新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题13二项分布与超几何分布

微专题13二项分布与超几何分布一、单项选择题1．设随机变量X，Y满意：Y＝3X－1，X～B(2，eq\f(1,3))，则D(Y)＝()A．4B．5C．6D．72．[2024·湖南雅礼中学模拟]若X～B(100，eq\f(1,3))，则当k＝0，1，2，…，100时()A．P(X＝k)≤P(X＝50)B．P(X＝k)≤P(X＝32)C．P(X＝k)≤P(X＝33)D．P(X＝k)≤P(X＝49)二、多项选择题3．[2024·广东汕头模拟]一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2).则()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题4．[2024·江苏金陵中学模拟]设随机变量X～H(3，2，10)，则P(X＝1)＝________．5．[2024·山东济南模拟]已知随机变量X，Y，其中X～B(6，eq\f(1,3))，Y～N(μ，σ2)，E(X)＝E(Y)，P(|Y|<2)＝0.3，则P(Y>6)＝________．6．[2024·河北石家庄模拟]为庆祝第19届亚运会在我国杭州实行，杭州某中学举办了一次“亚运学问知多少”的学问竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最终抽取到的题为多选题的概率为________．四、解答题7．在2024～2024赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场竞赛中投篮命中状况统计如下表(注：表中分数eq\f(n,N)，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场竞赛相互独立．依据统计表的信息：(1)从上述竞赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场竞赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场竞赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；(3)在接下来的3场竞赛中，用X表示这3场竞赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．解：8．[2024·安徽合肥模拟]地球上生命体内都存在生物钟，探讨表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严峻体征状况．限制睡眠或醒悟倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl(导致早起倾向)和PERo(导致晚睡倾向).某探讨小组为探讨光照对动物的影响，对试验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预试验．以下是16只试验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预试验中，出现PERl突变的Sd指标：试验鼠编号12345678Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04试验鼠编号910111213141516Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发觉，若试验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严峻，(1)从试验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严峻的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1～8的试验鼠为GRPE蛋白干预试验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预比照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与试验鼠体征状况有关？α0.10.050.01xα2.7063.8416.635附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d).解：9．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位老师一起参与社会实践活动．(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望；(2)从参与社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．解：10．[2024·山东济宁模拟]某学校组织“学习党的二十大”学问竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是eq\f(3,5)，甲、乙两名同学作答问题相互独立．记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y.(1)求甲、乙恰好答对2个问题的概率；(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由．解：

微专题13二项分布与超几何分布1．解析：因为X～B(2，eq\f(1,3))，则D(X)＝2×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,9)，又Y＝3X－1，所以D(Y)＝D(3X－1)＝32D(X)＝32×eq\f(4,9)＝4.故选A.答案：A2．解析：由题意得：化简得：eq\f(98,3)≤k≤eq\f(101,3)，又k为整数，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33).故选C.答案：C3．解析：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则X1～B(3，eq\f(2,5))，故E(X1)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X1)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25)，从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0，1，2，3；则P(X2＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，P(X2＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X2＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X2＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，所以随机变量X2的分布列为：X20123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)数学期望E(X2)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)；D(X2)＝(0－eq\f(6,5))2×eq\f(1,6)＋(1－eq\f(6,5))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(6,5))2×eq\f(3,10)＋(3－eq\f(6,5))2×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25)，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).故选AC.答案：AC4．解析：由随机变量X听从超几何分布X～H(3，2，10)，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，依据超几何分布公式可得P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15).答案：eq\f(7,15)5．解析：因为X～B(6，eq\f(1,3))，所以E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，因为Y～N(μ，σ2)，所以E(Y)＝μ，又因为E(X)＝E(Y)，所以μ＝2，因为Y～N(μ，σ2)，所以P(Y<2)＝0.5，且P(Y>6)＝P(Y<－2)，又因为P(|Y|<2)＝0.3，所以P(Y<－2)＝0.2，所以P(Y>6)＝0.2.答案：0.26．解析：设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为：0，1，2，可得：P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7)，所以最终抽取到的题为多选题的概率为P＝P(X＝0)×eq\f(4,5)＋P(X＝1)×eq\f(3,5)＋P(X＝2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,7)×eq\f(4,5)＋eq\f(4,7)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)7．解析：(1)在前10场竞赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场竞赛中，甲球员的投篮命中率大于0.5的概率是eq\f(1,2).(2)在前10场竞赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场竞赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是eq\f(2,5).设甲、乙两名运动员在下一场竞赛中恰有一人命中率超过0.5为事务A，甲球员命中率超过0.5且乙球员命中率不超过0.5为事务B1，乙球员命中率超过0.5且甲球员命中率不超过0.5为事务B2，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,2).(3)X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，eq\f(2,5))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))0×(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(2,5)×(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125)，X的分布列如下：X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∵X～B(3，eq\f(2,5))，∴E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).8．解析：(1)由题意得，16只试验鼠中，有7只体征状况严峻．X的可能取值有0，1，2，3,P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(3,20)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(27,80)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(1,16).所以X的分布列为X0123Peq\f(3,20)eq\f(9,20)eq\f(27,80)eq\f(1,16)所以X的数学期望E(X)＝0×eq\f(3,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(27,80)＋3×eq\f(1,16)＝eq\f(21,16).(2)由题意得，依据所给数据，得到2×2列联表：GRPE蛋白干预非GRPE蛋白干预合计体征状况严峻257体征状况不严峻639合计8816零假设H0：试验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．利用列联表中的数据得，χ2＝eq\f(16×（2×3－5×6）2,8×8×7×9)＝eq\f(16,7)≈2.286<2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为试验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．9．解析：(1)X全部可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8).P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×(1－0.8)3＝0.008；P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×0.81×(1－0.8)2＝0.096；P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×0.82×(1－0.8)1＝0.384；P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×0.83＝0.512.故X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512所以E(X)＝3×0.8＝2.4.(2)设事务A为“被选出的人中恰好有k位男生”，则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事务包含样本点的个数为Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(30))Ceq\o\al(\s\up1(30－k),\s\do1(42))，所以P(k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(30))Ceq\o\al(\s\up1(30－k),\s\do1(42)),Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(72)))＝eq\f(30！42！,Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(72)))·eq\f(1,k！（30－k）！（30－k）！（k＋12）！).所以eq\f(P（k＋1）,P（k）)＝eq\f(（30－k）2,（k＋1）（k＋13）)>1，解得k<eq\f(887,74).所以P(12)>P(11)>P(10)…，P(12)>P(13)>P(14)>…，故当k＝12时，P(k)最大．10．解析：(1)设“甲、乙恰好答对2个问题的概率”为事务A，则P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\f(3,5)·(eq\f(2,5))2＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(3,5))0·(eq\f(2,5))3＝eq\f(3,10)×eq\f(36,125)＋