初中八年级数学重点学习课件：矩形（测试）（解析版）

专题08矩形

专题测试

1.（2018春•遵义期末）如图，矩形A8CQ的对角线AC和8。相交于点。，过点。的直线分别交A。和8c

于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】解：•.•矩形ABCD的对角线AC和8n相交于点O,

二四边形ABFE里面的空白三角形的面积和四边形EDCF中阴影三角形的面积相等.

二求阴影部分的面积可看成求四边形A8FE的面积.

阴影部分的面积为：（2X3）+2=3.

故选：A.

2.（2018春•营山县期末）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、

G、〃四点，则四边形EFGH为（）

【答案】C

【解析】解：由题意知，HG//EF//AC,EH//FG//BD,HG=EF=AC,EH=FG=BD,

：.四边形EFGH是平行四边形，

•••矩形的对角线相等，

：.AC=BD,

：.EH=HG,

,平行四边形EFG”是菱形.

故选：C.

3.（2018春•南岗区期末）已知矩形ABCD中，如图，对角线AC、8。相交于。，AE_LB£＞于E,若/D4E：

A.22.5°B.30°C.45°D.35°

【答案】C

【解析】解：•••四边形A8co是矩形，

二/54。=90°,OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

VZDAE；NBAE=3：1,

3

=—X

AZDAE490。=67.5°,

'：AE±BD,

：.ZAED=90°,

：.ZOAD=+ODA=22.5a,

；./EAC=67.5°-22.5°=45°.

故选：C.

4.（2018春•丹阳市期末）如图，在矩形中，N8A。的平分线交8c于点E,交。C的延长线于点F,

取E尸的中点G,连接CG、BG、DG,下列结论中错误的是（）

A.BC=DFB.△OCG畛Z\BGCC./\DFG^/\BCGD.AC：BG=*：I

【答案】B

【解析】解：4、；四边形A8C。是矩形，

：.BC=AD,NBAQ=NAOC=90°,

平分/BAD,

：.ZBAE=ZDAF=45Q,

••.△4。尸是等腰直角三角形，

：.DF=AD,

；・BC=DF,

故选项4正确；

B、RlZ\MC中，;G是的中点,

:.CG=FG=EG,

u：ZCEF=ZFCG=45°

：.ZBEG=ZDCG

,:BE=CD

：./\DCG^/\BEG

故选项8错误；

C、•:FG=CG,

：.ZAFD=ZFCG=450,

u：ZBCF=90°,

：.ZBCG=45°,

:.ZBCG=NDFG,

•；BC=DF,

/.△DGF^ABGC,

故选顶C正确；

D、连接8。二•四边形ABC。是矩形,

：.AC=BDf

■:/\DCG</\BEG,

:,DG=BG,/CGD=NEGB,

：.ZCGD+ZAGD=ZEGB+ZAGD=90a,

••.△DGB是等腰直角三角形，

:.BD=*BG,

:.AC=*BG,

：.AC：BG=&1,

故选项C正确；

本题选择结论中错误的选项，

故选：B.

5.（2018春•德阳期末）如图，在矩形ABC。中，M是BC边上一点，连接AM,DM.过点。作。

垂足为£若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为（）

【答案】D

【解析】解：；四边形A8C。是矩形，

：.AB=DC^\,N3=NC=90°,AD//BC,AD=BC,

：.ZDAE,

'：DE=DC,

：.AB=DE,

■JDELAM,

.•./OE4=NDEM=90°,

在△A8W和△£>"中，

fZ.AMB=Z.DAE

\^B=^DEA=90°

[AB=DE,

(AAS),

：.AM=AD,

9：AE=2EM,

：.BC=AD=3EM,

(DM=DM

在RtADEM和RtADCM中，｛DE=DC,

：.Rt/\DEM^Rt/\DCM(HL),

：.EM=CM,

：.BC=3CM,

设EM=CM=x,则8M=2x,AM=BC=3x,

在RlZVlBM中，由勾股定理得：P+(2x)2=(3x)2,

=75

解得：x5,

：.BM5；

故选：D.

6.(2018春•哪城区期末)在四边形ABCD中，AC,BD交于点O,在下列各组条件中，不能判定四边形

ABCQ为矩形的是()

A.AB=CD,AD=BC,AC=BD

B.AO=CO,BO=DO,ZA=90°

C./A=/C,ZB+ZC=180°,ACA.BD

D.ZA=ZB=90",AC=BD

【答案】C

【解析】解：：A3=CZ),AD=BC,

四边形488是平行四边形，

y.'：AC=BD,

四边形A8CO是矩形，

正确；

'：AO=CO,BO=DO,

四边形ABCD是平行四边形，

又•.•乙4=90°,

四边形A8C。是矩形，

正确；

VZZ?+ZC=180°,

：.AB//DC,

/4=/C,

.,.Zfi+ZA=180°,

：.AI)//BC,

四边形ABCD是平行四边形,

又；ACLBD,

四边形A8CO是菱形，

■,-C不正确；

VZA=ZB=90°,

.•./A+N8=180°,

：.AD//BC,如图所示：

(AC=BD

[AB=AB,

：.Rt/\ABC^Rt/\BAD(HL),

：.BC=AD,

...四边形ABCD是平行四边形，

又；NA=90°,

四边形ABC。是矩形，

二。正确；

故选：C.

