高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 36

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(36)

1.如图，已知直三棱柱=90。,£是棱CG上动点，尸是A8中点,4C=BC=2,

(1)当£是棱。的中点时，求证：CF〃平面AEBi；

(H)在棱CQ上是否存在点£使得二面角4—EBi—B的大小是45。，若存在，求CE的长，若不存

在，请说明理由.

2.如图，AEABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)直线CE与平面所成角的正弦值；

(2)若二面角E-BD-F的余弦值为右求线段CF的长.

3.如图，已知三棱锥S—4BC中，△ABC是边长为2的等边三角形，SB=SC=4,点。为SC的

中点，04=2.

s

(1)求证：平面SABJ■平面4BC;

(2)求二面角S-AB-。的正弦值.

4.如图①，在菱形ABC。中，乙1=60。且4B=2,E为的中点.将△ABE沿BE折起使4。=或,

得到如图②所示的四棱锥4-BCDE.

图①图②

(I)求证：平面ABE_L平面A8C；

(II)若P为AC的中点，求二面角P-BD-C的余弦值.

5.如图，平面4BCD1平面AOEF,其中A3C。为矩形，AOEF为梯形，AF//DE,AF1FE,AF=

AD=2DE=2.

(1)求证：EF1平面BAF；

(2)若二面角4—BF—D的余弦值为立，求48的长.

4

6.已知四棱锥P-4BC。中，底面A3CD为等腰梯形,4D〃BC,P4=AD=AB=CD=2,BC=4,

PA_L底面ABCD.

(1)证明：平面P4CJ■平面PAB；

(2)过PA的平面交BC于点E,若平面PAE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求三棱

锥E-PCD的体积.

7.如图，直三棱柱48。一4遇16中，AC=BC=\AAr=2,M、N分别为AB、的中点.

N

6】

41

zD

(1)求证：MN〃平面4CC14；

(2)若BiM=3或，求二面角反一4M-N的余弦值.

8.已知三棱柱4BC-4B1C1，△ABC是正三角形，四边形/CG&是菱形且44遇。=60。，M是41G

的中点，MB=MC.

A\M________C\

(I)证明：AM1BC-,

(fl)求直线AM与平面BCG4所成角的正弦值.

9.如图，在三棱柱ABC-ZiBiG中，AB1AC,AC1BBX,AB=ArB=AC=2,BB、=2®

(I)求证：&BJ•平面48C；

(口)若P是棱BQ的中点，求直线BBi与平面PA8所成角的正弦值.Gy-----------入小

10.如图，在三棱锥D-4BC中，侧面△A8D是边长为6的等边三角形，底面团ABC是角C为120°的

等腰三角形，CD=V30.

C

(1)求证：平面ABC_L平面ABC；

(2)若M在CO上，且=求三棱锥4一80M的体积.

11.如图所示，三棱锥P-ABC中，「41平面48(7,..1/7_13「，平面a经过棱PC的中点E,与棱

PB,AC分别交于点F,D,且BC〃平面a,P4〃平面a.

(1)证明：4B_L平面a；

(2)若4B=BC=P4=2,点M在直线EF上，求平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值

的最大值.

12.如图所示的多面体ABCQEF中，四边形A8CQ是边长为2的正方形，ED//FB,DE=\BF,

AB=FB,FB_L平面ABCD.

(1)设8。与AC的交点为O,求证：OEJ■平面ACF；

(2)求二面角E—4尸一C的正弦值.

13.如图所示，A8为圆柱的底面直径，2人,SB1为圆柱的两条母线，点C,G，。分别为荒，/81，

A4i的中点，AAr=2AC.

(1)若CM_LBD,垂足为M,证明：CM1FC1；

(2)求二面角G—8。—/的大小.

14.如图，三棱柱ABC—4B1G中，力BJL侧面BBiGC,已知/BCG=争BC=1,AB=CtC=2,

点E是棱GC的中点.

(1)求证：BC_L平面ABC1；

(2)求二面角4-B]E-&的余弦值.

