高中数学必修二 6 .4 .3 正、余弦定理的实际运用（精练）

6.4.3正、余弦定理的实际运用（精练）

【题组一距离测量】

1.（2021•云南）世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风

光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边A点时，测得河对面的某地标建筑物户在其北偏东60°的

方向上，往正北方向步行500m到达B点后，测得该地标建筑物在其南偏东75。方向上.则此时小徐与该地

标建筑物的距离3P=（）

A.250mB.250&mC.250x/3mD.250#m

2（2021♦黑龙江•哈尔滨市第六中学校）某船从/处向北偏东60。方向航行2道千米后到达6处，然后朝南

偏西30°的方向航行6千米到达C处，则/处与，处之间的距离为（）

A.6千米B.26千米C.3千米D.6千米

3.（2021•广东•佛山市南海区里水高级中学高一月考）如图，为测量河对岸A、8两点间的距离，沿河岸

选取相距40米的C、O两点，测得ZACB=60,48=45,ZA£>B=60",ZADC=30,则A、8两

点的距离是（）

A.20五米B.206米C.40&米D.2()6米

4.（2021•全国•高一课时练习）如图所示，为了测量4、6处岛屿的距离，小海在〃处观测，/、4分别在

〃处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测6在C处的正北方向，力在

。处的北偏西45°方向，则/、6两岛屿的距离为海里.

A

B

5.（2021•云南•昆明市官渡区云子中学长丰学校）如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处

观测灯塔C在北偏东45。方向，行驶2h后，船到达8处，观测个灯塔C在北偏东15。方向，此时船与灯塔C

的距离为km.

6.（2021•浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为

15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗

杆顶端的仰角分别是60,30,已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为

（取#=2.4,小数点后保留一位有效数字）

最后一排

第一排

【题组二高度测量】

1.（2021•江苏省江都中学）有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志

性建筑.小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物高为（15O-5Og）m,在

它们之间的地面上的点M（氏”，。三点共线）处测得楼顶A,楼顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶A处

测得楼顶C的仰角为30°,则小明估算金奥中心的高度为（）

A.200mB.300mC.20073mD.3006m

2（2021•河南信阳）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西

偏北3（T的方向上；行驶600m后到达8处，测得此山底C在西偏北75。的方向上，山顶。的仰角为30。，则

此山的高度8=.

3.（2021•江西•新余四中）如图，为了测量河对岸电视塔切的高度，测量者小张在岸边点｛处测得塔顶。

的仰角为30"塔底。与［的连线同河岸成15。角，小张沿河岸向前走了200米到达M处，测得塔底。与"

的连线同河岸成60。角，则电视塔口的高度为米.

4.（2021•湖南湘西）如图，为了测量河对岸的塔高力区选与塔底6在同一水平面内的两个测量点C和〃

现测得Z4CB=45。.ZADB=3O0,/BCD=60°,CD=20m则塔高加=m.

5.（2021•河南郑州）2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，

特编排了“迎国庆•唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的

坡角为15。，斜坡上某一位置力与旗杆CO在同一个垂直于地面的平面内，如果在/处和坡脚E处测得旗杆CD

顶端的仰角分别为30°和60。，且AE=66米，则旗杆的高度为米.

6.（2021•河南）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹫齐飞，

秋水共长天一色”而名传千古，流放后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁顶端点尸

的仰角分别为30、60,451且钻=8C=75米，则滕王阁高度OP=米.

p.

c

7.（2021•四川巴中）2021年5月27日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山区绿色农林产

业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场一一巴中市体育中

心，即民间所说的“兴文鸟巢”，能被邀请到现场观礼是无比的荣耀.如图，在坡度为15的观礼台上，某

一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60

和30,且第一排和最后一排的距离为11几米，则旗杆的高度为米.

8.（2021•河北省临西县实验中学高一月考）如图所示，在山顶铁塔上8处测得地面上一点A的俯角a=60。,

在塔底C处测得点A的俯角4=45。，已知铁塔8C部分高36米，则山高8=米.

9.（2021•江苏省苏州第十中学校高一月考）如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观

测点，从A点测得“点的仰角NM4N=60,C点的仰角NCA8=45,以及NMAC=75;从C点测得

ZMCA=601已知山高8C=200m,则山高MTV=m.

【题组三角度测量】

1.（2021•山西•永济市深北中学校高一月考）一艘游船从海岛4出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后

到达海岛B,然后再从海岛8出发，沿北偏东40°的方向航行了16海里到达海岛C.若游船从海岛A出发沿

直线到达海岛G则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）

A.北偏东50°,8应B.北偏东70°,12

C.北偏东70°,8囱D.北偏东50°,12

2.（2021•福建三明）日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚（板）.现有直径为2m的圆面，在其

圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚（板）.某一时刻的太阳光线与水平

地面成40。角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为（）

A.60°B.50°C.45°D.40°

3.（2021•云南•陆良县中枢镇第二中学）一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30,之后

它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达3处，此时测得船与灯塔S相距80海

里，则灯塔S在8处的（）

A.北偏东75。B.北偏东75。或东偏南75。

C.东偏南75D.以上方位都不对

4.（2021•江西•上高二中）如图，某人在一条水平公路旁的山顶。处测得小车在/处的俯角为30°,该小

车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达8处，此时测得俯角为45°.己知此山的高PO=lkm,小

