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文档简介
专题08矩形
专题测试
1.(2018春•遵义期末)如图,矩形A8CQ的对角线AC和8。相交于点。,过点。的直线分别交A。和8c
于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【解析】解:•.•矩形ABCD的对角线AC和8n相交于点O,
二四边形ABFE里面的空白三角形的面积和四边形EDCF中阴影三角形的面积相等.
二求阴影部分的面积可看成求四边形A8FE的面积.
阴影部分的面积为:(2X3)+2=3.
故选:A.
2.(2018春•营山县期末)如图,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线,分别相交于E、F、
G、〃四点,则四边形EFGH为()
【答案】C
【解析】解:由题意知,HG//EF//AC,EH//FG//BD,HG=EF=AC,EH=FG=BD,
:.四边形EFGH是平行四边形,
•••矩形的对角线相等,
:.AC=BD,
:.EH=HG,
,平行四边形EFG”是菱形.
故选:C.
3.(2018春•南岗区期末)已知矩形ABCD中,如图,对角线AC、8。相交于。,AE_LB£>于E,若/D4E:
A.22.5°B.30°C.45°D.35°
【答案】C
【解析】解:•••四边形A8co是矩形,
二/54。=90°,OA=OD,
:.ZOAD=ZODA,
VZDAE;NBAE=3:1,
3
=—X
AZDAE490。=67.5°,
':AE±BD,
:.ZAED=90°,
:.ZOAD=+ODA=22.5a,
;./EAC=67.5°-22.5°=45°.
故选:C.
4.(2018春•丹阳市期末)如图,在矩形中,N8A。的平分线交8c于点E,交。C的延长线于点F,
取E尸的中点G,连接CG、BG、DG,下列结论中错误的是()
A.BC=DFB.△OCG畛Z\BGCC./\DFG^/\BCGD.AC:BG=*:I
【答案】B
【解析】解:4、;四边形A8C。是矩形,
:.BC=AD,NBAQ=NAOC=90°,
平分/BAD,
:.ZBAE=ZDAF=45Q,
••.△4。尸是等腰直角三角形,
:.DF=AD,
;・BC=DF,
故选项4正确;
B、RlZ\MC中,;G是的中点,
:.CG=FG=EG,
u:ZCEF=ZFCG=45°
:.ZBEG=ZDCG
,:BE=CD
:./\DCG^/\BEG
故选项8错误;
C、•:FG=CG,
:.ZAFD=ZFCG=450,
u:ZBCF=90°,
:.ZBCG=45°,
:.ZBCG=NDFG,
•;BC=DF,
/.△DGF^ABGC,
故选顶C正确;
D、连接8。二•四边形ABC。是矩形,
:.AC=BDf
■:/\DCG</\BEG,
:,DG=BG,/CGD=NEGB,
:.ZCGD+ZAGD=ZEGB+ZAGD=90a,
••.△DGB是等腰直角三角形,
:.BD=*BG,
:.AC=*BG,
:.AC:BG=&1,
故选项C正确;
本题选择结论中错误的选项,
故选:B.
5.(2018春•德阳期末)如图,在矩形ABC。中,M是BC边上一点,连接AM,DM.过点。作。
垂足为£若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为()
【答案】D
【解析】解:;四边形A8C。是矩形,
:.AB=DC^\,N3=NC=90°,AD//BC,AD=BC,
:.ZDAE,
':DE=DC,
:.AB=DE,
■JDELAM,
.•./OE4=NDEM=90°,
在△A8W和△£>"中,
fZ.AMB=Z.DAE
\^B=^DEA=90°
[AB=DE,
(AAS),
:.AM=AD,
9:AE=2EM,
:.BC=AD=3EM,
(DM=DM
在RtADEM和RtADCM中,{DE=DC,
:.Rt/\DEM^Rt/\DCM(HL),
:.EM=CM,
:.BC=3CM,
设EM=CM=x,则8M=2x,AM=BC=3x,
在RlZVlBM中,由勾股定理得:P+(2x)2=(3x)2,
=75
解得:x5,
:.BM5;
故选:D.
6.(2018春•哪城区期末)在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形
ABCQ为矩形的是()
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,ZA=90°
C./A=/C,ZB+ZC=180°,ACA.BD
D.ZA=ZB=90",AC=BD
【答案】C
【解析】解::A3=CZ),AD=BC,
四边形488是平行四边形,
y.':AC=BD,
四边形A8CO是矩形,
正确;
':AO=CO,BO=DO,
四边形ABCD是平行四边形,
又•.•乙4=90°,
四边形A8C。是矩形,
正确;
VZZ?+ZC=180°,
:.AB//DC,
/4=/C,
.,.Zfi+ZA=180°,
:.AI)//BC,
四边形ABCD是平行四边形,
又;ACLBD,
四边形A8CO是菱形,
■,-C不正确;
VZA=ZB=90°,
.•./A+N8=180°,
:.AD//BC,如图所示:
(AC=BD
[AB=AB,
:.Rt/\ABC^Rt/\BAD(HL),
:.BC=AD,
...四边形ABCD是平行四边形,
又;NA=90°,
四边形ABC。是矩形,
二。正确;
故选:C.
