高二年级上册期末【常考60题考点】（选修一+选修二）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）（解析版）

高二上学期期末【常考60题考点专练】

（选修一+选修二）

选择题（共17小题）

I.（2021秋•沈河区校级期末）已知向量7=（1,1,0）,则与之同向共线的单位向量彳=（）

A.(叵,0)B.(0,1,0)C.(叵叵,0)D.(-1,-1,0)

2222

【分析】根据共线向量和单位向量的定义计算即可.

【解答】解：向量Z=（I,1,0）,则与之同向共线的单位向量为

故选：C.

【点评】本题考查了共线向量和单位向量的定义与应用问题，是基础题.

2.（2021秋•湘潭县期末）己知等比数列｛“”｝中，。|=2,04=16,则公比q=（）

A.-2B.2C.4D.-4

【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比.

【解答】解：：在等比数列｛斯｝中，“1=2,04=16,

al

解得公比q=2.

故选：B.

【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运

用.

3.（2021秋•湖北期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，

其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A181G中，M,N分别是4C”8场的中

点，G是的中点，若筋=》瓦+），荷+z正，则x+y+z=（）

Cl

224

【分析】连接AM,AN,由同卷而+M）卷正普布耳正，即可求出答案.

【解答】解：连接AM,AN,如下图：

由于G是例N的中点,

・-*1-♦—♦1.1—•—♦1”•1—♦q.1-

••AG专(AM+AN)(AA1号AC+AB号AA1)=与ABqAA14AC，

根据题意知同=XAB4y布+zAC'

所以x+y+z—^-,

【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

4.（2021秋•朝阳区校级期末）直线x-JEy-3=0的倾斜角为（）

A.150°B.120°C.60°D.30.

【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系求解.

【解答】解：直线x-遂厂3=0可化为产返厂代，

_3

:•直线的斜率为近，

3

设直线的倾斜角为a,则tanQ0,

3

又•.•ae[O°,180°),

...a=30°,

即直线的倾斜角为30°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

5.（2021秋•定州市期末）已知直线/经过A（-2,3盯），8（-3,4加）两点，则直线/的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.

【解答】解：；直线/经过A（-2,3日），8（-3,4«）两点，

kAB=

-3-(-2)

设直线/的倾斜角为a,

V0^a<180°,

又♦••tana=-F，

.,.a=120°.

故选：C.

【点评】本题主要考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

6.（2021秋•五华区校级期末）设机为实数，若直线与圆/+）2-©-6），+8=0相交于知，N两点,

且IMNI=蓊，则m=（）

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【分析】将圆的一般方程化成圆的标准方程，求出圆心和半径，再结合垂径定理，即可求解.

【解答】解：•.•圆/+y2-4x-6>8=0,

二（x-2）2+（y-3）2=5,即圆心为（2,3）,半径为遥，

;直线y=x+mf

••x-)叶机=0,

IMNI=273.

（泥产=（■^滑

二由圆的垂径定理可得,52+2,解得加=3或m=-1.

故选：C.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握垂径定理是解本题的关键，属于基础题.

7.（2021秋•邢台期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为

抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图

②所示）.已知接收天线的口径（直径）为3.6口，深度为06”，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）

①②

A.1.35mB.2.05〃？C.2.7机D.5.4m

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得抛物线上的点4的坐标，将A的

坐标代入抛物线的方程，求出p的值，进而求出焦点到顶点的距离.

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为：y2=2px,p>0,由题意可得|AB|=3.6,

则4的纵坐标为1.8,

再由深度为0.6,可得A的横坐标为0.6,

即4（061.8）,将A的坐标代入抛物线的方程可得：1.82=2pX0.6,

可得p—2.1,

所以抛物线的方程为：y2=5.4x,

所以抛物线的焦点到顶点的距离为显=&工=1.35,

22

故选：A.

①②

【点评】本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，属于基础题.

8.（2021秋•平顶山期末）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被

定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，

清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为“I尺，公差为"尺，利用

等差数列的通项公式，求出d,即可求出m，由此能求出结果.

