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；幂函数y＝xc(c<0)是减函数，所以ac<bc；因为a－c>b－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确．40（·新课标高考文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是()A．(1－eq\r(3)，2)B．(0,2)C．(eq\r(3)－1,2)D．(0,1＋eq\r(3))【解析】选A由题意知，正三角形的顶点C的坐标为(1＋eq\r(3)，2)，当z＝－x＋y经过点B时，zmax＝2，经过点C时，zmin＝1－eq\r(3).41（·重庆高考文）不等式eq\f(x－1,x＋2)<0的解集为()A．(1，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】选C不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，故不等式的解集为(－2,1)．42（·江西高考文）观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则5的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625【解析】选D∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f()＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴5与57的末四位数字相同，均为8125.故选D.43（·安徽高考文）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别()A．1，－1B．2，－2C．1，－2【解析】选B法一：特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，排除D，故选B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.44（·山东高考文）不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是()A．[－5,7]B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】选D|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．45（·四川高考文）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【解析】选C设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋6y≥72,x＋y≤12,2x＋y≤19,0≤x≤8,0≤y≤7))，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4900元．46（·湖南高考文）设m>1，在约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,y≤mx，,x＋y≤1))下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1,1＋eq\r(2))B．(1＋eq\r(2)，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)【解析】选A变换目标函数为y＝－eq\f(1,m)x＋eq\f(z,m)，由于m>1，所以－1<－eq\f(1,m)<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－eq\f(1,m)x＋eq\f(z,m)在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A(eq\f(1,1＋m)，eq\f(m,1＋m))，所以目标函数的最大值是eq\f(1,1＋m)＋eq\f(m2,1＋m)<2，即m2－2m－1<0，解得1－eq\r(2)<m<1＋eq\r(2)，故m的取值范围是(1,1＋eq\r(2))．47（·重庆高考）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5【解析】选C依题意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,\f(b,a)＝\f(4a,b),a＞0，b＞0))，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2)，选C.48.（·重庆高考）设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为()A．－8B．8C．12【解析】选D依题意，记f(x)＝mx2－kx＋2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0,f1＝m－k＋2＞0,0＜\f(k,2m)＜1,Δ＝k2－8m＞0))，即①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,k＜m＋2,k＜2m,k＞2\r(2m))).通过验证发现当m＝1,2时均不存在满足不等式组①的整数k.当m＞2时，显然有m＋2＜2m，此时不等式组①可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,m＋2＞k＞2\r(2m)))；又m，k均为整数，故可进一步化为②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，k＞0,m＋1≥k＞2\r(2m)))，要使②成立，必有m＋1＞2eq\r(2m)；又m＞2，因此有m＞3＋2eq\r(2)，显然5＜3＋2eq\r(2)＜6，于是有m≥6.当m＝6时，由②式得k＝7，此时方程mx2－kx＋2＝6x2－7x＋2＝0的根是eq\f(1,2)、eq\f(2,3)满足题意．又当m进一步增大时，满足②式的k不会减小，所以m＋k取最小值时m也取最小值，也就是说，当m＝6，k＝7时，m＋k取最小值13，选D.49（·广东高考）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2),y≤2,x≤\r(2)y))给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(eq\r(2)，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)【解析】选B画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝OM→·OA→＝eq\r(2)x＋y，∴y＝－eq\r(2)x＋z.令l0：y＝－eq\r(2)x，将l0平移到过点(eq\r(2)，2)时，截距z有最大值，故zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.50（·福建高考）已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【解析】选C平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝OA→·OM→＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即OA→·OM→的取值范围为[0,2]，故选C.51（·湖北高考）已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]【解析】选D因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1x≥0，y≥0,x－y≤1x≥0，y＜0,－x＋y≤1x＜0，y≥0,－x－y≤1x＜0，y＜0))，由图可得其对应的可行域为边长为eq\r(2)，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．52（·浙江高考）设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＞0，,2x＋y－7＞0，,x≥0，y≥0.))若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14B．16C．17【解析】选B对于线性区域内边界的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.53（·辽宁高考）设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)【解析】选D当x≤1时，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，解得，x≥eq\f(1,2)，所以，x＞1.综上可知x≥0.54．（·辽宁高考）函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】选B令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性，可得x＞－1.填空题55.（·福建高考理）当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝eq\f(1,1－x).