15.如图，在三棱锥P-4BC中，P4_L平面ABC,PC1AB,D,E分别为8C,AC的中点.求证:

(1)48〃平面PDE；

(2)平面PAB1平面PAC.

16.如图所示，在四面体ABC。中，CB=CD,AD1BD,点E,尸分别是AB,8。的中点.

B

求证：(1)直线EF〃平面ACQ；

(2)平面EFC1平面BCD

17.在棱台48。。一公8道1。1中，侧面公当841底面A8CD,四边形ABC。与四边形都是

正方形，且48=4,&Bi=2,44i=BBi=g.

(1)过点儿作平面a,使得平面a〃平面GCDDi，确定平面a与直线BC的交点M的位置，并说明

理由；

(2)若点。为棱4B的中点，求平面40C与平面DCCi所成锐二面角的余弦值.

18.如图，直三棱柱ABC-4/iG中,D,E分别是的中点.

⑴证明:BG〃平面4CD；

(2)设A41=4C=CB=2,AB=2内求三棱锥C-&DE的体积.

19.如图，在直三棱柱ABC—41B1G中，BC==l,44i=AC=2,E为棱44］的中点，。为

BE上一点.

(/)证明：C0J.B1E：

(〃)求C到平面BEQ的距离.

20.如图①所示，在等腰梯形CCEF中，DE=CD=a,EF=2+衣，将它沿着两条高A。，CB

折叠成四棱锥E-4BCD(E,F两点重合)，如图②所示.

(1)求证：BE1DE;

(2)设例为线段48的中点，试在线段CE上确定一点N,使得MN〃平面DAE

【答案与解析】

1.答案：解：(1)取AB1中点连接EM、FM

中,F、M分别是AB、力当的中点,

:.MF〃B]B且MF=酒8,

又•.•矩形BBiGC中，CE//BXB^.CE=^B,

MF〃CE且MF=CE,可得四边形MFCE是平行四边形

•••CF//EM

•••CFC平面瓦4当，EMu平面EABi，

CF〃平面AEBi

(2)以C4、CB、Ct?1为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系,

可得4(2,0,0),Bi(0,2,4),设CE=m,得E(0,0,m)

AE=(-2,0,m),AB[=(-2,2,4)

设平面AEBi的法向量为五=（x,y,z）

AE•n=—2x+mz=0

则有,解之并取z2，得元=(m,m—4,2)

ABX=-2x+2y+4z=0

•・•平面EB中的法向量为石？=（2,0,0）,

・•.当二面角4——B的大小是45。时，有

,一27n6

cos<n,CA>=-7=====^=—，解之得m=|.

7^2+(771-4)2+4-22

因此，在棱CG上存在点E,当CE=|时，二面角A-EBi-B的大小是45。.

解析：（1）取4/中点加，连接EM、FM,在AABiB中根据中位线定理，得且MF=

在矩形BBCC中，CE〃B】B且。E=匏18,得到四边形MFCE是平行四边形,CF〃EM,从而证出CF〃

平面4E%

（2）以C4、CB、CCi为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设CE=m,得至ijA、和E各点的坐标，

根据垂直向量的数量积为零的方法列方程组并解之，得到平面AEBi的法向量为元=（犯爪-4,2）,再

由题意得到平面SEB1的法向量和平面E&B的法向量夹角的余弦绝对值为李，由此建立关系式，可解

出m=|,从而得出存在点满足条件的点E.

本题在直三棱柱中，求证线面平行并探索二面角的大小能否为45度，着重考查了直线与平面垂直的

判定、用空间向量研究二面角的大小等知识点，属于中档题.

2.答案：⑴/⑵*

解析：

本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能

够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，

属于常考题型.

以A为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出C,E,8,。的坐标，首先求解出平面BDE的法向量

川（2.2」），根据直线CE与平面BCE所成角的正弦值等于焉碧可求得结果;（2）设CF=t（t>0）

七|但11

4f-2

得到产(2,l,t),可求解出平面BOF的法向量〃2=(Lt.-2),从而得至卜<〃卜上>=

3,212+4

根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程I券y=/解方程求得结果.