【解答】解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十

二个节气其日影长依次成等差数列｛斯｝,

设冬至日的日影长为⑶尺，公差为“尺，

♦.•冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，

al+a4+&7=331+9（1=31.5

a2+a§+a&=3a[+12d=28.5

解得ai=13.5,d=-\,

大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：

。3+。6+。9=3。1+15（/=25.5（尺）.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.（2021秋•亳州期末）在三棱锥P-ABC中，下=彳，屈=1,=3，为PB上的点，且PB=4PD，

则而=（）

_

A-a-^lr-bq1c-DR--^3•-a+^l-br-c-JcI*1-*DL+y2b:+一c

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

【解答】解：：丽=4同，

.••CD=CB+BD=（AB-AC）+旦丽

4

=（AB-AC）+旦<AP-AB）

4

44

故选：B.

【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.

10.（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABC。-481cl£>i中，AB+AD-CC^（）

ABD

-ACj-AtCC.D[B-DBI

【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解.

【解答】解：为平行四面体，

====

••AB+AD-CC1DC+AD+C1CAC+C1CA1C1+C1CA1C-

故选：B.

【点评】本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题.

22

11.（2022春•僧州校级期末）椭圆“上=1的焦距为2,则〃?的值等于（）

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

【分析】利用椭圆的焦距，求解〃7即可.

22

【解答】解：椭圆“上=1的焦距为2,

m4

可得A/IR-4=1或74-m=l，解得加=5或m=3.

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.

22

12.（2021秋•湘潭县期末）双曲线C：1_匚二1的虚轴长为（）

39

A.V3B.2V3C.3D.6

【分析】直接利用双曲线方程求解4即可得到结果.

22

【解答】解：因为双曲线c：

39

庐=9,所以6=3,所以双曲线的虚轴长为劫=6.

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

13.(2021秋•北海期末)在数列｛斯｝中,ai=l,n(«+1)(即+1-加)=1(nGN*),则“2022=()

A4043B4041C2020D2021

,2022-2021'2021"2022

【分析】根据递推关系式求得«„+i-«„=—A_=l-再利用累加法求解即可.

n(n+l)nn+1

【解答】解：•・•数列｛斯｝中,ai=Ln(M+1)(斯+1-斯)=1(nGN*)

1-4〃=―—---，

n(n+1)nn+1

ai-a\=\——,

2

Q3-〃2=工」，

23

-a，?-1——---

n-ln

Clu~d\11——,

**.。2022=。1+11=4043

20222022

故选：A.

【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，属于基础题目.

14.(2021秋•未央区校级期末)下列求导不正确的是()

A.[(3x+5)3r=9(3x+5)2

B.Cx^lnx)'=3X2//7JV+X2

z2sinx>./2xcosx+4sinx

r・(2~^=3

xx

D.(2A+cosx)1=2xln2-siar

【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式求导即可.

【解答】解：［(3x+5)=3-3(3x+5)2=9(3x+5)2,A正确；

3

(x3lnx)7=3X21nx+^-=3x2lnx+xii,8正确；

z2sinxx//x'cosxYxsinx2xcosx-4sinxc倍误.

(2x+cosx)'=2v/n2-sinx,。正确.

故选：C.

【点评】本题考查了积的导数、商的导数、基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于

基础题.

15.(2021秋•玉林期末)曲线f(x)=加L/在点(1,/(I))处的切线方程为()

A.y=-xB.y=2x-3C.y=-3x+2D.y=-2x+l

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=l处的导数值，再求出/(I)的值，利用直线方程的点斜式

得答案.

【解答】解：由f(x)=lnx-x2,得f'(x)=A-2x,

x

则/(1)=-1,又f(I)=7,

，曲线/(x)=/nx-/在点(1,/(1))处的切线方程为y+l=-(x-1),

即y=-x.

故选:A.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础

题.

2

16.(2021秋•海东市期末)已知A,B分别是圆Ci：/+)2-2x-4y-4=0和圆C2：7+y-6x+4yH2=0

上的动点，点P在直线/：x+y+3=0上，贝”必|+『用的最小值是()

A.2717+4B.2V17-4c.K/77+2D.2^17-2

【分析】由已知可得解回PCI-R,|PB|冽PC2I-，，求得Ci关于直线/的对称点为。，则解|+俨8闫PC1I+IPC2I

-4=|PC|+|PC2|-42|。©254,计算即可得出结果.