7.(2018春•江油市期末)如图,在矩形A2CD中,BC=20a〃,点尸和点。分别从点8和点。出发,按
逆时针方向沿矩形ABC。的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cMs,则最快—s后,四边形
ABPQ成为矩形.
【答案】4
【解析】解;设最快x秒,四边形ABPQ成为矩形,由8P=A。得
3x=20-2x.
解得x=4,
故答案为:4.
8.(2018春•金牛区期末)如图,在矩形A3CD中,BC=*AB,/AOC的平分线交边BC于点E,AHL
OH
DE于点、H,连接C”并延长交边A8于点F,连接AE交CF于点。,则/E的值是.
【答案】2
【解析】解:在矩形ABC3中,AD=BC=^AB=WCD,
':DE平分NAOC,
...NA£)E=NCDE=45°,
':AHLDE,
△AOH是等腰直角三角形,
:.AD=^AB,
:.AH=AB=CD,
/\DEC是等腰直角三角形,
/.DE=*CD,
:.AD=DE,
:.ZA£W=67.5°,
AZE/477=22.5°,
,:DH=CD,ZEDC=45°,
:.ZDHC=61.5Q,
・・・N0/74=22.5°,
;・N0AH=N0HA,
:.OA=OHf
:.ZAEH=ZOHE=61.5°,
:.OH=OE,
_1OH_1
OH2A,即"E2.
1
故答案为:2.
9.(2018春•崇州市期末)如图,矩形A8CD中,A8=2,AD=1,点M在边CQ上,若AM平分NOMB,
【答案】2Y
【解析】解:过点A作AEL8M于E
:四边形ABC。是矩形
:.AD=BC^\,CD=AB=2,
平分/DW8
AZAMD=ZAMB,且AM=AM,ZADM=AAEM,
:./\ADM^AAME,
:.DM=ME,AD=AE=1,
在Rt&EB中,
:.ME=2一邪=DM,
故答案为2一丑
10.(2018春•呼和浩特期末)如图,在平面直角坐标系中,。为坐标原点,四边形048c是长方形,点4、
C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点。是0A的中点,点P在BC边上运动,当△AOP为等腰三
角形时,点P的坐标为.
【答案】(2,4),(8,4),(7,4),(7.5,4)
【解析】解:当PD=DA,
如图:以O为圆心AD长为半径作圆,与BD交P点,产点
•四边形。48c是长方形,点4、C的坐标分别为4(10,0)、C(0,4),
.,.AD=PD=5,PE=PF=4
22
根据勾股定理得:DE=DF=^PD-DE=3
:.P(2,4),P'(8,4)
若AO=AP=5,同理可得P(7,4)
若夕。=以,则P在A4的垂直平分线上,
:.P(7.5,4)
故答案为(2,4),(8,4),(7,4),(7.5,4)
11.(2018春•宜宾期末)如图,尸是矩形ABC。的边AO上一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为6
和8,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是.
【答案】4.8
•••矩形的两条边A&BC的长分别为6和8,
.".SABCD-AB-BC^4S,0A=OC,OB=OD,AC=BZ)=d力标+BC?=I。,
W
.\OA=OD=5,
S^AOD2s△ACO=12,
11115
一-I-------=__v4-一v=__
,/S^AOD^SMOP+S^DOP^-OA'PE2OD,PF25XPE25乂PF2(PE+PF)=12,
解得:PE+PF=4.8.
故答案为:4.8.
12.(2018春•庐江县期末)如图,在RZiABC中,NC=90°,AC=3,BC=4,点尸是A8上的一个动点,
过点P作尸M_LAC于点M,PNLBC于点、N,连接MN,则MN的最小值为.
CNB
VZC=90°,AC=3,BC=4,
.,.AB=J4c2+BC==舟+M=5,
':PMVAC,PNLBC,NC=90°,
四边形CNPM是矩形,
:.MN=CP,
由垂线段最短可得CPrAB时,线段MN的值最小,
此时,SMHC28c•AC2A8,CP,
11
—X=—X
即24X325•CP,
解得CP=2A.
故答案为:2.4.
13.(2018春•定州市期末)如图,。是矩形ABCQ的对角线AC的中点,M是AQ的中点,若AB=5,AD
=12,求四边形ABOM的周长.
【解析】解:是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AO的中点,
_1_1
:.OM2co248=2.5,
":AB=5,AD=12,
,AC=6+M=i3,
,/O是矩形ABCD的对角线AC的中点,
_1
:.B02AC=6.5,
四边形ABOM的周长为A8+AM+8O+OM=5+6+6.5+2.5=20.
14.(2018春•房山区期末)如图,AC是矩形A8CZ)的对角线,AE平分/BAC交8c于点E,已知48=3,
BC=4.求BE的长.
【答案】1.5
【解析】解:作EFLAC于点F,如下图所示,
D
:AC是矩形ABC。的对角线,AE平分NBAC交8C于点E,AB=3,8c=4,
:.BE=EF,4C=5,
设EF=x,贝ljBE=x,EC=4-x,
5x(4-%)x3
••2,
解得,x=1.5,
即BE的长是1.5.
