新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第9讲函数中的整数问题与零点相同问题教师版

第9讲函数中的整数问题与零点相同问题一．选择题（共28小题）1．（2024春•河南期中）当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由题意知，函数在下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，．所以，函数的最小值为．又，（1）．直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选：．2．（2024春•龙岩期末）已知函数与函数的图象相交于不同的两点，，，，若存在唯一的整数，，则实数的最小值是A．0 B． C． D．1【解答】解：由得，设，求导，令，解得，时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数取得极大值，且，又时，；当时，，，故；作出函数大致图像，如图所示：又，因为存在唯一的整数，，使得与的图象有两个交点，由图可知：（2）（1），即，所以的最小值为．故选：．3．（2024春•鄂州期末）已知大于1的正数，满意，则正整数的最大值为A．7 B．8 C．5 D．11【解答】解：，，令，，则，令，解得：，当时，，当时，，，故在上递增，在，上递减，则的最大值是，令，，则，当时，此题无解，故，则时，，当，，当，解得：，故在递减，在，递增，则的最小值是，若成立，只需，即，即，两边取对数可得：，，故的最大正整数为5，故选：．4．（2024春•珠海期末）英国数学家布鲁克泰勒，以发觉泰勒公式和泰勒级数而著名于世．依据泰勒公式，我们可知：假如函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）．若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项．此时称该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式．于是，我们可得（此处介于0和1之间）．若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的虽小值是A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由条件有，即因为7！，8！！，所以的最小值为7．故选：．5．（2024春•自贡期末）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：设，，则，，，单调递增，，，，单调递减，时，取得最大值为，，（1）（1），直线恒过定点且斜率为，，，又，的取值范围，．故选：．6．（2024•南平模拟）设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是A．， B． C． D．【解答】解：，，令，得，易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为．则函数在处取得微小值，且微小值为，如图所示：当时，无解；当时，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则，解得；当时，由于直线与轴的负半轴交于点，当时，关于的不等式有多数个整数解，不合乎题意．综上所述，实数的取值范围是．故选：．7．（2024春•宿州期中）设为整数，对于随意的正整数，，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：令，，则，，，函数在上是减函数，，．，，，累加得：，，，又，对于随意的正整数，，则整数的最小值是3．故选：．8．（2024•乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：令，，因为仅存在一个整数，使得，所以仅有一个整数，使得，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），所以满意条件的整数为1，由，可得为减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，．故选：．9．（2024•中卫二模）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，所以的解集中恰有两个正整数，由可得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，作出函数与的大致图象如图所示：当恰有两个正整数解时，即为1和2，所以，解得，故实数的取值范围为，．故选：．10．（2024•乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：令，，因为仅存在一个整数，使得，所以仅有一个整数，使得，因为，所以为偶函数，当时，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），当，，当，，由偶函数的性质可得当时，在上单调递减，在上单调递增，，当，，当，，，恒过定点，且，作出图象，由图象可得满意条件的整数为，所以，即，解得，即实数的取值范围是，．故选：．11．（2024•安庆二模）对随意，，使得不等式成立的最大整数为A． B． C．0 D．1【解答】解：由题意知，有，，令，则，令，易知其单调递增，因为（2），，所以存在，使得，因此在单调递减，在单调递增，，所以最大整数为，故选：．12．（2024•咸阳模拟）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数，其中，设，，存在唯一的整数，使得，存在唯一的整数，使得在直线的下方，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，．当时，，当时，，直线恒过，斜率为，故，且，解得，的取值范围是，．故选：．13．（2024•襄城区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：令，，则，令，得或；，得，在和，上单调递增，在上单调递减，，且（2），当时，至多有一个整数解．当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，解得：，故选：．14．（2024•鼓楼区校级开学）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：因为函数存在唯一的正整数，使得，所以存在唯一的正整数，使得，令，，所以存在唯一的正整数，使得，，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以（3），，恒过点，当时，有无穷多个的值使得，当时，函数单调递增，作出图像：记上，，，，所以实数的取值范围为，．故选：．15．（2024•香坊区校级四模）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数，因为存在唯一的正整数，使得，即存在唯一的正整数，使得，令，，问题即转化为存在唯一的正整数，使得，，令，解得，所以在上为单调递增函数，在区间上为单调递减函数，所以，过定点，当时，有无穷多个的值使得，当时，函数单调递增，由图象可以分析得到只有正整数使得，令，则，，由图可知，实数的取值范围为．故选：．16．（2024•江苏期末）已知函数，若存在，使不等式成立，则整数的最小值为A． B．0 C．1 D．2【解答】解：，则，所以为上的增函数，因为存在，使不等式成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立，即，令，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，又，，所以，所以，解得，所以的最小值为．故选：．17．（2024•阜阳期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则满意条件的整数的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当时，单调递增，此时函数的值域为，．当时，，由，得，则．因为，且函数恰有3个零点，所以，即，故整数的个数为3．故选：．18．（2024•舒城县校级期末）已知函数，若恒成立，则整数的最大值为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，可化为，即，令，则令，则，当时，，在单调递增．又，使，则．当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，，，正整数的最大值为3．故选：．19．（2024•浙江期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：设，，，所以或者时函数递增，时递减，并且（1），（2），（3），（4），图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，即有唯一正整数解，所以只要并且，即，解得：；故选：．