【解答】解：由题意可知圆G的圆心为。(1,2),半径R=3,圆C2的圆心为C2(3,-2),半径厂=1,

设Ci关于直线/：x+y+3=0的对称点为D(xo，yo),

丫0-2.

x0-l-

则解得力(-5,-4),

X0+1红收oA

22+3'0

则|PCi|=|P£>|,

因为A,B分别在圆G和圆C2上,

所以陷|》|尸。|-R,\PB\^\PC2\~r,

贝”必|+|PB|2|PCI|+|PC2|-4=\PD\+\PC2\-4,

因为|PD|+|PC2|>|DC2|=2V17-

所以|PA|+|PB|>2万-4，

故选：B.

【点评】本题考查了与圆有关的最值问题，涉及点的对称问题，属于中档题.

17.(2021秋•玉林期末)若函数/G)=2?-(〃+1)x单调递增，则实数a的取值范围为()

A.(-8,-1)B.(-8,o)C.(-8,0]D.(…，-]]

【分析】先求导，再根据/(x)单调递增，得到对任何x€R,f(x)=6?-(a+1)>0,再求出。的取

值范围.

【解答】解：f(x)=6，-(a+1),

因为『(x)单调递增，所以对任何xWR,f(x)=6?-(a+1)20,

所以只要-(a+1)20,解得

所以实数〃的取值范围是(-8,-1],

故选：D.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

二.填空题(共22小题)

18.(2021秋•兴庆区校级期末)已知向量彳=⑵-3,1),b=(2,k,2)，且；।[，则实数％=2.

【分析】根据两向量垂直时数量积为0,列方程求出/的值.

【解答】解：因为向量Z=(2,-3,1),b=(2,k,2)，且Z1K

所以a，b=4-3k+2=0,

解得k=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了空间向量的数量积应用问题，是基础题.

19.(2021秋•青海期末)直线八：x+)+2=0与直线由2x+2y-1=0之间的距离为返

【分析】整理两条直线中x的系数相同，y的系数相同，直接代入平行线间的距离公式，可求得结果.

【解答】解：直线/i：x+)+2=0与直线/2：2x+2y-1=0,即，2的方程为x+y-1=0,

2

I2,I5小

所以两条平行线间的距离-上-=变2,

22

Vl+14

故答案为：显

4

【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题.

20.(2021秋•民勤县校级期末)已知函数/(X)=?+2/(1)/“X,则/(1)=-2.

【分析】可根据基本初等函数的求导公式求出/(x),然后即可求出/(1)的值.

【解答】解：(x)=2x+2，⑴,

X

：.f(1)=2+2/(1),

:•/(1)=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题.

21.(2021秋•茂名期末)在空间直角坐标系中，若三点A(l,-1,a),B(2,a,0),C(1,0-2)满

S.：(AB-2AC)1BC.则实数。的值为_二9一

2~

【分析】先求出五=(-1，0,-2),AB-2AC=(-1.a+\,-4-a),再由(族-2菽)，前，能求

出a.

【解答】解：VA(1,-1,a),B(2,a,0),C(1,a,-2),

AAB=(L〃+l，-a),2AC=(0,26r+2,-4-2〃)，BC=(-1，0,-2),

AB-2AC~(1，-1,4+〃)，

V(AB-2AC)±BC，

・・・(屈-2菽)•就=-1-8-2〃=0,

解得实数〃=-1.

2

故答案为：-—.

2

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题.

22.(2021秋•湖南期末)已知直线小or+(a+3)y-1=0与以Q+3)x-y+2=0垂直，则a=-3或1.

【分析】利用直线与直线垂直性质，得到关于«的方程，再求出。的值.

【解答】解：直线小ax+(a+3)y-1=0与/2：(。+3)x-)+2=0垂直，

：.a(a+3)+(a+3)X(-1)=0,

解得。=-3或。=1.

故答案为：-3或1.

【点评】本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题.

23.(2021秋•呈贡区校级期末)在等比数列｛斯｝中，若ai=Lq=2,则如与ax的等比中项是±4.

【分析】由已知先求出“4,。8,然后结合等比中项的定义即可直接求解.