15.(2018春•镇海区期末)如图,在矩形ABC。中,AB=4,4。=10,点E在A。边上,已知8、E两点
关于直线/对称,直线/分别交A。、BC边于点M、N,连接BM、NE.
(1)求证:四边形8MEN是菱形;
(2)若DE=2,求NC的长.
【答案】见解析
【解析】解:(1)证明::B、E两点关于直线/对称,
:.BM=ME,BN=NE,NBMN=NEMN,
在矩形A8CC中,AD//BC,
:.NEMN=/MNB,
:.NBMN=NMNB,
:.BM=BN,
:.BM=ME=BN=NE,
四边形ECBF是菱形.
(2)设菱形边长为x,
则AM=8-x,
在RtZXA8M中,42+(8-x)2=^.
二解得:x=5.
:.NC=5.
16.(2018春•来宾期末)如图,在矩形A8C。中,AD>AB,过对角线的中点。作8。的垂线EF,交AD
于点E,交5c于点F.
(1)求证:四边形8即尸是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求AE的长.
【答案】见解析
【解析】(1)证明:•••四边形A3CQ是矩形,
J.AD//BC,
:.ZEDB=ADBF,ZDEF=NBFE,
在△EQ。和△FB。中,
zEDB=乙DBF
乙DEF=Z.BFE
,DO=BO,
:./\EDO^/\FBO(AA5),
:.EO=FO,
...四边形OEBF是平行四边形,
XVDE±EF,
平行四边形OEB尸是菱形;
(2)设AE=x,则BE=QE=4-x,而AB=3,
在RtZ\4E8中,根据勾股定理8E2=AE2+AB2,
(4-x)2=X2+32,
_7
解得「8,
_7
:.AE8.
17.(2018春•长宁区期末)如图,在aABC中,AD.BE分另U是边BC、AC上的中线,AD与BE交于点、O,
点F、G分别是B。、A。的中点,联结EG、GF、FD.
(1)求证:FG//DE-,
(2)若AC=BC,求证:四边形EDFG是矩形.
【答案】见解析
【解析】解:(1)':AD.8E分别是边BC、AC上的中线,
是AA8c的中位线,
_1
:.DE//ABiLDE2AB.
;点F、G分别是80、AO的中点,
是△O4B的中位线,
1
:.FG//ABiLFG2AB.
J.GF//DE.
(2)由(1)GF//DE,GF=DE
四边形EDFG是平行四边形.
':AD.BE是BC、AC上的中线,
_1_1
:.CD?BC,CE24c.
又•;AC=8C,
:.CD=CE.
(AC=BC
LC—Z-C
在△ACO和aBCE中,1CO=CE,
.,.△XCD^ABCE,
:.ZCAfi=ZCBA.
\'AC=BC,
:.ZCAB^ZCBA,
:.ZDAB^ZEBA,
,08=0A.
1,点RG分别是08、40的中点,
_1_1
.".OF2。8,OG2。4,
:.OF=OG,
:.EF=DG,
四边形E£>尸G是矩形.
18.(2018春•宽城区期末)如图△ABC中,点。是边AC上一个动点,过。作直线MN〃BC.设MN交/
ACB的平分线于点E,交NAC8的外角平分线于点凡
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=4,CF=3,求0C的长;
(3)当点。在边AC上运动到什么位置时,四边形AEC尸是矩形?并说明理由.
【解析】解:(1)证明:交/AC8的平分线于点E,交NAC8的外角平分线于点尸,
.♦./2=N5,N4=/6,
":MN〃BC,
AZ1=Z5,Z3=Z6,
AZ1=Z2,Z3=Z4,
:.EO=CO,FO=COf
:.OE=OF;
(2)VZ2=Z5,N4=N6,
・・・N2+N4=N5+/6=90°,
VCE=4,CF=3,
.♦.EF=,42+32=5,
_1_5
,0C?EF2.
(3)当点。在边AC上运动到AC中点时,四边形AEC尸是矩形.
证明:当。为AC的中点时,AO=CO,
":EO=FO,
四边形AECF是平行四边形,
;NEC尸=90°,
平行四边形AECF是矩形.
19.(2018春•太仓市期末)已知:如图,在四边形ABCQ中,A6=3CD,AB//CD,CE//DA,DF//CB.
(1)求证:四边形CDEF是平行四边形:
(2)填空:
①当四边形ABC。满足条件时(仅需一个条件),四边形CDE尸是矩形;
②当四边形A8C。满足条件时(仅需一个条件),四边形CDEF是菱形.
【答案】见解析
【解析】解:(1)证明:':AB//CD,CE//AD,DF//BC,
:.四边形AECZ)和四边形BFDC都是平行四边形,
:.AE^CD^FB,
■:AB=3CD,
:.EF=CD,
四边形CDEF是平行四边形.
(2)①当AQ=8C时,四边形EFCO是矩形.
理由::四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形,
:.EC=AD,DF=BC,
:.EC=DF,
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