第07讲 AASHL证全等及角平分线的性质（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第07讲AAS，HL证全等及角平分线的性质【人教版】·模块一两角及对边证全等·模块二斜边及一条直角边证全等·模块三角平分线的性质·模块四课后作业模块一模块一两角及对边证全等全等三角形的判定角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。【考点1用AAS判定三角形全等】【例1.1】如图，AB=AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是（

）A．AD=AE B．∠B=∠C C．BE=CD D．∠AEB=∠ADC【例1.2】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求证：△ABE≌△DCF．【例1.3】如图，已知AD=AE，∠B=∠C，则图中全等的三角形有（

）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【变式1.1】如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是______．【变式1.2】如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△ADF≌△CBE是（）A．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF【变式1.3】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【考点2AAS判定定理的应用】【例2.1】如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O=90°），若OA=40cm，OB=30cm，则点C离地面的距离是【例2.2】如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正确结论的序号是____．【例2.3】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（A．3 B．4 C．5 D．6【变式2.1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F．若BF=AC，CD=3，【变式2.2】如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF=6，AD=4，则BD=________．

【变式2.3】如图在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，作∠BDE=∠B，交BC于点E，求证：CA=CE．模块二模块二斜边及一条直角边证全等全等三角形的判定斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。【考点1用HL判定直角三角形全等】【例1.1】如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【例1.2】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（

）A．有两条直角边对应相等 B．有一条斜边和一个锐角对应相等C．有一条直角边和一条斜边对应相等 D．有两个锐角对应相等【例1.3】如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．求证：△ABM≌【变式1.1】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是（A．AB=CD B．AB=DE C．∠ACE=90° D．∠A+∠E=90°【变式1.2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使【考点2HL判定定理的应用】【例2.1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD，若ACA．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【变式2.1】如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB∥CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．(1)求证：Δ(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．【变式2.2】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=________________．【变式2.3】如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：点D是EF的中点．模块三模块三角平分线的性质1.角平分线的作法a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；b.分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，相交于点Pc.画射线OP,OP即为所求角平分线。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。【考点1角平分线的作法】【例1.1】如图，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，以m为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．则m，n需要满足的条件是（

）A．m，n均无限制 B．m>0，n>1C．m有最小限制，n无限制 D．m≥0，n<1【例1.2】如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、l2于点D、E；分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F；作射线AF交lA．20° B．25° C．30° D．50°【例1.3】如图，已知在△ABC中，∠A=70°．(1)分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求∠BOC的度数．【变式1.1】利用尺规，作∠AOB的平分线，并说明理由．（保留作图痕迹，不写作法）【考点2角平分线的性质】【例2.1】点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则关于PD长度的选项正确的是（

）A．PD>3 B．PD≥3 C．PD<3 D．PD≤3【例2.2】如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为12，则点O到AC的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2.3】如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC=80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是___________．【变式2.1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC=m，BE=n，则△BDE的周长为________【变式2.2】如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB=3，DE=2，则△ABD的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【变式2.3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

(1)若∠C=32°，求∠A的度数．(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB=3，BC=4，求【变式2.4】如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．(1)求∠CAD的度数；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)若AB=5，AD=3，CD=6，且S△ACD=12，求【考点3角平分线的判定】【例3.1】如图，已知点P在△ABC的外部，在∠DAE的内部，若点P到BD，CE的距离相等，则下列关于点P的位置的说法中，正确的是()A．在∠DBC的平分线上 B．在∠BCE的平分线上C．在∠DAE的平分线上 D．在∠A和∠DBC的平分线的交点处【例3.2】如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有______处?(阴影部分不能修建超市)【例3.3】如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上：②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB=OC，以上结论正确的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【变式3.1】如下图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是________________．【变式3.2】如图所示，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=________．【变式3.3】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．模块四模块四课后作业1．如图，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC=BD．则△CAB≌△DBA的理由是（A．HL B．SAS C．AAS D．ASA2．如图，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B，BD=AC．根据这些条件不能推出的结论是（

）A．AD∥BC B．AD=BC C．AC平分∠DAB D3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=4cm，则AD+DE等于（A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm4．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为(

A．2cm B．3cm C．4cm5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG

A．1 B．32 C．2 D．6．如图，公路MN∥PQ，公路AB交公路MN于A，交公路PQ于B，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则A．65° B．80° C．100° D．70°8．如图，已知AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且BF∥CE，连接BF，CE，下列说法中：①BD=CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC=∠CDE；④CE=AE．正确的是（A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD=EF．若要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF10．如图△ABC中，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，BD=5，CD=3，则AF的大小是___________．11．如图，