【解答】解：等比数列伍〃｝中，。|=工，4=2,

8

所以614=1,。8=16,

则〃4与48的等比中项±4.

故答案为：±4.

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比中项的定义，属于基础题.

24.(2021秋•宣城期末)设x,)WR,向量Z=(x,1,1),b=(l>Y,1),c=(2,-4,2)且

；lb,b//c>则

【分析】利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可

【解答】解：；；=(x,1,1),b=(1»y.1),3=(2,-4.2)

且;1E,b//c>

x+y+1=0且工=_X_,

2-4

/.x=l,y=-2,

，a=(1，1，1)，b=(1，-2,1),a+b=(2,-1,2),

Ia+b|—V4+l+4~3»

故答案为：3.

【点评】本题考查空间向量的垂直与共线，向量的模的求法，是基础题.

25.(2021秋•海淀区校级期末)圆/+v2-2x+6v+9=0的圆心坐标为(1,-3)；半径为1.

【分析】直接利用转换关系，把圆的一般式转换为标准式，进一步求出圆心和半径.

【解答】解：圆/+/-2x+6y+9=0转换为标准式(x-1)2+(y+3)2=1,

故圆心坐标为(1,-3),半径为1.

故答案为：(I,-3)；I.

【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

2

26.(2021秋•兴庆区校级期末)经过点A(2,-2)且与双曲线2-/=i有公共渐近线的双曲线方程为

【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可.

22

【解答】解：与双曲线二-）2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为三二-）,2=入，（入#0）,

22

,•,双曲线过点（2,-2）,

：.X=2L-（-2）2=2-4=-2,

2

222

即二一9=-2,即/_三=]

224

故答案为：zl_xl=1.

24

【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键.比较基础.

27.（2021秋•遵义期末）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对

称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从A（5,/MI）沿

直线>=如发出的光线经抛物线V=4x两次反射后，回到光源接收器。（5,机2），则该光线经过的路程为

12.

【分析】由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标与直线方程，再由抛物线的定义求解光线经过的路程.

【解答】解：如图，抛物线b=4x的焦点坐标为尸（1,0）,准线方程为x=-l.

由抛物线的性质可得，|Bf]=|A,B\,\CF]^\CD'I，

,该光线经过的路程为|AB|+|BQ+|C£>|=HA'|+|£>O'1=6+6=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题.

28.（2021秋•青海期末）己知某圆锥曲线的两个焦点分别为尸I，乃，点P为该圆锥曲线上任意一点，若|PFi|：

IPF2I：|F|F2|=2：1：2,则该圆锥曲线的离心率为2或2.

-3

【分析】通过圆锥曲线是椭圆或双曲线时，分别求解离心率即可.

【解答】解：|PFi|：|P尸2l：|FIF2|=2：1：2,

令|PFl|=2f,\PF2\=t,\F\F2\=2t,f>0,

当圆锥曲线为椭圆时，2ai=|PFi|+|PP2|=3f,2c\=\F\F2\=2t,

所以椭圆的离心率e,=2=2；

ai3

当圆锥曲线为双曲线时,2a2=\\PFi\-|PF2||=62c2=\FiF2\=2t,

所以双曲线的离心率e0="=2.

2a2

故答案为：2或2.

3

【点评】本题考查椭圆以及双曲线的离心率的求法，是基础题.

29.（2021秋•鹰潭期末）若双曲线/_工!_=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程_y=±JEx_.

【分析】根据离心率得出c=2a,结合/+廿=°2得出°,关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

【解答】解：由题可知，离心率e：^=2，即c=2a,

a

又J+62=c2=4a2,即b2=3q2,则且二四，

a

故此双曲线的渐近线方程为y=±Mx.

故答案为：y=±V3x.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.

30.（2021秋•东丰县期末）已知数列｛斯｝是等差数列，数列出"｝是等比数列，为+。9=8皿,加历<=64,则

a5_1

cosA,"-———77—,

4-b4b102

【分析】由等差中项的性质可得“5=411,由等比中项的性质可得久bio=b,=16,再代入运算，即可.

