高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

专题椭圆双曲线抛物线

一、椭圆

定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹

顶点

(±a,0),(0,±d)(0,±a)/(±b,0)

焦点

长轴2a2a

短轴2b2b

焦距2cc=\la2-b2

通经长

离心率e=-0<e<l.且e越接近1,对应椭圆越扁；e越接近于0,越接近于圆

a

定义到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹

标准方程

顶点(?a,0),(a,0)(0,?a),(0,a)

焦点

Fi(?c,0),F2(c,0),Fi(0,?c),F2(0,C).

焦距2cc=\la2+b2

c

离心率e=-e>l.

a

对称性：对称轴为x=0,y=0;对称中心为0(0,0)实轴长2a虚轴长2b

b,a

渐近线片土一x;y=±-x

ab

二、双曲线

1.从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.

2.共渐进线双曲线系：与1=1共渐进线的双曲线方程是［一］=入(及0)

abab

22

双曲线的渐近线为二±2=()时，它的双曲线方程可设为0-4=〃义二0).

22

abah

3.双曲线方程中化1为0,因式分解可得渐进线方程

4.等轴双曲线：双曲线x2_y2=±/称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,

=V2.

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、

2、3、4条.

三、抛物线

定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹

方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴X轴y轴

顶点(0,0)

离心率

通经2P

焦半径

1.抛物线y?=2px中p的几何意义是焦点到准线的距离，恒正;

焦点坐标、准线方程与K相关，是一次项的四分之一

2

2.注意抛物线焦点弦的特点：

22

如y=2px中yty2=-p,玉七=?,=办+々+p

例题精讲

例1.若直线依7+1=0经过抛物线的焦点，则实数—.

例2.已知圆C的圆心与抛物线V=4x的焦点关于直线y=x对称.直线

4x—3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且|A月=6,则圆C的方程

为.

/v2

例3.已知£、月为椭圆L+匕=1的两个焦点，过£的直线交椭圆于4、6两

259

点。若|&4|+|£冽=12,则|力引=0

例4(08北京19)

已知菱形ABC。的顶点AC在椭圆V+3y2=4上，对角线所在直线的斜率

为1.

(1)当直线3。过点(0,1)时，求直线AC的方程;

(II)当NA8C=600时，求菱形A8CO面积的最大值.

答案

解：(I)由题意得直线6。的方程为y=x+l.

因为四边形A6co为菱形，所以AC_L8O.

于是可设直线AC的方程为y=-x+n.

由J-4'得4工2_6以+3〃2-4=0.

=一尤+〃

因为AC在椭圆上，

所以△=—12n2+64>0，解得-<n<――.

33

设AC两点坐标分别为(即%)，(■%%)，

3〃2—4

则%]+%=9%/=%=-X,+n,y=-x+n.

422

所以x+必=]•

所以AC的中点坐标为

由四边形ABC。为菱形可知，点在直线y=x+l上,

所以4=2+1,解得〃=_2.

44

所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.

(II)因为四边形A8C£>为菱形，且乙480=60。,

所以|钙|=忸。|=|04|.

所以菱形ABQ9的面积S=

由(I)可得|ACf=«—々A+3-=3〃；+16

所以当〃=0时，菱形A8CO的面积取得最大值40.

例5(08全国221)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,l)是它的两个顶点,

直线y=心纸＞0)与A8相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.

(I)若加=6加，求攵的值；

(II)求四边形用/面积的最大值.

答案

2

(I)解：依题设得椭圆的方程为工+V=i,

4

直线AB,所的方程分别为尤+2y=2,y=kx(k>0)...................2分

如图，设。(如kxQ),E(x/kxj,F(X2,

且X，工2满足方程(1+4公)42=4,

2

故犬2=一王=一/.•①

，1+4攵2

由£1)=6£)/知%)_玉=6(九2_演))，得毛=—(6X2+XJ)=—X2=—/10；

777A/1+4公

由。在AB上知/+25=2,得/=■^市

210

所以

\+2k7讳+4公

化简得24攵2—25女+6=0,

23

解得「或％=士................................................6分

38

(II)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E,尸到A5的距离分别

归+2g-2|_2(1+2k+J1+4/)

为％=

V5j5(l+4/)

\x2+lkx2-2|_2(1+2A:-Jl+4"2)

.................................9分

V54(1+4/)

又|4同=历1=拈，所以四边形AE班'的面积为

W2vL

当24=1,即当上=工时，上式取等号.所以S的最大值为2夜.........12分

2

解法二：由题设，忸0=1,|AO|=2.