20．（2024春•肥东县校级期中）已知函数，，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由，得，令，，则过定点由题意知，存在3个正整数，使在直线的下方，，当时，，此时为增函数，当时，，此时为减函数，即当时，取得微小值，同时也是最小值（1），且，（2），（3），直线恒过点，且斜率为，由题意可知当时，不满意条件．有许多整数解，则，此时，满意条件，由图象知，此时只能时，满意条件，则满意，即得，即，故实数的取值范围是，，故选：．21．（2024•攀枝花模拟）在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由，化简得，设，，则原不等式即为．若，则当时，，，原不等式的解集中有多数个大于2的整数，．（2），（2），（2）（2）．当（3）（3），即时，设，则．设，则，在，上为减函数，（4），当时，，在，上为减函数，即，当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数．要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得．则实数的取值范围为，．故选：．22．（2024•嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则A． B． C． D．【解答】解：当或时，；当时，，当或时；当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：．23．（2024•崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于A． B． C．1 D．2【解答】解：当或时，，当时，，当或时，，当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：．24．（2024春•温州期末）若不等式对随意的恒成立，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：由选项可知，故原不等式等价于，当时，明显不满意题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即．故选：．25．（2016秋•杭州期末）若不等式对随意的，恒成立，则A． B．， C．， D．【解答】解：对随意，恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，，此时，则，设，，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满意条件；若，则，而此时时，不满意条件，故；函数在上，则，上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对随意，恒成立，则函数与的零点相同，即，，故选：．26．（2024•上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由在上成立，可得：△，解得：．经过验证只有时成立．下面给出证明：在上始终成立，，或时，，，此时成立．时，，，此时成立．因此只有时成立．故选：．27．（2016秋•宁波期末）已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：设，，则在上为增函数，且（1），若当时，则满意当时，，当时，，即必需过点点，则（1），即，此时函数与满意如图所示：此时，则满意函数的另外一个零点，即，故选：．28．（2024春•杭州期末）若不等式对随意实数恒成立，则A． B．0 C．1 D．2【解答】解：不等式对随意实数恒成立，由于的解集为，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集为，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，综上可得，故选：．二．填空题（共16小题）29．（2024春•沈阳期中）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是，．【解答】解：设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，，当时，．所以，函数的最小值为．又，（1），直线恒过定点且斜率为，故且，解得．故答案为：，．30．（2024春•南岗区校级期末）已知函数为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是5（参考数据：，，【解答】解：函数为大于1的整数），那么，令，可得，当，，当，，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（a），即的值域为，的值域为，，，设（a），（a），当时，（a），函数（a）单调递减，当时，（a），函数（a）单调递增，（2），（3），（4），（5），的最小值为5，故答案为：5．31．（2024春•和平区校级期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围，．【解答】解：由，可得，即为，设，当时，，单调递增，存在多数个整数，使得，不符合题意；当时，由于，所以，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，所以作出函数和的大致图象，如图，过点的直线介于，之间时满意条件，直线过点时，的值为2，直线过点时，的值为，由图可知，的取值范围是，．故答案为：，．32．（2024春•顺德区期末）已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为；若对随意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为．【解答】解：由题意，，设，因为函数的图像经过点，则，即，故；对随意一个负数，不等式恒成立，即对恒成立，令，则，，令，解得，当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，又，，故存在，使得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，因为中，，，故，所以的最大值，当时，，又整数，所以的最小值为2．故答案为：；2．33．（2024春•长沙期末）设，若时，均有，则．【解答】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数：令，得，，．考查函数，时均有，故的图象经过，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案为：．34．设，若时均有，则．【解答】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数，令，得，，因为，不等式成立；；考查函数，因为时均有，明显此函数过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：．35．（2024•义乌市月考）已知，满意在定义域上恒成立，则的值为0．【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设冲突．即，解得．经检验，符合题意．故答案为：0．36．（2024•天河区校级模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为．【解答】解：当时，不等式，不恒成立，不符合题意；当时，，令，则，由，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有最大值，要使命题成立，则，解得；当时，函数是增函数，存在唯一的零点，，，即为增函数，又，但当时，，所以有唯一的，要使不等式恒成立，只有，，解得；综上所述，的取值范围为．故答案为：．37．（2024•德阳模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为．【解答】解：（1）依据题意，恒成立，恒成立，，由得，恒成立，设，则，时，；时，，时，取最小值，，实数的取值范围为；（2）令，得是函数和的零点，并得出，时，，，满意，同理时，也满意题意，的取值范围为．故答案为：．38．（2015秋•泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为．【解答】解：当时，时，有，，，欲使，恒成立，则，；当时，时，有，，，欲使，恒成立，则，；故．故答案为：．39．（2024•河南模拟）已知函数，若恒成立，则的值为0．【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点