解：以A为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系:

(1)由题意得:C(2,l,0),E(0,0,2),(0,1,0),D(1,0,0)

.-.CE=(-2,-1,2).BD=(l,-l,0),JE=(0,-l,2)

设平面BQE的法向量〃］："LW.：i)

=xi-Vi=0，令z=]

则为=2,Xi=2

BE-n7——y^+2z1=01.-.»!=(2,2,1)

设直线CE与平面BCE所成角为。

四可|-4-2+2|_4

・••sin0=

I日I•I司3X39

即直线CE与平面B£>E所成角的正弦值为：；

(2)设CF=t(t>0),则］(2,1,t).•.乔=(2,0，t)

设平面BQ尸的法向量〃2-(7人!/>-22)

・喘甚M+W＞令Z2—则…'2=—2)

由(1)知，平面8OE的法向量小(2.2.1)

元i・八2_2f+2f-2_4£-2

-22-

Ini-|n2|37«+«+43v^+4

又二面角E-BD-F的余弦值为;1-^=1=J,解得：t=|

3I3v2tz+4I37

.•・线段CF的长为：|

3.答案：(1)证明：因为SC=4,点。为SC的中点，所以SD=0C=2,

又4C=DA=2,所以△ADC是等边三角形，所以4。&4=全

由余弦定理可得SA=2百，所以SC?=s»2+4。2,SALAC.

又4SAB"SAC,得S414B,

又ABCAC=4,AB,ACu平面ABC,

所以SA1平面ABC,

又$4u平面SAB,所以平面SAB_L平面ABC.

(2)解：以A为坐标原点，AB为x轴，在平面ABC内过点A垂直于AB的直线为y轴，AS为z轴,

建立空间直角坐标系.

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0)-5(0,0,2回

所以。&泉遍),荏=(2,0,0),亚=或曰,遮),

设布=(xj,z)为平面ABD的法向量,

(m-AB=2x=0*_

由一右i,V5,rjd令z=1，得记=(°，-2,1).

m-AD=-x+—y+V3z=0

而平面SAB的一个法向量元=(0,1,0),

设二面角S-AB-。的平面角为氏

则二面角S-AB-。的正弦值为sin。=J—(—泠2=

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)推导出S414C,SAJ.AB,从而S41平面A8C,由此能证明平面SAB_L平面A8C.

(2)以A为坐标原点，48为x轴，在平面4BC内过点A垂直于A8的直线为y轴，AS为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S-AB-。的正弦值.

4.答案：证明：(I)在图①中，连接BD

•••四边形ABCC为菱形，NA=60。，是等边三角形.

•.•后为7m的中点，：.^^，/!/,BEIDE.

又4B=2,AE=DE=1.

在图②中，AD=>/2,AE2+ED2=AD2.

•••AE1ED.

-BC//DE,BC1BE,BCLAE.

又BECAE=E,AE,BEu平面ABE.

BC1平面ABE.

■■■BCu平面ABC,1平面ABC.

解：(II)由(I),知AE1DE,AE1BE.

•:BECDE=E,BE,DEu平面BCCE.

AEJL平面BCDE.

以E为坐标原点，EB，丽，说的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系E—xyz.

则E(0,0,0),4(0,0,1),B(V3,0.0),C(居2,0),D(0,l,0).

•••P为AC的中点，6(31,

・,•丽=，,一1,一力丽=(一苧,0，一》.

设平面PBD的一个法向量为沆=(x,y,z).

由R%。,得代-二*。，

PD=0-^x-lz=0.

V22

令z=圾,得记=(-1,—V3,V3).

又平面BCD的一个法向量为前=(0,0,1).

设二面角P-BD-C的大小为仇由题意知该二面角得平面角为锐角.

|前沆|_6_V21

则cos。=

\EA\\m\-1X-77-7

・・・二面角P-BD-C的余弦值为咛.

7

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题.

(I)推导出BE1AE,BE1DE,RBC“DE,从而BC_L平面ABE,由此能证明平面4BE1平面ABC.

(II)以E为原点，EB，ED，瓦?的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出二面角P-BD-C的余弦值.