设弘=日1,y2=kx2,由①得％2>0，必=一X>0，

故四边形A郎的面积为

=x2+2y2..............................................................9分

=2&,

当々=2%时，上式取等号.所以S的最大值为2后.12分

例6（本小题满分14分）

椭圆C：5+，=1（。>〃>0）的离心率为坐，长轴端点与短轴端点间的距

离为右.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设过点。（0,4）.的直线/与椭圆C交于瓦/两点，。为坐标原点，若

△OEF为直角三角形,求直线/的斜率.

解：（I）由已知£=立,/+〃=5,............3分

a2

又解得/=4/2=1,

所以椭圆C的方程为.......................5分

（II）根据题意，过点D（0,4）满足题意的直线斜率存在，设/:y=Zx+4.

人，2_]

联立，\~T+y=,消去y得（1+4公＞2+32^+60=0,........6分

y=Zx+4

A=（32k）2-240（1+4左2）=Mk2-240,

令A>0,解得A?〉”....................................7分

4

设E、F两点的坐标分别为（国,%）,（乙,力），

（i）当NEOF为直角时，

mo32k60.八

贝IJX]+%2=------=-----------7，...................8分

121+4廿121+4女2

因为/EOF为直角，所以。必诉=0,即内々+%为=0,9

分

所以（1+左2）%/2+4人（网+X2）+16=0,

15x（l+^2）

所以----+4=0,解得k~±V19^.11分

1+4公1+止

(ii)当NOEF或NOFE为直角时，不妨设NOEF为直角,

此时，kOE-k=l,所以&=即无：=4%一才……①........12

X]X]

分

尤2

又才+y；=1.......②

将①代入②,消去xi得3褚+4%-4=0,

解得必=；或%=一2(舍去)，...............13分

将y=2代入①，得七=±2百，所以上=21二±=±石，.........14分

33x1

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为±加和土行.

例7已知椭圆C：W+"=l(a>b>0)的离心率为L以原点为圆心，椭圆的短

半轴为半径的圆与直线x-y+6=o相切.⑴求椭圆c的方程；⑵设p(4,0),A,

3是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结依交椭圆C于另一点E,

证明直线钻与x轴相交于定点。；

【解析】⑴由题意知可《，所以，吟yj即小沙

又因为6=9=石，所以/=4,从=3.故椭圆C的方程为《+£=1.

VT+T43

⑵由题意知直线P8的斜率存在，设直线P8的方程为y=/（x-4）.

y=k（x-4）,

由＞2得（4左2+3）x2-32%2》+64后2-12=°•①

---F--=1.

设点8区，乂），E（x,,%）,则《芭，-必）.直线AE1的方程为y-y,=&±、（x-xO.

令y=0,得x=%-将乂=/「4）,先人心一）代入整理，得

必+乂

2占占-4（内+X?）⑨

由①得Q"恶…寸胎畀弋入②整理，得I.所以直线伍与x轴

相交于定点。（1,0）.

例8（12年东城期末）已知椭圆方瓦=1（4＞人＞0）的左、右焦点分别为后,

F2,点M（0,2）是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.（I）求椭圆

的方程；（II）过点/分别作直线MA,交椭圆于A,6两点，设两直线的

斜率分别为占，k2,且匕+e=8,证明：直线AB过定点（一（一2）.

222

解：（I）由已知可得b=2d=L=8,所求椭圆方程为亍+?=1.5分

（II）若直线A8的斜率存在，设A3方程为y=+依题意加。±2.设

A。1,%）,B（x2,y2）,

1y-

由＜可+彳—'得（1+24-8=0.......7分

y=kx+m,

4km2m2-8由已知*三+左匚=8,

则mil…&EyTZIF

xxx2

所以匕i+〃?_2+去2+〃?-2=8,即2&+(加一2)^±^=8.…10分

X]x2x]x2

所以斤—*L=4,整理得m=Lk—2.

