高中数学参数方程大题(带答案)

参数方程极坐标系

解答题

22(o

1.已知曲线C：三E1,直线1：Jx=2+t(t为参数)

49[y=2-2t

(I)写出曲线C的参数方程，直线1的一般方程.

(II)过曲线C上随意一点P作与1夹角为30°的直线，交1于点A,求的最大值与最小值.

考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系.

专题：坐标系和参数方程.

分析：(I)联想三角函数的平方关系可取2。、3。得曲线C的参数方程，干脆消掉参数t得直线

1的一般方程；

(II)设曲线C上随意一点P(29,36).由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离，

除以

30°进一步得到，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值.

解答：解：(I)对于曲线C：丘!1,可令20、30,

49

故曲线C的参数方程为卜=2cos8,(。为参数).

]y=3sin9

对于直线1：[x=2+t①

y=2-2t②

由①得：-2,代入②并整理得：2-6=0；

(II)设曲线C上随意一点P(29,36).

P到直线1的距图为4cos8+3sin9-61-

则|PA|=.=21|5sin(B+a)-6|，其中a为锐角•

sinSu5

当(。+a)=-1时，取得最大值，最大值为必亚.

5

当(0+a)=1时，取得最小值，最小值为2后.

5

点评：本题考查一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法,

是中档题.

2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线1的极坐标方程为:

Psin(8-工)」，曲线C的参数方程为：卜=2+2cosd(a为参数).

62(y=2sinCl

（I）写出直线1的直角坐标方程；

（II）求曲线C上的点到直线1的距离的最大值.

考点：参数方程化成一般方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，依据直线与圆的位置关系进行转化求解.

解答：解：（1）二•直线1的极坐标方程为：psin（e-2L）^1,

62

P（V30-10）=1,

222

•如11

••--V—-y——,

222

.*.x-«l=0.

（2）依据曲线C的参数方程为：产2+2cosa（0为参数）.

]y=2sinCl

得

（x-2）22=4,

它表示一个以（2,0）为圆心，以2为半径的圆，

圆心到直线的距离为：

三

2

曲线C上的点到直线1的距离的最大值心+『工

点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、与其之间的互化等学问，属于中档题.

3.已知曲线G：卜二-4+cost。为参数），c2：卜=8cos0（。为参数）.

y=3+sint|y=3sin0

（1）化G,C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若a上的点P对应的参数为汇，Q为C2上的动点，求中点M到直线a：（x=3+2t（t为参数）距

2[y=-2+t

离的最小值.

考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.

专题：计算题；压轴题；转化思想.

分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的一般方程，即可得到曲线c表示一个圆;

曲线G表示一个椭圆;

（2）把t的值代入曲线G的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为一般方程，

依据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距

离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域

即可得到距离的最小值.

解答：解：（1）把曲线G：悴-4+cost（弋为参数）化为一般方程得：（4）2+（y-3）2=1,

尸3+sint

所以此曲线表示的曲线为圆心（-4,3）,半径1的圆；

把C2：卜=8cosQ（°为参数）化为一般方程得：所以此曲线方程表述的曲线为中心

]y=3sin0649

是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8,短半轴为3的椭圆；

（2）把二代入到曲线。的参数方程得：P（-4,4）,

2

把直线C：,:F=3+2t。为参数）化为一般方程得：x-2y-7=0,

1尸-2+t

设Q的坐标为Q（8。，3。），故M（-2+4。，2卫。）

2

所以M到直线的距离McosS-13||5sin（a）-13|,（其中。=且a=J）

V5V555

从而当o=&o=一时，d取得最小值色后.

555

点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，敏捷运用点到直线的距离公式与

中点坐标公式化简求值，是一道综合题.

4.在直角坐标系中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

p=2^cos（8+?，直线1的参数方程为"a恭代为参数），直线1和圆C交于A,B两点,

P是圆C上不同于A,B的随意一点.

（I）求圆心的极坐标；

（II）求△面积的最大值.

考点：参数方程化成一般方程；简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（I）由圆C的极坐标方程为p=2«cos（8+?，化为P-2V2（乎Pcos8-掾psinB）,

把fx=Pcos6代入即可得出.

|y=Psin8

（）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再

利用弦长公式可得2户彳，利用三角形的面积计算公式即可得出.