5.答案：(1)证明：•••四边形A8CO为矩形，••.BA_LAD,

•.・平面2BCD1平面AOEF,又平面ABC。n平面ADEF=AD,BAu平面ABCO,

BA1平面ADEF.

又EFu平面ADEF,BA1EF.

又4F1EF,5.AFnBA=A,

EF，平面BAF.

(2)解：设4B=x(x>0).以F为坐标原点，AF,FE所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系

F-xyz,如图.

则F(0,0,0),E(0,g,0),L»(-l,V3,0),F(-2,O,x),

：.~DF=(l,-V3,0).BF=(2,0,-%)•

由⑴知EFJ•平面ABF,.•.平面ABF的一个法向量可取%=(0/，0).

设电=(Xi，yi，zj为平面BFD的一个法向量，

则｛&吧=.即［2%一/=?

令yi=l,则通=(8

.tT、宿F1>J2

•.•oos(nn2)=i~，•；<=—

hi»iii«2ir124，

W+京

解得X=百(负值舍去)，

•••AB-V3.

解析：

本题考查线面垂直和二面角.利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，借助二面角4-BF-D的平

面角的余弦值和法向量法，列出方程求得线段的长.

(1)首先由平面与平面垂直的性质得到BA_L平面AOEF,再得到B41EF,最后结合线面垂直的判定

定理得到结果.

(2)结合题意，建立适当的平面直角坐标系，得到向量的坐标，再由法向量的定义求得法向量，最后

利用夹角的余弦公式求得结果.

6.答案：解：(1)证明：在等腰梯形ABCQ中，AB=AD=DC=2,BC=4,

易得N4BC=60

在ZABC中，AC2=AB1+BC2-2AD-DCi^ADC,

所以AC2=4+16-8=12,贝1J有4^2+AC2=BC2,

•••AC1AB,

又因为24_L底面ABCD,AC'Q平面.43。。，

所以PA1AC,

因为AC_L4B,PAHAB=.4.PA.ABC平面PAB,

所以A。J.平面PA3,

因为ACU平面PAC,

所以平面P4C_L平面PAB-

(2)在梯形ABC。中，设BE=a,

p

E

*/V^t^P-ABE=^ralttt-P.4ECD,

•••必山j1/(rD，

易知梯形的高刀=ABsinN.ABC=2x—='/1•

2

1../4n口(CEAD)-h

-ABnBEsuiZ.ABE=----------——--，

22

即:x2ax4=边逋,解得a=3,

・••VE-PCD~^P-CDE~^AECD'A,

SAECD=-CECDtin^ECD=-xlx2x—=—.

"171CFl41V3cA/3

•*,VE-PCD=^P-CDE=3^AECD'=~X=

故三棱锥E-PCD的体积为它.

3

解析：本题考查直线与平面垂直的判定及性质，平面与平面垂直的判定定理的应用，三棱锥体积的

求法，考查分析能力和转化能力，属于中档题.

(1)证明AC1AB,PALAC,推出.4「_1,平面「.，13,即可证明面P4CJ■面PAB；

(2)设BE=a,由「代推I；：坨愤，求出BE,再根据VE-PC。=%>-CDE=：%ECD，P4

SAECD\cECDshiAECD,带入数据计算即可求解・

7.答案：证明：(1)取AC中点。，连结0M,0£,

在AABC中，因为M为AB中点，0为AC中点，

所以。M〃BC,且OM=：BC,

又N为BiG中点,BC//B1G且BC=&Q,

所以GN〃BC,且CiN=^BC,

所以。M〃C】N且。M〃C】N,从而四边形OMNCi为平行四边形.

所以MN〃OG，

又A/N@平面4CG%,OGu平面4CC14,所以MN〃平面

解：(2)在直三棱柱ABC-&B1G中,BBX1AB,=3&，=4,

所以8M=，B、M2-BB,=a，故AB=2应，AC2+BC2=AB2,从而4C1BC.