772+22

故直线AB的方程为y=Ax+g/:—2,即＞=%(x+1)-2.

所以直线AB过定点(―L-2).......12分

2

若直线A3的斜率不存在，设方程为

设4%,%),B(x0,-y0),由已知名~-+----=8,

//

得天=—L此时A8方程为％=-,，显然过点(-工,-2).

222

综上，直线过定点(-士-2).......13分

2

例9已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-&,0),(6,0),离心率是手,

直线•'1椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P。

(I)求椭圆C的方程；

(II)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

(III)设Q(x,y)是圆P上的动点，当L变化时，求y的最大值。

解：(I)因为£=—9,且c=0,所以a=g,b=da?—c，=1

a3

9

所以椭圆C的方程为事+y・

(II)由题意知p(Oj)(—

2得x=±；3(l-产)

由VX2

一+/

13•

所以圆P的半径为"3(1-r)，解得r=士*所以点P的坐标是(。，土手)

(III)由(H)知，圆P的方程》2+(卜7)2=3(1-/)。因为点Q(x,y)在圆p上。

所以y二r±73(1-?2)-X2＜t+73(1-r2)

设t=cos6,6e(0,7i)、贝1J/+J3(l-『)=cos6+Gsin6=2sin(6+—)

6

TT1

当。=§,即f=］，且x=0,y取最大值2.

例10.已知椭圆C：4+工=13＞匕＞0)的离心率为,，以原点为圆心，椭圆的短半

a~h~2

轴为半径的圆与直线x-y+#=0相切.⑴求椭圆C的方程；⑵设P(4,0),A,B

是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E,证

明直线他与x轴相交于定点。；

⑶在⑵的条件下，过点。的直线与椭圆C交于M,N两点，求。麻灯的取值范

围.

【解析】⑴由题意知e=£=L所以e2=£=匕即层.

a2a2a243

又因为6=第=6，所以"=4,b2=3.故椭圆C的方程为=+.=1.

V1+143

⑵由题意知直线总的斜率存在，设直线P8的方程为y=A(x-4).

y=k（x-4）,

由y2得（4公+3）/-32父*+64产-12=0・①

[43

设点3(内，y),E(X2,y2),则A(x，-y).直线AE的方程为y-%=上上^(工-马),

令y=0,得x=/-)式"~~—.将y=k(%-4),%=-x,-4)代入整理，得

%+X

工；2%马一4(%+4).②

玉+“2-8

由①得%+%=W^，演£=空二工代入②整理，得x=l.所以直线铉与X轴

4攵+34攵+3

相交于定点。(1,0).

⑶当过点。直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为y=1),且M(x,”，为)，

N(XN,%)在椭圆C上.

y=m{x-V）

由,f2得（4/+3）f—8〃7为+4加一]2=0.易知A>0.

-----F—=1

143

814m2-1294

所以为+%=~-0一7'XMXN=——9—~

4m+34m~+3%%=一^75

5疗+12__5_33

贝ljOMON=xx^yy因为加220,所以

MNMN-4m2+3-44（4相？+3）

33

<0

4（4/n2+3）

所以诉.两e-4,-H当过点。直线MN的斜率不存在时，其方程为x=l.

解得M(l,|),N(l,.此时前7.丽=-：.所以两.两的取值范围是-4,

例11已知椭圆c的左，右焦点坐标分别为片(-石,0)工/，。),离心率是且。椭

圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS

与直线/:x=-W分别交于M,N两点。

3

(1)求椭圆c的方程;

(2)求线段MN长度的最小值；

(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为工。试

5

确定点T的个数。

解⑴因为/日'且c=所以a=2,6=k=l

2

所以椭圆C的方程为r?+>*.............3分

(2)易知椭圆C的左，右顶点坐标为A(-2,0),8(2,0),直线AS的斜率左显然

存在，且%>0

故可设直线AS的方程为y=左(》+2),从而M(-1,-3)