解答：解：（I）由圆C的极坐标方程为P=2后COS（e+^）,化为

p=242（堂Pcos8-春psinB），

把卜=pcos8代入可得：圆c的一般方程为X2J220,即（x-1）2+（1）J2.

ly=Psin8

，圆心坐标为（1,-1）,

，圆心极坐标为（6,I2L）；

（II）由直线1的参数方程［K=t（t为参数），把代入-l+2&t可得直线1的一般方

1尸-1+2份

程：2V^x-y-l=0,

圆心到直线1的距离d*图二1型，

____33

•••2不7声驾，

点P直线距离的最大值为r+d=6"送四，

33

_1^VlO5V2JW5.

Sniax_233-9

点评：本题考查了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、

弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.

5.在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为［x;acos9（e为参数）.以。为极点，x轴正半轴为极

［尸sin8

轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2Pcos（8+工）求椭圆上点到直线距离的最大值和最

3

小值.

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.

专题：计算题；压轴题.

分析：由题意椭圆的参数方程为［x二行cos8（8为参数），直线的极坐标方程为

|尸sin8

2Pcos（8+工）二班.将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离

3

的最大值和最小值.

解答：解：将2Pcos（8+三）二班化为一般方程为x-病了-次年=0（4分）

3

JT

点（近cos8,sine）到直线的距离d/我c0s9-^sin8-3泥匚।粕oos（8+彳）-秒］

a-2-2

（6分）

所以椭圆上点到直线距离的最大值为2加，最小值为加.（10分）

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的区分和联系，两者要会相互转化，依据实际状况

选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.

'4

x=l+vt

6.在直角坐标系中，直线I的参数方程为5（t为参数），若以0为极点，X轴正半轴为

y=-1--ft

5

极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P后（0+三）.

4

（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；

（2）若M（x,y）是曲线C上的动点，求的最大值.

考点：参数方程化成一般方程.

专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.

分析：（1）将曲线C化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满意

的勾股定理，即可求弦长.

（2）运用圆的参数方程，设出M,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得

到最大值.

/

解答：X=1+会

解：（1）直线I的参数方程为b。（t为参数），消去t,

-1-3.

y=5t

可得，341=0；

由于PV2（6+—）=V2（—cosG）,

42

即有P2=Pe-P6,则有X*0，其圆心为（L-A）,半径为近，

222

1--2+11

圆心到百线的距离21,

V911610

故弦长为2J2_依/！-上工

°V21005

f

1+^ycos0

（2）可设圆的参数方程为：,'广（0为参数），

lAine

y=~sin

则设M6¥C°S8，-A^ine）.

则祟。sK事in0（8寸，

由于eGR,则的最大值为1.

点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义与运用,

考查学生的计算实力，属于中档题.

7.选修4-4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为

（班，*），曲线C的极坐标方程为p2+2apsin6

（I）写出点P的直角坐标与曲线C的一般方程；

（II）若Q为C上的动点，求中点M到直线1：（x=3+2t（t为参数）距离的最小值.

y=-2+t

考点：参数方程化成一般方程；简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）利用P9,P9即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出，

解答：解（1）;P点的极坐标为（/，—），

=x=/

,,Xp=2«cos^"=2V5X哼=3,yp=2V3siiry2V3~2^'

...点P的直角坐标（3,圾）

把PIP0代入p?+2apsin8=l可得x2+y2+2«y=l，即x?+（y+我）？=4

，曲线C的直角坐标方程为*2+（96）2=4.

（2）曲线C的参数方程为卜;2COS8（o为参数），直线1的一般方程为x-2y-7=0

y=-V3+2sin6

设Q（2cos8,-73+2sin9）,则线段的中点M（1+cos8,sin9）•

则点M到直线1的距离

|^+cos0-2sin0-7||cos0-2sin6-号|粕sin（8-。）+曰-在_|J^H遥

d==示=示'>V52=105f

...点M到直线1的最小距离为三近-1.

10

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦

公式、三角函数的单调性等基础学问与基本技能方法，考查了计算实力，属于中档题.

8.在直角坐标系中，圆C的参数方程户/cos©（6为参数）.以。为极点，x轴的非负半轴为极轴

[尸sin©

建立极坐标系.

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）直线1的极坐标方程是P（6+V3COS0）=3«,射线：9=汇与圆C的交点为0,P,与直线1

3

的交点为Q,求线段的长.