【解答】解：数列｛金｝是等差数列，

所以45=工（。1+49）=4TT,

2

因为数列也”｝是等比数列，所以b：=66b8，

又66b7岳=64,所以b.=64,即历=4,所以64bio=b：=16,

所以cos-.......二COS4-=cos(--2L)=A

4-b4bI。4-1632

故答案为：1

2

【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练掌握等差中项与等比中项的性质是解题的关键，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

2

31.（2021秋•海淀区校级期末）若数列｛斯｝的前n项和为S„=3n-2n+L则数列｛“〃｝的通项公式an

2,n=l

6n-5,n>2

【分析】利用an=Sn-Sn\即可求解.

【解答】解：当〃=1时，ai=Si=2,

当心2时,SnT=3(n-l)2-2(n-1)+1=3〃2-8〃+6,

••一S?-1=6〃-5,

2n=l

综上,a=s、

n6n-5,n>2

’2,n=l

故答案为:

6n-5,n>2

【点评】本题考查了数列通项公式与前N项和之间的关系，属于基础题.

32.（2021秋•兴庆区校级期末）定义在（0,+8）上的函数/（x）满足：Vx>0有/（x）+xf（x）>0成立

且f(l)=2,则不等式/(x)<2的解集为(0,1).

x

【分析】令h(x)=xf(x),x>0,然后对其求导，结合导数研究函数的单调性，进而可求.

【解答】解：令〃(x)=xf(x),x>0,

因为定义在(0，+8)上的函数/(X)满足：Vx>0有/(X)+xf(x)>0成立，

所以〃'(x)=/(x)+xf(x)>0,

所以/?(x)在(0,+8)上单调递增，

因为f(1)=2,所以〃(1)=2,

则当x>0时，不等式/(x)<2可转化为引>(X)<2,即〃(x)<2,

x

解得，0cx<1.

故答案为：(0,1).

【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，函数的构造及导数的应用是求解问题的关键，属

于基础题.

33.(2021秋•南岗区校级期末)己知P为曲线C：x=3五上一点，T(0,9),A(3,3),则俨7]+|附|的

4

最小值为21.

-4―

【分析】利用抛物线的定义可知|P7]等于P到准线y=-9的距离为d,则|P71+|B4|最小值为A到准线y=-

4

2的距离，即可求出|即+|附的最小值.

4

【解答】解：由题意知，曲线C是抛物线，=9y的右半部分且T(0,2)是焦点

4

因为尸为曲线C上一点，

若P到准线y=-9的距离为d,则d=\P7],

4

所以俨7]+|别="+|以|,要使其值最小，

则小|%|即为点A到准线y=-9的距离，

4

所以『71+1别的最小值为3+9=21,

44

故答案为：21

4

【点评】本题考查抛物线的定义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

34.(2021秋•辽阳期末)已知P为抛物线》;今乂？上的动点，M(0,3)，N(4,3),则|PM|+|PN的最小

值为6.

【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，即M为抛物线的焦点，求出抛物线的准线方程，过P作准线的

垂线，垂足为P,,由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，则|PM+|PN|=|PN|+|PP'I'WP'|,进而

求出最小值.

【解答】解:3),M点(0,3)恰好为焦点，准

线方程为了=

将N的坐标代入3?＞工X42,所以N在抛物线的内部，如图所示:

12

过户作准线的垂线，垂足为产，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，则|PM+『N|=FM+|PP[

严=3-(-3)=6,当且仅当MP,P三点共线时取等号,

故答案为：6.

【点评】本题考查抛物线的性质的应用及线段之和的最小值的求法，属于中档题.

35.(2021秋•湖北期末)函数f(x)=e、1x2-ax是R上的单调递增函数，则4的取值范围是「8,

X\A/D2A虫人----------------------

n_

【分析】求导后，通过参变分离法，可将原问题转化为恒成立，再利用导数求得函数g(x)=

-x的最小值，即可.

【解答】解：因为f(x)=e'-1x2-ax是氏上的单调递增函数，

所以/(x)。恒成立，即

设g(x)=e^-x,则g'(x)=/-1,

当x>0时，g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上单调递增，

当x<0时，g'(x)<0,g(x)在(-8,o)上单调递减，

所以g(X)min=§(0)=1,

所以即4的取值范围是(-8,1J.