以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示,

则0),711(2,0,4),Bi(0,2,4),A/(0,1,4),

福=(-1,1,4)，西=”史久顾:二U电gg1,_i,4),而=(_i,0,4),

设平面M&B1的法向量为比=(x,y,z),则(工.盟=°,

㈤•MB1=0

即已"言;一解得｛汇。

令x=1,得Z=(1,1,0),

设平面M&N的法向量为底=(x,y,z),则匡•丝】二°,

(电•MN—0

gtn=oM：8：

令z=l,得布=(4,8,1),

所以cos(刀，荻>=磊=彘=誓，

所以二面角B1-41M-N的余弦值为第.

解析：本题主要考查了线面平行的判定定理，二面角，利用空间向量求二面角，属于中档题.

(1)取AC中点O,连结。M,0G，所以。M〃8C,且OM=：BC,又N为BC中点，所以C/〃BC,

且GN=，BC,所以OM〃GN且。M〃GN,从而四边形。MNC1为平行四边形.所以MN〃OC\,由线

面平行的判定定理可得结果.

(2)在直三棱柱4BC—4BiG中，BB1LAB,易证"2+B(?2=.2,从而AC1BC.以C为原点，

建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面M&B1的法向量，平面M&N的法向量，代入夹角公

式，可得结果.

8.答案：(I)证明：取8c中点为。，连结AD,MD,如图

由MB=MC得MD1BC,

由△ABC是正

.三角形，所以4D1BC,

又MCn/W=D,MD,ADciF®AMD,

故BC1平面AMD,

又4Mu平面AMD,

因此BCJ.4M;

(〃)解：设AO中点为E,平面4WE交BiG于M连结NE,

设4通=AC=1.由MN〃4D,所以GN=：当的=%

由直角梯形DCGN,则有DN=^，

由BC_L平面AMND,又BCu平面BCQBi

所以平面BCC1/_L平面AMM),

所以ON为AM在平面BCGBi内的射影，

所以4END为A”与平面BCG/所成的角，

在△END中，DE2=EN2+DN2-2EN-DNcos^END

由。E=今EN=AM吟

DNV15得皿吁甯

4

所以sin/END=—,

21

所以直线AM与平面BCGBi所成角的正弦值察.

解析：本题考查了线面垂直的证明以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件,

在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求解，属于中档

题.

(I)取BC中点为£>,连结A£»,MD,利用三角形的性质结合线面垂直的判定定理证明BC，平面AMZ),

即可证明BC1AM;

(II)设A。中点为E,平面AME交8传1于N,连结NE,通过证明面面垂直得到LW为AM在平面BCGBi

内的射影，从而得到“ND为4M与平面BCGBi所成的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可.

9.答案：证明：(I)•.•在三棱柱—中，ABLAC,AC1BBr,又ABCBB1=B,

AC_L平面又4iBu平面4C141B,

BB]=2鱼，•••AA1=2企，

22

AB=A1B=2,AB+ArB=AA1,:.A^B1AB,

y.ACQAB=A,二J■平面ABC.

(U)解：由(I)知，直线&Ci，4/1，两两互相垂直，

以4为原点，分别以AC、AB.Az所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系4-xyz,

z

则4(0,0,0),4(0,2,2),P(l,3,2),B(0,2,0),当(0,4,2),“2,2,2),

>

AB=^7^=(0/2/0),PB=(-1,-1,-2),

设平面P43的法向量元=(x,y,z),

则产巫=。，所以m3。，

(元•PB=0k-x-y-2z=0

取z=l,则元=(—2,0,1),

又西=(0,2,2)，设直线BE】与平面PA8所成角为0,

则sin®=|cos〈元，西)|=|曲篇|=熹=噂.

•••直线BBi平面PAB所成角的正弦值呼.

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，属于中档题.

(I)推导出ACJ■平面4BB送1，AC1ArB,ArBLAB,由此能证明_L平面ABC

(II)以A为原点，分别以4C、AB,Az所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系4-xyz,利用

向量法能求出直线平面P48所成角的正弦值.

