2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】

必备知识·逐点夯实第六节空间向量及其运算和空间位置关系第八章立体几何初步、空间向量与立体几何核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法高考题常以平行、垂直关系为载体,考查空间向量的运算、直线的方向向量、平面的法向量的应用.线面、面面关系是高考热点,主要在解答题中体现.预测2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有______多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l______的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.平行或重合无穷平行微点拨

(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.2.

空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0微点拨

利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.基础诊断·自测1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(

)(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(

)(3)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.(

)(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(

)类型辨析改编易错题号12,34√√××提示:易知(1)(2)正确;(3)中向量a和b所在的直线可能重合;(4)中a所在的直线可能在平面内.

3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有(

)A.l∥α B.l⊥αC.l与α斜交

D.l⊂α或l∥α【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.

核心考点·分类突破

角度2面面平行[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

解题技法

利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行常用的方法:①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;②证明两个平面的法向量平行;③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.对点训练

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(2)平面ADE∥平面B1C1F.

考点二利用空间向量证明垂直问题角度1

线线、线面垂直[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;

[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(2)PD⊥平面ABE.

角度2面面垂直[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;

[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

解题技法

利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示对点训练

如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;

如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(2)平面PAD⊥平面PAB.

考点三与平行、垂直有关的综合问题[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;

[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