-y=Z(x+2)

由W%2,得(1+4/)/+16攵2%+16左2-4=0

—+y=1

16火2—4用2-81

设Sa|,y）,则(一2)再-----丁，得尤|=-----r

l+4k21\+4k2

4k2-8k2

从而必，即S(

1+4人2l+4k2

又B(2,0)，故直线BS的方程为y=(x-2)

4k

1

—y10

=-莪---

^2)3

所以N（-W,_£）,故|MN|4Z4

14一十一

XIyX-=-33k33k

北

又k>0'所以阿M等+*2件AL4

当且仅当石=战时'

即A=1时等号成立

所以Z=T线段MN的长度取最小值

8

9分

3

(3)白（】）知，当线段MN的长度取最小值时，k=T

J；匕时AS的方程为x—y+2=0,

f以14sl=华，要使ATSA的面积为L

1155

需点T到直线AS的距离等于辽,

4

T在平行于AS且与AS距离等于无

所以点的直彻上

4

-y+t=O,则由号I=孝，解得3T5

设/'：/一或r=一

22

X22,

3——+V=1

①当f=5时，由＜4•M6%2+12x+5=0

3

X-V+—

2

由于A=44>0,故直线/与椭圆C有两个不同交点

X2

②”|时,~4

由＜得51+20x+21=0由于A=-20<0,故直线/'

X一+-=0

2

与椭圆C没有交点

综上所求点T的数是2.

针对训练

22

1、若方程=l表示焦点在y轴上的椭圆，则相的取值范围是（）

帆一］2—m

、、3

C.m〈一1或lvm<2D.m<-1或1<用<二

2

22

2、椭圆］+方=1的左右焦点分别为片，鸟，点P在椭圆上，如果线段P6的中点

在y轴上，那么户同是|尸闾的（）

A3倍B.4倍C5倍D7倍

22

3、椭圆爸+卷=1上有一点M,其两焦点为片,&若/片±MF2,则\MFXF2的面

积是（）

4、若双曲线和椭圆4x2+/=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程是y=岳则

这个双曲线的方程是（）

22

5,双曲线二-右=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率

ab~

是（）

2222

6、椭圆二+4=1与双曲线二-匕=1有相同的焦点，则上的取值范围是（）

9k2k3

7、过双曲线V—事=1的右焦点厂作直线/,交双曲线于A3两点，若|A5|=4,则

这样的直线/存在（）

A1条6.2条C.3条D4条

8、焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为（）

A.x2=16y或J-16%B.y1=16%或犬2=12》

C.y2=16x^x2=-UyD.x2=]6y或y2--I2x

9、已知抛物线f=_y上一点A到准线的距离为2,则A到顶点的距离等于（）

4

10、已知抛物线V=4y的焦点/，定点A（-1,8）,P为抛物线上一动点，则|州+|尸耳

的最小值是（）

11、抛物线y=V上一点到直线2x-y-4=0的距离最短，则这一点的坐标为

（）

12、以抛物线丁=2*（〃>0）的焦半径归月为直径的圆与y轴的位置关系为（）

A.相交B.相离C.相切D.不确定

13.若点P到直线x=-l的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点尸的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