10.答案：证明：(1)

取A8的中点。，连接OC、0D,

因为△48。是边长为6的等边三角形，AABC是等腰三角形，

所以4B1OD,AB10C,

所以力。=~AD—3,0D—~\/30A-3V3>

OC=0A-tan300=1x3=V3>

所以在△OCC中，CD2=OC2+OD2,可得OD1OC,

因为ABJ.OD,ABcipffiABC,OCu平面ABC,ABnOC=0,

所以0。1平面ABC,

因为ODu平面AB£),

所以平面ABD1平面ABC；

(2)由(1)知，平面ABDJ■平面ABC,平面力BOn平面4BC=4B,

AB1OD,ODu平面ABD,可得。。1平面ABC,

所以%-we=gs®ABC-0Z)=ixi.?lB.0C0D=|xix6xV3x3V3=9,

因为CM=^MD,所以DM=2CM,

所以S.BDM=2S.BCM，

因为三棱锥A-BDM与三棱锥4-BCM高相等，

^VA-BDM:YA-BCM=^fSBDM'^SBCM=2,即以一BDM=^A-BCM'

因为匕-8DM+^A-BCM=^D-ABC=9,

72

所以匕1-BDM=3X^D-ABC=§X9=6,

三棱锥4-BOM的体积为6.

解析：本题考查了面面垂直的判定、棱锥体积求法，考查了学生的逻辑推理能力

(1)取4B的中点O,连接OC、0D,由ZB10D,及。DJ.0C可证得0D1平面ABC,故可证得平面

ABD_L平面ABC；

(2)由三棱锥A-BDM与三棱锥A-BCM高相等，故可结合力_加“=2%_BCM可求得匕-BDM=|X

%-ABC得答案

11.答案：解：(1)因为BC〃平面a,BCu平面尸BC,平面an平面PBC=EF,

所以BC〃EF,且F为棱的中点，因为所以EFL.-13，

因为PA〃平面a,PAu平面PAC,平面au平面PAC=DE,所以PA〃DE,

因为平面ABC,AB在平面ABC内，

所以PAL.A3，所以

又DEnEF=E,DEc^®DEF,EFu平面。EF,所以.AB_L平面。EF,即A3_L平面a；

(2)如图，以点8为坐标原点，分别以BA,BC为x,y轴，过点8且与AP平行的直线为z轴建立空

间直角坐标系，

则8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),F(l,l,l),“1,0,1),

AC=(—2,2,0),BC=(0,2,0),BP=(2,0,2),

设1),平面MAC的法向量为记=(z，yi，Zi),则俞=(-l,t,1),

则色色=—2/+2%=0令QI,则为=i,Qi-t,

(m-AM=-+/+&=0

所以布=(1,1,1一。为平面MAC的一个法向量，

z

设平面PBC的法向量为元=(x2,y2，2)>

则色屈=2丫2=0

，得力=。，令％2=L则Z2=-1

(n•BP=2X2+2Z2—0

所以冠=(1,0,—1)为平面P8C的一个法向量,

设平面MAC与平面P8C所成的锐二面角为

|沅宿—|1-(1T)L—因_

贝ijcos。=|cos(jn,n)\—|m|x|n|-712+12+(1-t)2xV2-Vt2-2t+3xV2

当t=0时，cos0=0；

_i_i

当"0时，3"n的蕊二而藜,

当且仅当£=!，即t=3时，3(：—}2+|取得最小值|,

1V3

cos。取得最大值，最大值为耳袤二三.

所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为更.

2

解析：本题考查线面垂直的判定，空间向量解决二面角问题，以及函数求最值，考查空间想象能力、

逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.

(1)由BC〃平面。可得BC〃EF求出EFLAB,P4〃平面。可得PA〃DE,所以。A3,结合

线面垂直的判定定理即可求解；

(2)以点B为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面M4C与平面PBC的法向量，根据向

量夹角公式求出两平面所成锐二面角的余弦值的表达式结合二次函数的性质即可求解.