车的速度是20km/h,贝iJcosNAOB=()

73

vr.----

44

5.（2021•全国•高一课时练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物C/）的顶端C对于

山坡的斜度为6,向山顶前进100m到达8处，又测得C对于山坡的斜度为45,若C£>=50m,山坡对于地

平面的坡角为。，则cos®=（）

A.—B.2-6

2

C.6-1I).—

2

6.（2021•全国•高一课时练习）如图，在离地面//的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为。，在山脚A

处观察到山顶C处的仰角为60°,若A到热气球的距离AM=4000,山的高度BC=600,ZACM=45°,

贝Ue=()

A.30°B.25°C.20°D.15°

7.（2021•重庆一中高一期末）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰

从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛8,然后再从海岛8出发，沿北偏东35°的方向

航行了40夜海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和路程（单位：海里）

分别为（）

A.北偏东80°,20（^+72）B.北偏东65°,20（行+2）

C.北偏东65°,20（#+&）D.北偏东800,20（有+2）

8.（2021•福建福州•高一期中）某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，

如图：投影仪安装在距离墙面20cm处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S发出，光线投影在墙面上

的屏幕AB上，已知AB高度为120cm,光线上界曲的俯角为45°,则投影仪的垂直视角的余弦值cos4sB=

（）

9.（2021•全国）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距

寓为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点尸的仰

角。的大小（仰角6为直线”与平面ABC所成角）.若A8=15m,AC25m,/BCM=30。则tan。的最大

值（）

4石n5百

U•---------

9

10.（2021•福建省宁化第一中学高一月考）（多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为

12>/6nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离80nmile.货轮由A处向正北航行到。处时，再

看灯塔8在南偏东60°,则下列说法正确的是（）

A.A处与。处之间的距离是24nmile；B.灯塔C与。处之间的距离是16nmile；

C.灯塔C在。处的西偏南60°；D.。在灯塔8的北偏西30°.

【题组四几何中的正余弦定理】

1.（2021云南•罗平县第二中学高一期末）如图，在四边形力腼中切"8=2痛，BC=y/T\,cosA=—,

3

cosZBDC=—.

9

⑴求cosZADB；

⑵求CO的长.

2.（2021•江苏•无锡市第一中学高一期中）现有长度分别为1,2,3,4的线段各1条，将它们全部用上,

首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.

D

(1)求出所有可能的三角形的面积；

(2)如图，已知平面凸四边形A3CD中，AB=\,BC=3,8=2,DA=4.

①求cosAcosC满足的数量关系；

②求四边形ABCO面积的最大值，并指出面积最大时33的值.

3

3.(2021•福建福州三中高一期中)在平面四边形AB8中'ZABC=-.,ZBAC=ZDAC,8=4,AB=2.

⑴若5C=啦，sinZADC；

TT

(2)若NAOC=一，求AC.

6

4(2021•浙江•高三月考)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知“sinB+®cosA=0.

(1)求角A的大小；

⑵已知°=2/，b=2,设。为BC边上一点，且A£＞为角A的平分线，求的面积.

5.(2021•江西省靖安中学高二月考)如图，四边形4?口中，已知4=120°,ZABC=90°,AD=3,8c=3抬,

BD-1.

⑴四的长;

(2)5的长.

【题组五三角函数与解三角形】

1.(2021•北京•临川学校)已知/(x)=Gcos2x+2sin(1+xjsin(乃-x),XeR,

(1)求/*)的最小正周期及单调递减区间；

(2)已知锐角AABC的内角A8,C的对边分别为c,且/(4)=-6，a=4,求BC边上的高的最大值.

2.(2021•全国)已知函数/(x)=2Gsinxcosx-2cos。+加，且函数f(x)的最大值为3.

⑴当xe0,^时，求函数“X)的值域；

(2)已知IAABC的内角A、B、C的对边分别是。、b、c,若〃8)=0,b=2,求“BC面积的最大值.

3.(2021•河北衡水中学)已知函数〃x)=sin(乃-x)cosx-cos：x+?)

⑴求/(x)在［0,可上的单调递增区间；

⑵若对也生++恒有/(x)+g>0成立，且______,求AABC面积的最大值.

在①AA8c的外接圆直径为4,②。是直线&x+y+3=()截圆O:f+y2=4所得的弦长，③

代sinA+cosA=6这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中。，b,c分别为“ABC

的内角儿B,。所对的边.

4.(2021•江苏•盐城中学高一月考)已知函数/'(x)=Gsinscoss-sin28+l(G>0)的图象中相邻两条

7T

对称轴之间的距离为g.

2

(1)求。的值.

(2)已知a,b,c分别为“WC中角4,B,。的对边，且满足a=>5"(A)=1,求AA8c面积S的最大值.

5.(2021•江苏省外国语学校高一期中)函数/(x)=sin3x+w)(o>0，K\)的部分图象如图所示，将y=f(x)

的图象向右平移:个单位长度后得到函数y=g(x)的图象.

⑴求函数y=g(x)的解析式；

(2)在AABC中，内角A,B,C满足2siM笠O=g[c+]]+l,且其外接圆的半径为1,求AABC的面积

的最大值.

6.(2021•四川省内江市第六中学)已知向量4=卜加,8