7.(2018春•江油市期末)如图，在矩形A2CD中，BC=20a〃，点尸和点。分别从点8和点。出发，按

逆时针方向沿矩形ABC。的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cMs,则最快—s后，四边形

ABPQ成为矩形.

【答案】4

【解析】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由8P=A。得

3x=20-2x.

解得x=4,

故答案为：4.

8.（2018春•金牛区期末）如图，在矩形A3CD中，BC=*AB,/AOC的平分线交边BC于点E,AHL

OH

DE于点、H,连接C”并延长交边A8于点F,连接AE交CF于点。，则/E的值是.

【答案】2

【解析】解：在矩形ABC3中，AD=BC=^AB=WCD,

'：DE平分NAOC,

...NA£）E=NCDE=45°,

'：AHLDE,

△AOH是等腰直角三角形，

：.AD=^AB,

：.AH=AB=CD,

/\DEC是等腰直角三角形，

/.DE=*CD,

：.AD=DE,

：.ZA£W=67.5°,

AZE/477=22.5°,

,:DH=CD,ZEDC=45°,

：.ZDHC=61.5Q,

・・・N0/74=22.5°,

；・N0AH=N0HA,

：.OA=OHf

：.ZAEH=ZOHE=61.5°,

:.OH=OE,

_1OH_1

OH2A，即"E2.

1

故答案为：2.

9.（2018春•崇州市期末）如图，矩形A8CD中，A8=2,AD=1,点M在边CQ上，若AM平分NOMB,

【答案】2Y

【解析】解：过点A作AEL8M于E

:四边形ABC。是矩形

：.AD=BC^\,CD=AB=2,

平分/DW8

AZAMD=ZAMB,且AM=AM,ZADM=AAEM,

：./\ADM^AAME,

：.DM=ME,AD=AE=1,

在Rt&EB中，

:.ME=2一邪=DM,

故答案为2一丑

10.(2018春•呼和浩特期末)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形048c是长方形，点4、

C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点。是0A的中点，点P在BC边上运动，当△AOP为等腰三

角形时，点P的坐标为.

【答案】(2,4),(8,4),(7,4),(7.5,4)

【解析】解：当PD=DA,

如图：以O为圆心AD长为半径作圆，与BD交P点,产点

•四边形。48c是长方形，点4、C的坐标分别为4(10,0)、C(0,4),

.,.AD=PD=5,PE=PF=4

22

根据勾股定理得：DE=DF=^PD-DE=3

：.P(2,4),P'(8,4)

若AO=AP=5,同理可得P(7,4)

若夕。=以，则P在A4的垂直平分线上,

：.P(7.5,4)

故答案为(2,4),(8,4),(7,4),(7.5,4)

11.(2018春•宜宾期末)如图，尸是矩形ABC。的边AO上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6

和8,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是.

【答案】4.8

•••矩形的两条边A&BC的长分别为6和8,

.".SABCD-AB-BC^4S,0A=OC,OB=OD,AC=BZ)=d力标+BC?=I。，

W

.\OA=OD=5,

S^AOD2s△ACO=12,

11115

一-I-------=__v4-一v=__

,/S^AOD^SMOP+S^DOP^-OA'PE2OD，PF25XPE25乂PF2(PE+PF)=12,

解得：PE+PF=4.8.

故答案为:4.8.

12.(2018春•庐江县期末)如图，在RZiABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,点尸是A8上的一个动点,

过点P作尸M_LAC于点M,PNLBC于点、N,连接MN,则MN的最小值为.

CNB

VZC=90°,AC=3,BC=4,

.,.AB=J4c2+BC==舟+M=5,

'：PMVAC,PNLBC,NC=90°,

四边形CNPM是矩形，

：.MN=CP,

由垂线段最短可得CPrAB时，线段MN的值最小,

此时，SMHC28c•AC2A8,CP,

11

—X=—X

即24X325•CP,

解得CP=2A.

故答案为：2.4.

13.（2018春•定州市期末）如图，。是矩形ABCQ的对角线AC的中点，M是AQ的中点，若AB=5,AD

=12,求四边形ABOM的周长.

【解析】解：是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AO的中点，

_1_1

：.OM2co248=2.5,

"：AB=5,AD=12,

，AC=6+M=i3,

,/O是矩形ABCD的对角线AC的中点，

_1

：.B02AC=6.5,

四边形ABOM的周长为A8+AM+8O+OM=5+6+6.5+2.5=20.

14.（2018春•房山区期末）如图，AC是矩形A8CZ）的对角线，AE平分/BAC交8c于点E,已知48=3,

BC=4.求BE的长.