考点：简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.

专题：直线与圆.

分析：（I）圆C的参数方程卜=l+cos®（6为参数）.消去参数可得：（X-1）22=1.把P。，P9

ly=sin0

代入化简即可得到此圆的极坐标方程.

（）由直线1的极坐标方程是P（0+逐cos8）=3«,射线：e=2£.可得一般方程：直线

3

ly+V3x=3V3.射线尸Ex.分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.

解答：解：（I）圆C的参数方程卜=l+c%©（6为参数）.消去参数可得：（x-1）22」.

[y=sin©

把P0,P6代入化简得：p=20,即为此圆的极坐标方程.

（）如图所示，由直线1的极坐标方程是P（0+遮cos8）=3«,射线：0=汇.

3

可得一般方程：直线ly+«x=W5，射线打百x.

y+«x=W5,解得,会即哆/

联立Q

y=V3x

-2

1

x=2

联立解得x=°或.

尸0乐

7—I哈竽⑵

点评：本题考查了极坐标化为一般方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距

离公式等基础学问与基本方法，属于中档题.

9.在直角坐标系中，曲线G的参数方程为卜(0为参数)，以原点0为极点，x轴正半轴

|y=sinCt

为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P(0+2L)=472.

4

(1)求曲线G的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P为曲线G上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极

坐标的互化公式P0、P0,把极坐标方程化为直角坐标方程.

(2)求得椭圆上的点P(V3coSa,Sina)到直线-8=0的距离为

TT

—

Irrn,rr_QI12sin("'l■—-)8|

|竟cosa警na_81=--------3------,可得d的最小值，以与此时的a的值，从而求

V2V2

得点P的坐标.

解答：解：(1)由曲线可得房cos。，两式两边平方相加得：(;)2+2

IosinaV3

I厂sina

即曲线G的一般方程为：1+y2=i.

由曲线C2：psin(8+5)=4^得：掾P(sin8+cos8)=4&，

即p9+p8=8,所以-8=0,

即曲线心的直角坐标方程为：-8=0.

(2)由(1)知椭圆G与直线C2无公共点，椭圆上的点P(V3coSa,sina)到直线-8=0的

TT—

距离为1Irr*pr*.•3°Q8I112sin=381,

V2V2

,当sin（a+三）=1时，d的最小值为班，此时点P的坐标为（W,1）.

322

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用,

正弦函数的值域，属于基础题.

‘X西

10.已知直线1的参数方程是「?-（t为参数），圆C的极坐标方程为p=2（0+2£）.

击t+啦4

（I）求圆心C的直角坐标；

（II）由直线1上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：（I）先利用三角函数的和角公式绽开圆c的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间

的关系，即利用P。，P。，P222,进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直

角坐标.

（）欲求切线长的最小值，转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系

中算出直线1上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小

值即可.

解答：解：⑴vP=V2COSe-V2sin9,：.p2=^pcos9-V2Psin0«

...圆C的直角坐标方程为x2+y2_立乂+正尸0，

即（x-掾）2+（9春）2口，.♦.圆心直角坐标为吗,一春）.（5分）

（）二•直线1的一般方程为x-rK&=0,

圆心C到直线1距离是上爱卫20=5，

V2

，直线1上的点向圆C引的切线长的最小值是庐不=2加＜10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐

标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化.

11.在直角坐标系中，以。为极点，X轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的参数方程为x=t,（t

ly=at

为参数），曲线G的方程为P（P-40）=12,定点A（6,0）,点P是曲线C上的动点，Q为的中点.

（1）求点Q的轨迹G的直角坐标方程；

（2）直线1与直线G交于A,B两点，若求实数a的取值范围.

考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）首先，将曲线G化为直角坐标方程，然后，依据中点坐标公式，建立关系，从而确定点

Q的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）首先，将直线方程化为一般方程，然后，依据距离关系，确定取值范围.

解答：解：（1）依据题意，得

曲线C的直角坐标方程为：x22-412,

设点P（x'，y'）,Q（x,y）,

依据中点坐标公式，得

*=2x-6,代入代_412,

y'=2y

得点Q的轨迹C?的直角坐标方程为：（x-3）2+（y-1）2=4,

（2）直线1的一般方程为：，依据题意，得

4

点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等学问，考查比较综

合，属于中档题，解题关键是精确运用直线和圆的特定方程求解.