12.答案：解：⑴证明:•••FBABCD,ED//FB,

EDI平面ABCD,

VADU平面ABCD,CDu平面ABCD,

：.EDLAD,ED1.CD，

•••四边形ABC。是边长为2的正方形，

；.AD=CD,XvED=ED,

：,RtAEDA^RtAEDC,EA=EC,

又。为AC中点，.,.0EL4。，

在△EOF中，易知OE=W,OF=在上尸=3，

OE2+OF2=EF2,

：.OE±OF,

又4Cn0F=0,AC,OFc5FffiACF,

OEL平面ACF；

(2)E。，平面ABC，且D.-UOU,

如图，以。为原点，DA,DC,OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

从而E(0,0,1),4(2,0,0),C(0,2,0),F(2,2,2),0(1,1,0),

由(1)可知丽=(1,1.一1)是平面AFC的一个法向量,

设记=(x,y,z)为平面AE尸的一个法向量，

由［亚1=2y+2z=°,令方=1得元=(1厂2,2),

VAE•n=-2x+z=0

设。为二面角E-AF-。的平面角，

则曲例=|8"附词＞|=繇哥=当'

：.siiW=半•

...二面””—C角的正弦值为今

解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面有的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.

(1)推导出ED1平面ABC。，DE1.AC,OE1OF,由此能证明。E1平面ACF.

(2)以。为原点，DA,DC,OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出二面E-AF-C的正弦值.

13.答案：解：(1)证明：由题意，得ZC=BC=&G=B1GMC，BC,

又AAi1BC.AA^rtAC=A,AAltACu平面Ci。。，

所以BC1平面的CD,

又GDu平面GCD,

所以BC_LCi。，

又=2AC,4&J.AC,点。为棱的中点，

所以N&DCI=45°,/.ADC=45°,则1DC,

又BCCCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以G。1平面BCD,

又CMu平面BCD,

所以GD1CM,

又因为CM1BD&DCBD=D,C]D,BDu平面B£)G，

所以CM1平面BDCi，

又BC】u平面BDCi，

所以CMJ.BG；

(2)设4c=1,

因为C4CB,CC]两两垂直，

以C为坐标原点，西的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz,

如图所示：

则B(0,l,0),D(l,0,l),Bi(0,l,2)，G(0,0,2),

所以竭=(0,—1,2),前=

设平面BDC］的一个法向量为沆=(Xi，yi，zj,

贝胆匹=。,所以巴2工=?

(m-BD=0+Zi-U

令Zi=1,得记=(1,2,1),

设平面B/D的一个法向量为运=(%2，及*2)，

则，？•里=0,所以p2-y2+Z2=°

x

(n•BrD-0t2—y2一22=O'

令%2=1，得记=(L1,O),

设二面角Ci-8D-当的平面角为仇

则际。1=需=蒜=多

由图可知，二面角Ci—BD—名为锐角，

所以二面角C1-BD—Bi的大小为30。.

解析：本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属

于中档题.

(1)利用线面垂直的判定，证出CM1平面BOG，即可证出结果；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面BBC1的一个法向量为沅和平面&BD的一个法向量为元，代入公式

|cosO|=嘉，即可求出结果.

14.答案：(1)证明：在ABCG中，NBCG=g,8C=1，JC=2,

由余弦定理可得BC/=BC2+CCf-2-BC•CG•cosg=

l+4-2xlx2x；3,

故BQ=痘,所以BC2+BCl=CCl，故BC1Bg,

因为481侧面BBiGC,BCu平面BBiGC,所以BC1AB,

因为4BCBG=B,AB,BCiu平面ABC]，所以8c1平面ABG；

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),a(一1,V3,0),F(i,y,0),&(-1,V3,2),

则福=(一1,再2),荏=(段,-2),瓦瓦=(0。-2),砧=(|,一当,一2),

设平面ABE1的一个法向量为元=(%,y,z),则有?,竺=°,即1次，

5•AE=0-x4—y—2z=0

、22/

令、=遮，则元=(1,百,1),

(而.or-2c=o

设平面的一个法向量为万=(a,b,c),则有t丝TR1"1=口，即上逅2c=0'

\jn,A]E--0(22

令b-V3»则沅=0),

所以|C°S＜君记＞|=器=袅=尊

所以二面角/I-B]E-4的余弦值为学.