故答案为：(-8,1].

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解函数的单调性与导数之间的联系，以及参变分离法是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

36.(2021秋•临渭区期末)如图所示的是一个正方体的平面展开图，AB=\,则在原来的正方体中，直线

CF与平面EMB所成角的正弦值为_®_.

【分析】先将正方体的平面展开图还原成正方体，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量

的坐标，然后利用待定系数法求出平面EMB的法向量，由线面角的计算公式求解即可.

【解答】解：将正方体的平面展开图还原成正方体，

以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则E(l,0,0),M(1,I,1),8(0,1,0),F(1,1,0),C(0,I,1),

所以而=(1,0,-1),BE=(1,-1,0),EM=(0,1,1)，

设平面EM8的法向量为]=(x,y,z)>

则®画=o,即(x-y=o

n-EM=0lv+z=0

令％=1,则y=l,z=-1,

故二=(1,1,-1)，

ICF»n_|_______2_____=返

所以|cos〈CF»n>|=

|CF|Ini^/l+lxVl+1+13

所以直线CF与平面EMB所成角的正弦值为限.

_3

故答案为：圆

3

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，线面角的求解，正方体的平面展开图的理解与应用，

在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进

行研究，属于中档题.

37.(2021秋•陈仓区期末)一条光线经过点A(2,3)射到直线x+y+l=0上，被反射后经过点8(1,1),

则入射光线所在直线的方程为5x-4y+2=0.

【分析】根据对称的性质，设点A(2,3)关于直线/的对称点为A'(xo,和)，利用斜率和中点坐标可得

A',可得反射光线所在直线的方程.联立方程组求解在x+y+1=0上的反射点，即可求解入射光线直线的

方程.

【解答】解：设点A(2,3)关于直线/的对称点为A'(xo,和)，

'2+XQ3+y。

21211=0

解得：A'(-4,-3),

由于反射光线所在直线经过点A'(-4,-3)和8(1,1),

所以反射光线所在直线的方程为y-1=(x-1)•景，即4x-5.v+l=0.

解方程组（4x-5y+i=°,解得反射点p（一2,-』）.

Ix+y+l=O33

所以入射光线所在直线的方程为：5x-4y+2=0.

故答案为：5x-4y+2=0.

【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于中档题.

38.（2021秋•湖北期末）已知数列｛斯｝满足ai+2a2+4。3+-+2"-%”=1,将数列｛斯｝按如下方式排列成新

2

数列：0,a2，42,42,43，。3，。3，43，。3，…，a„,a”，…，a„>….则新数列的前70项和为_里

「____上一r___--16—

⑵-1）项

【分析】先根据题干条件得到aJ，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.

n2n

++,+n

【解答】解：at+2a24a3-,2'n言①，

当〃=1时，a=A；

al2

当〃》2时，+2a2+4a3+…+2n-2abi'②'

①-②得：

2叫=1,即a」

乙”n2n2n

又满足a」，所以a」.

1a

2an2nn2n

由1+3+5+…+(2n-1)=〃2=64,得”=8.

令3则上

222

会管15749

两式相减得《'54+2'二/2乂…+2X一'-」今=4•+'

22228292,1-512,

21——乙

2

则

所以新数列的前70项和为迺qqm

2562925616

故答案为：47

16

【点评】本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题.

39.（2021秋•和平区校级期末）数列｛〃”｝满足0+242+22.3+•+2"（"=工（w+1）n（n-1）,若对任意人>0,

3

所有的正整数〃都有入2-H+2>«„成立，则实数k的取值范围是_（-8,V2

【分析】先由题设求得斯，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意人>0,所有的正整数〃都有铲

-驮+2＞%成立转化为k＜入4^^对任意人＞0恒成立，再利用基本不等式求得人得「的最小值，即可

得到答案.