【答案】1.5

【解析】解：作EFLAC于点F,如下图所示,

D

：AC是矩形ABC。的对角线，AE平分NBAC交8C于点E,AB=3,8c=4,

:.BE=EF,4C=5,

设EF=x,贝ljBE=x,EC=4-x,

5x(4-%)x3

••2，

解得，x=1.5,

即BE的长是1.5.

15.(2018春•镇海区期末)如图，在矩形ABC。中，AB=4,4。=10,点E在A。边上，已知8、E两点

关于直线/对称，直线/分别交A。、BC边于点M、N,连接BM、NE.

(1)求证：四边形8MEN是菱形；

(2)若DE=2,求NC的长.

【答案】见解析

【解析】解：(1)证明：:B、E两点关于直线/对称,

：.BM=ME,BN=NE,NBMN=NEMN,

在矩形A8CC中，AD//BC,

：.NEMN=/MNB,

：.NBMN=NMNB,

:.BM=BN,

:.BM=ME=BN=NE,

四边形ECBF是菱形.

(2)设菱形边长为x,

则AM=8-x,

在RtZXA8M中,42+(8-x)2=^.

二解得：x=5.

：.NC=5.

16.(2018春•来宾期末)如图，在矩形A8C。中，AD>AB,过对角线的中点。作8。的垂线EF,交AD

于点E,交5c于点F.

(1)求证：四边形8即尸是菱形；

(2)若AB=3,AD=4,求AE的长.

【答案】见解析

【解析】(1)证明：•••四边形A3CQ是矩形，

J.AD//BC,

：.ZEDB=ADBF,ZDEF=NBFE,

在△EQ。和△FB。中，

zEDB=乙DBF

乙DEF=Z.BFE

,DO=BO,

：./\EDO^/\FBO(AA5),

：.EO=FO,

...四边形OEBF是平行四边形，

XVDE±EF,

平行四边形OEB尸是菱形；

(2)设AE=x,则BE=QE=4-x,而AB=3,

在RtZ\4E8中，根据勾股定理8E2=AE2+AB2,

(4-x)2=X2+32,

_7

解得「8,

_7

：.AE8.

17.(2018春•长宁区期末)如图，在aABC中，AD.BE分另U是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点、O,

点F、G分别是B。、A。的中点，联结EG、GF、FD.

(1)求证：FG//DE-,

(2)若AC=BC,求证：四边形EDFG是矩形.

【答案】见解析

【解析】解：(1)'：AD.8E分别是边BC、AC上的中线,

是AA8c的中位线，

_1

：.DE//ABiLDE2AB.

;点F、G分别是80、AO的中点,

是△O4B的中位线，

1

：.FG//ABiLFG2AB.

J.GF//DE.

(2)由(1)GF//DE,GF=DE

四边形EDFG是平行四边形.

'：AD.BE是BC、AC上的中线，

_1_1

：.CD?BC,CE24c.

又•；AC=8C,

：.CD=CE.

(AC=BC

LC—Z-C

在△ACO和aBCE中，1CO=CE,

.,.△XCD^ABCE,

：.ZCAfi=ZCBA.

\'AC=BC,

：.ZCAB^ZCBA,

：.ZDAB^ZEBA,

，08=0A.

1,点RG分别是08、40的中点，

_1_1

.".OF2。8,OG2。4，

：.OF=OG,

：.EF=DG,

四边形E£＞尸G是矩形.

18.(2018春•宽城区期末)如图△ABC中，点。是边AC上一个动点，过。作直线MN〃BC.设MN交/

ACB的平分线于点E,交NAC8的外角平分线于点凡

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=4,CF=3,求0C的长；

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AEC尸是矩形？并说明理由.

【解析】解：(1)证明：交/AC8的平分线于点E,交NAC8的外角平分线于点尸,

.♦./2=N5,N4=/6,

":MN〃BC,

AZ1=Z5,Z3=Z6,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

:.EO=CO,FO=COf

：.OE=OF；

（2）VZ2=Z5,N4=N6,

・・・N2+N4=N5+/6=90°,

VCE=4,CF=3,

.♦.EF=，42+32=5,

_1_5

，0C?EF2.

（3）当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AEC尸是矩形.

证明：当。为AC的中点时，AO=CO,

"：EO=FO,

四边形AECF是平行四边形，

；NEC尸=90°,

平行四边形AECF是矩形.

19.（2018春•太仓市期末）已知：如图，在四边形ABCQ中，A6=3CD,AB//CD,CE//DA,DF//CB.

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形：

（2）填空：

①当四边形ABC。满足条件时（仅需一个条件），四边形CDE尸是矩形；

②当四边形A8C。满足条件时（仅需一个条件），四边形CDEF是菱形.

【答案】见解析

【解析】解：（1）证明：'：AB//CD,CE//AD,DF//BC,

：.四边形AECZ）和四边形BFDC都是平行四边形，

：.AE^CD^FB,

■：AB=3CD,

：.EF=CD,

四边形CDEF是平行四边形.

(2)①当AQ=8C时，四边形EFCO是矩形.

理由：：四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形,

：.EC=AD,DF=BC,

：.EC=DF,