两边同时积分得：eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)01dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0x2dx＋…＋eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0xndx＋…＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0eq\f(1,1－x)dx，从而得到如下等式：1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：Ceq\o\al(0,n)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)Ceq\o\al(2,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)Ceq\o\al(n,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝________.【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力．法一：设f(x)＝Ceq\o\al(0,n)x＋eq\f(1,2)×C eq\o\al(1,n)x2＋eq\f(1,3)×Ceq\o\al(2,n)x3＋…＋eq\f(1,n＋1)×Ceq\o\al(n,n)xn＋1，所以f′(x)＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn＝(1＋x)n，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0f′(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\f(1,2)0(1＋x)ndx＝eq\f(1,n＋1)(1＋x)n＋1eq\f(1,2)0＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))n＋1－eq\f(1,n＋1)(1＋0)n＋1＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1)).法二：Ceq\o\al(0,n)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)Ceq\o\al(2,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)Ceq\o\al(n,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,3)×eq\f(nn－1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(1,n＋1)×eq\f(nn－1×…×2×1,nn－1×…×2×1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,n＋1)(n＋1)×eq\f(1,2)＋eq\f(n＋1n,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(n＋1nn－1,3×2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\f(n＋1nn－1×…×2×1,n＋1nn－1×…×2×1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,n＋1)×\f(1,2)＋C\o\al(2,n＋1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋…＋C\o\al(n＋1,n＋1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1))＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))n＋1－C\o\al(0,n＋1)))＝eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1)).【答案】eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－1))56.（·浙江高考理）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0，))若z的最大值为12，则实数k＝________.【解析】本题考查用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问题、解决问题的能力．画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k＋4，k＝2.【答案】257．（·陕西高考理）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x≥1，,1－xx<1，))作出曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x－y取最小值－4.【答案】－458.（·陕西高考理）观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力．观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)59（·广东高考理）不等式x2＋x－2<0的解集为________．【解析】本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，画出函数图象可知，当－2<x<1时，f(x)<0，从而不等式x2＋x－2<0的解集为{x|－2<x<1}．【答案】{x|－2<x<1}60．（·广东高考理）给定区域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0.))令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．【解析】本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．【答案】661．（·大纲卷高考理）记不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．【解析】本题考查线性规划问题．画出可行域，易知直线y＝a(x＋1)过定点(－1,0)，当直线y＝a(x＋1)经过x＋3y＝4与3x＋y＝4的交点(1,1)时，a取得最小值eq\f(1,2)；当直线y＝a(x＋1)经过x＝0与3x＋y＝4的交点(0,4)时，a取得最大值4，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))62．（·湖北高考理）设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝eq\r(14)，则x＋y＋z＝________.【解析】本题主要考查不等式的性质与方程的求解，意在考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力．根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，必须满足eq\f(x,1)＝eq\f(y,2)＝eq\f(z,3)，结合x＋2y＋3z＝eq\r(14)，可得x＋y＋z＝eq\f(3\r(14),7).【答案】eq\f(3\r(14),7)63．（·四川高考理）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．【解析】本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x≥0时，f(x)＝x2－4x＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)．【答案】(－7,3)64．（·四川高考理）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【解析】本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x－b2＋y2)＋eq\r(x－c2＋y2)≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，则|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\r(x－a2＋y2)＋eq\r(x2＋y－b2)＋eq\r(x2＋y2)，当x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2)时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝eq\f(3,2)eq\r(a2＋b2)，而当x＝0，y＝0时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因为eq\f(9,4)(a2＋b2)－(a＋b)2＝eq\f(5a2＋5b2－8ab,4)≥eq\f(1,2)ab＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