12.在直角坐标系中以0为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C”直线C2的极坐标方程分别为

P=4。，P（9--）=2名.

4

（I）求G与C2交点的极坐标；

（II）设P为G的圆心，Q为G与C2交点连线的中点，已知直线的参数方程为x::（t@R为参

理t+1

数），求a,b的值.

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成一般方程.

专题：压轴题；直线与圆.

分析：（I）先将圆G,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最终化

成极坐标即可；

（）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0,2）,（1,3）,从而直线的直角坐标方程为x-2=0,

由参数方程可得上-生+1,从而构造关于a,b的方程组，解得a,b的值.

22

解答：解：（I）圆C,直线G的直角坐标方程分别为x2+（y-2）2=4,-4=0,

解卜2+—2）2=4得或（x=2,

x+y-4=0Iy=4l尸2

•••G与&交点的极坐标为（4,2£）.（2加,Z）.

24

（）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0,2）,（1,3）,

故直线的直角坐标方程为x-2=0,

由参数方程可得上-生+1,

22

心，

-当1=2

解得-1，2.

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的

应用，属于基础题.

13.在直角坐标系中，1是过定点P（4,2）且倾斜角为a的直线；在极坐标系（以坐标原点0为极

点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为P=4。

(I)写出直线1的参数方程，并将曲线c的方程化为直角坐标方程;

(II)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求的取值范围.

解答：解：(I)直线1的参数方程为，x=4+tcosa(t为参数).

y=2+tsinCl

曲线C的极坐标方程p=40可化为P2=4pe.

把P9,pe代入曲线C的极坐标方程可得X22=4X,即(X-2)22=4.

()把直线1的参数方程为卜=4+乜。50«为参数)代入圆的方程可得：t2+4(aa)4=0.

尸2+tsinJ

•.•曲线C与直线相交于不同的两点M、N,

.•.△=16(aa)2-16>0,

aa>0,又a£[0,n),

a€(o,3)•

又tl2--4(aa),tit?=4.

.♦.12124aa(a+2L),

•••a£(o,孕一••(a4)£勺,平)，

•*,sin(a+?)€1!•

I.的取值范围是(4,

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.

x=3+^t

14.在直角坐标系中，直线1的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，OC的极坐标方程为P=2«0.

(I)写出。C的直角坐标方程；

(II)P为直线1上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.

考点：点的极坐标和直角坐标的互化.

专题：坐标系和参数方程.

分析：(I)由。C的极坐标方程为P=2«0.化为p2=2仃PsinO,把［pJx2+y2代入即可得出；.

尸Psin©

()设P冬)，又C(0,«).利用两点之间的距离公式可得式而，再利用二次

函数的性质即可得出.

解答：解：（I）由。c的极坐标方程为p=2«e.

/.P2=2VsPsin9,化为x%2yv，

配方为x2+（y-«）2=3.

O设P（3专,冬），又C（0,V3）,

J（3+|t）+（率-向）2々+12*2«,

因此当0时，取得最小值2T.此时P（3,0）.

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性

质，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.

15.已知曲线3的极坐标方程为P=6。，曲线C2的极坐标方程为。=汇（p£R）,曲线C”G相交于

4

A,B两点.

（I）把曲线c,a的极坐标方程转化为直角坐标方程；

di）求弦的长度.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用P6,P6,P222,进行代换即得曲线C2与曲

线G的直角坐标方程.

（II）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3,0）到直线的距离，最终结合点到直线的距

离公式弦的长度.

解答：解：（I）曲线C2：（P@R）

表示直线，

曲线Ci：P=60,即pJ6po

所以x22=6x即（x-3）22=9

（II）•.•圆心（3,0）到直线的距离d考，

3所以弦长

・••弦的长度班.

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以与利用圆的几何性质计算圆

心到直线的距等基本方法，属于基础题.

16.在直角坐标系中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的极坐标方程为P（9+2£）

=返，圆C的参数方程为，,（0为参数，r>0）

（I）求圆心C的极坐标；

（II）当r为何值时，圆C上的点到直线1的最大距离为3.

考点：简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.

专题：计算题.

分析：（1）利用两角差的余弦公式与极坐标与直角坐标的互化公式可得直线1的一般方程；利用同

角三角函数的基本关系，

消去6可得曲线C的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.

（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，与正弦函数的有界性求