解析：⑴利用余弦定理求出BG的值，由勾股定理证得BCJ.BG，再由4B_1侧面881的配可得BC1

AB,利用线面垂直的判定定理证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用待定系数法求

出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般

会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

15.答案：证明：(1)在AABC中，因为D,E分别为BC,AC的中点，

所以AB〃DE.

又因为AB仁平面PDE,DEu平面PDE,

所以4B〃平面PDE.

(2)因为P41平面ABC,ABu平面ABC,

所以PA1AB.

又因为PCIAB,PA,PCu平面PAC,PADPC=P,

所以481平面PAC.

因为4Bu平面PAB,

所以平面H4B，平面PAC.

解析：本题主要考查线面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于中档题.

(1)在△48C中，因为。，E分别为BC,AC的中点，所以4B〃DE,由线面平行的判定定理可证得；

(2)由已知可得PA1AB,又因为PC1AB,由面面垂直的判定定理可证得.

16.答案：证明：(1);E,尸分别是AB,8。的中点，

•••EF是△4BC的中位线，

EF//AD.

vEFACD,ADu平面ACD,

•••直线EF〃平面ACD.

(2)•••ADLBD,EFIIAD,

•••EF1BD.

vCB=CD,尸是8。的中点，

CFLBD.

又EFC\CF=F,

•••BD1平面EFC.

•：BDu平面BCD,

平面EFC1平面BCD.

解析：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理.考查对基础知识的综合应用

能力和基本定理的掌握能力.

(1)根据线面平行关系的判定定理，在面ACZ)内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知

EF//AD,EFACD,ADcffiACD,满足定理条件；

(2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判

定定理可知BD1面EFC,而BDu面BCD,满足定理所需条件.

17.答案：解：(1)过点为在平面与BCC1内作B】M〃CCi，与BC交于点M,则平面4出时就是平面a,

点M就是平面a与直线BC的交点，由题意可得四边形BiGCM是平行四边形,2BC=4,MC==

2,

所以点例为棱8C中点.

证明如下：

由4$"/0以，小心笈平面CCD%,Ci。1u平面可得4/"/平面。住。％,

LljBiM〃CiC,3A/笈平面CICDDI，GCu平面CiCDDi，可得〃平面。住。。1，

因为ClB[M=Bi，所以平面力$iM〃平面GCDDi；

(2)因为侧面4当841底面A3CZ),以48中点0为坐标原点，直线AB为x轴，

过点。在平面ABCD内作A8的垂线为)，轴，过点O在平面为BiBA内作AB的垂线为z轴建立如图

所示的空间直角坐标系.

则0(0,0,0),71(-2,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),£>(-2,4,0),由

AB=4,=2,AAT=BB1=V17,可得等腰梯形的高为4,

所以力式一1,0,4),Cx(1,2,4),5(-1,2,4),

所以前=(一4,0,0),鬲=(一1,一2,4)，况=(2,4,0),西=(一1,0,4),

设平面&OC的法向量沅=­则像疣>即裳;*口

取Zi=1,得沅=(4,-2,1);

设平面。GC的法向量记=喉：落北，即仁+4Z2=。

取Z2=l,得元=(0,2,1),

设平面4OC与平面DCCi所成锐二面角为0,

|4x()+(-2)x2+lx1|

则八同.宿,毕+(—2『+1?•，(户+22+U个,

同|同|=35

所以平面4OC与平面DCCi所成锐二面角的余弦值为等.

解析：本题考查面面平行的判定，考查利用空间向量求二面角，属于中档题.

⑴过点名在平面/BCG内作BiM〃CC「与BC交于点何，则平面&B1M就是平面a,结合平面与平

面平行的判定即可求解；

(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可求即可求出二面角.

18.答案：解：(1)证明：连接4cl交41c于点F,连接QF,则F为人的的中点.

•・•直棱柱4BC-&B1C1中，D,E分别是A8,的中点，

•••DF为三角形48cl的中位线，

DF//BCr.

•：DFu平面&CD,而BCi仁平面&CD,

•••〃平面&CO.

(2)AAX-AC-CB—2,AB=2V2»

•••CA2+CB2=AB2,CA1CB,

.••直三棱