【解答】解：由。1+2a2+22〃3+…+2"-%=2(〃+1)n(M-1),

3

2n

当〃22时，a।+2a2+2,a3+-+2~an-\=—n(”-1)(n-2),

3

1

两式相减可得：2nan=-^-[(n+1)n(n-l)-n(n-l)(n-2)]=n(n-l),

所以a』5?)一,

n211-1

由ci\=0,显然成“，

•n.(n+1)nn(n-l)dtn-2n、+2n_-n、+3n

an+lan-2n2n-1-2n2n

所以，当0＜〃W3时，。"+1-即＞0,当“24时，斯+1-斯＜0,

因此，0V〃W3,数列｛如｝单调递增，当时，数列｛“”)单调递减，

由23得，a4所以当”=3或〃=4时，数列｛斯｝取最大值，且最大值为日，

2

对任意人＞0,所有的正整数n都有入2-kX+2＞an成立，可得入_k入+2〉多

因此，k入〈入2+工，即入代「对任意入＞0恒成立，

22人

由XxX—v-=V21当且仅当入T-，即入=圾时取最小值，

2人V2人2人

则k＜\(入+2dA)mm.=vV2，

所以实数k的取值范围是(-8,V2),

故答案为：(-8,V2).

【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法、数列的单调性在求数列的项的最值中的应用及基本不等式

在处理不等式恒成立问题中的应用，属于中档题.

三.解答题(共21小题)

40.(2021秋•宾阳县校级期末)已知△48C的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3).

(I)求AC边所在的直线方程；

(II)求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线/的方程.

【分析】(I)由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程.(II)

求出A8中点，/与AC平行，从而斜率相等，即可设出/,代入4、C中点求得/.

【解答】解：(I)由题意知4c斜率为女=生&=-3,所以AC边所在直线方程为y-o=-3(X-4),

0-444

即3x+4y-12=0.

(II)由(I)知/可设为3x+4y+m=0,又48边中点为(5,1),将点(5,1)代入直线/的方程

22

得3X5+4X1+加=0,解得胆=-29,所以/方程为3x+4y-29=0.

2

【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题.

41.(2021秋•成都期末)已知圆C的圆心为C(l,2),且圆C经过点P(5,5).

(I)求圆C的一般方程；

(II)若圆O：/+/=〃，(W>o)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围.

【分析】(力设圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=J(r为圆C的半径)，再将点尸(5,5)代入圆C方

程，即可求解.

(//)将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解.

【解答】解：⑺设圆C的方程为(x-1)2+(厂2)2=/(r为圆C的半径)，

•.•圆C经过点尸(5,5),

二(5-1)2+(5-2)2=即J=25,

圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.

(〃)由(/)知圆C的圆心为C(l,2),半径为5,

•.•圆O：苫2+尸=”2(,„>0)与圆C恰有两条公切线，

.•.圆。与圆C相交，

/.|5-m\<\OC\<5+m,

10C|=V(l-0)2+(2-0)2=V5，

5-Vb<5+^5.

故，〃的取值范围是(5-y，5+>石).

【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题.

42.(2021秋•辽宁期末)已知直线/：(2a-1)x+(a+2)y-5=0.

(1)若。=2,求直线/与直线/1：x+2y-3=0的交点坐标；

(2)若直线/与直线/2：2x-y+3=0垂直，求a的值.

【分析】(1)直接利用直线间的位置关系建立方程组，进一步求出交点的坐标；

(2)利用直线垂直的充要条件的应用求出a的值.

【解答】解：（1）当a=2时，直线/的方程为3x+4y-5=0,

所以两直线的交点为—x+4y-5=°,解得fx=-l,即点尸（_1,2）.

[x+2y-3=0[y=2

（2）由于直线/：（2tz-1）x+（a+2）y-5=0与直线fe：2x-y+3=0垂直，

故2（2a-1）-（。+2）=0,

解得

3

【点评】本题考查的知识要点：直线间的位置关系，直线垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题.

43.（2022春•新和县校级期末）已知双曲线C：A_-（«>o,b>0）的渐近线方程为J§x±2y=0,

aD

且过点（2A/2>a）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线/交双曲线于A、B两点，求弦长履B|.

【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点（K历，JE）可构造方程求得a,b,由此可得双曲线方

程，

（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得AB方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.

【解答】解：（1）由双曲线方程知：渐近线斜率女=±上，又渐近线方程为愿x±2y=0,.•也正，

aa2

•.•双曲线过点（zQ,JE）,；•与-3寸=1，

a2b2

但正

a2（