2025高考数学一轮复习-8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】

必备知识·逐点夯实第二节空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何初步、

空间向量与立体几何核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.预测2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角,主要以选择题或填空题的形式出现.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.四个基本事实基本事实1:过不在__________上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点________⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且_____.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线______.符号:a∥b,b∥c⇒_____.一条直线不共线两个点l⊂α有且只有一条P∈l平行a∥c2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.外相交平行3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言

符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言

符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l项目直线与直线直线与平面平面与平面其他关系图形语言

-符号语言a,b是异面直线a⊂α-微点拨

(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等或______.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:______.对应平行互补

常用结论

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号14231.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(

)(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(

)(3)两两相交的三条直线共面.(

)(4)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.(

)提示:(1)中的两个平面可能相交;(2)正确;(3)中的三条直线相交于一点时可能不共面;(4)中的两条直线可能是平行直线.×√××2.(忽略直线不在平面内而致误)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(

)A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则(

)A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为菱形;

(2)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为正方形.

AC=BDAC=BD且AC⊥BD

核心考点·分类突破考点一基本事实的应用[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;【证明】(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;【证明】(2)在正方体AC1中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(3)DE,BF,CC1三线交于一点.【证明】(3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交.设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于点M.解题技法共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.对点训练1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(

)A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.

【证明】(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点二

空间两直线位置关系的判断1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(

)A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能【解析】选D.根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况.如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(

)A.直线AA1 B.直线A1B1C.直线A1D1 D.直线B1C1【解析】选D.根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线.因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(

)A.相交但不垂直

B.相交且垂直C.异面 D.平行

4.(多选题)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中(

)A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直【解析】选BCD.还原成正四面体A-DEF,如图所示,其中H与N重合,A,B,C三点重合,易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角.由图易得DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE,因此正确的选项是B,C,D.5.(多选题)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是(

)A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【解析】选ABD.如图所示,取PB的中点H,连接MH,HC,由题意知,四边形MHCN为平行四边形,所以MN∥平面PBC.设四边形MHCN确定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P∉平面α,D∉MN,因此