14、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,-1）的距离与点P到

抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）

A.（-,-1）B,（-,1）C.（1,2）D.（1,-2）

44

15.设椭圆Q的离心率为焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点，到

椭圆Q的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）

22222222

（A）=-弓=1（B）^-4=l（Cj-之=1（D）与-夫=1

4232132523242132122

22

16.设p是椭圆景福=1上的点.若斗鸟是椭圆的两个焦点，则附I+M等

于（）

A.4B.5C.8D.10

2［久2

17.若双曲线工-粤•=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为

3P-

(A)2(B)3(C)4(D)4&

二、填空题。

22

18、椭圆「+2=1（。＞人＞0）上一点P的横坐标为3,P到两焦点距离分别为6.5

ab

1

和3.5,贝4/=，b=o

22

19、若方程，+工=-1表示椭圆，则实数女的取值范围是_____________o

k-53-k

22

20、耳,乃分别为椭圆二+二=1的左右焦点，点「在椭圆上，APQC是面积为

a"b

月的正三角形，则/的值是。

与双曲线工-丫=1有共同的渐近线且过点

21A（2g,-3）的双曲线方程

169

为____________

22

22、双曲线工-二=1上的点P到左焦点距离为6,则这样的点有个。

412---------------

23、过点尸（4,-2）的抛物线的标准方程为o

24、边长为1的等边三角形AO8,。为原点，A3垂直于x轴，则以。为顶点且

过AB的抛物线方程是。

22

25.已知双曲线^—匚=1的离心率是由。则”=________

n12-〃

26.已知双曲线4-工=1（。〉0,6＞0）的两条渐近线方程为y=±立x,若顶点

ab-3

到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.

答案：

例题精讲：例1.-1.例2.x2+(y-l)2=10例3.8

1.D2.D3.C4.C5.D6.D7.C8.C9.C10.Cll.B12.C13.D

75

14.A15.A16.D17.C18、a2=25,Z?2；19、3<Z<5且左w4；20、

4

2后;21、空工=1；22、3；

94

23、/=8或/=_8门24、/=±-x；25.426.—-^-=1

'"644

高考链接

2222

1（10北京文）已知双曲线=-•=1的离心率为2,焦点与椭圆土-匕=1的焦

点相同，那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为o

2（05北京文）抛物线y2=4x的准线方程是；焦点坐标是.

22

3（07北京文）椭圆0+当■=l（a>b>0）的焦点为片，F,,两条准线与x轴的交

ab

点分别为N,若|MN|W2闺鸟则该椭圆离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.争

4（08北京文）“双黄线的方程为占-乙=1”是“双曲线的准线方程为x=±2"

9165

的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）即不充分也不必要条件

2

5（11北京文）已知双曲线》2一｝=1（b>0）的一条渐近线的方程为y=2x,

贝ij。.

7(11北京文)(本小题共14分)

已知椭圆6:夕+]=19＞方＞0)的离心率为手，右焦点为(2。0),斜

率为I的直线/与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P

(-3,2).

(I)求椭圆G的方程；

(II)求的面积.

8(本小题满分13分)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上，离心率

为;，且点在该椭圆上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过椭圆C的左焦点片的直线/与椭圆C相交于力、B两点，若AAO3的面积

为迷，求圆心在原点。且与直线/相，切的圆的方程.

7

答案1(±4,0)而+丁=02x=-l；(1,0)3D4A52

6解(共14分)

解：(I)因为'二逆^,且。=血，所以a==Ja?-c2=1

a3

-)

所以椭圆C的方程为士+y2=i

3.

(II)由题意知p(0,r)(—

y=t

得x=±；3(l—/)

由Vy2

—+/=1

I3)

所以圆P的半径为黄(1-r)

解得”土无所以点P的坐标是(0,±—)

22

(III)由(H)知，圆P的方程—+()一力2=3(1-*)。因为点Q(x,y)在圆P上。

所以y二r±73(1-?2)-X2<t+73(1-r2)

设/=cos0,0^(0,TT),则f+=cos0+V3sin0=2sin(^+—)

6

jr1

当。=§,即f=5，且x=0,y取最大值2.

7解：(回)由已知得c=2及,£='邑

a3

22

解得。=2"又/="一。2=4.所以椭圆G的方程为土+匕=1.

124

(0)设直线/的方程为y=x+机

y=x+m

由,—y?得

—+—=1

1124

设A、B的坐标分别为(内,必),。2，%)区<工2)出8中点为E(Xo，)o),

x,+x73mm

则♦=2一=_彳，J0=x0+w=—

因为AB是等腰回PAB的底边，

所以PE回AB.

2」

所以PE的斜率k=------一=-1.解得m=2。

-jtn

此时方程①为4x?+12x=0.解得X]=—3,/=。.所以必=一1，、2=2.

所以|AB|=3VL

止匕时，点P(-3,2)到直线AB：%—丁+2=0的距离。=匕左手