概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第3章 第2讲 边缘分布与随机变量的独立性（新编）

概率论与数理统计（慕课版）第2讲边缘分布与随机变量的独立性第3章多维随机变量及其分布01边缘分布02随机变量的独立性本讲内容我们就可以讨论随机变量X

和Y之间3边缘分布联合分布描述的是二维随机变量(X,Y)的整体特性,除此之外还需要考虑随机变量X、Y

各自的分布,即

—边缘分布.利用边缘分布,例如独立性.的某种关系,01

边缘分布📢注边缘分布也称为边沿分布或边际分布xyxxyy4边缘分布函数01

边缘分布📢注由联合分布函数边缘分布函数,反之不然.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为5（1）求X和Y

的边缘分布函数；（2）求📚例101

边缘分布6(1)01

边缘分布(2)701

边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律🎯结论由联合分布律可确定边缘分布律1x1xi

pi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY801

边缘分布联合分布律及边缘分布律1001000.200.200.150200250设随机变量(X,Y)的概率分布为0.100.050.30求边缘分布律901

边缘分布📚例2📢注X--车险的免赔额，Y--财险的免赔额11001000.200.200.1502002500.100.050.300.500.500.500.250.25X100250P0.50.5Y0100200P0.250.250.51001

边缘分布求边缘分布律:解1101

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的可能取值为(0,0),(-1,1),📚例3试求X和Y的各自的边缘分布律.(-1,2),(1,0),且取这些值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,由题设条件，(X,Y)联合分布列为

Y

X012

1/31/1201/615/121201

边缘分布由上面的表格，可得X和Y边缘分布律

X01

p

5/121/65/12Y012p7/121/31/121301

边缘分布解把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设📚例4律和边缘分布律.X,Y分别表示投入第1,2个邮筒内信的数目，求(X,Y)分布X,Y各自可能取值为0,1,2.由题设可知(X,Y)取(1,2),(1,2),(2,1),(2,2)均不可能，因此它们的概率均为0.1401

边缘分布因此，X和Y边缘分布律

X012p

4/94/91/9

Y012

p

4/94/91/91501

边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布🎯结论已知联合密度可以求得边缘密度1601

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例5试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).因为当时，有故X的边缘密度函数为1701

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例5试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).又因为当时，有故Y的边缘密度函数为1801

边缘分布解设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例6试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).因为的非零区域如图阴影部分，y1x-1Oy=xy=-x11901

边缘分布故X的边缘密度函数为所以，当时，有当时，有2001

边缘分布故Y的边缘密度函数为当时，有设随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布.2101

边缘分布📚例7解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0围成，求边缘密度11o2xy

2201

边缘分布1102xy

设二维随机变量(X,Y)在区域2301

边缘分布📚例8解(X,Y)的概率密度

y=xoyx则y=x22401

边缘分布📚例9解

试求𝑋及𝑌的边缘密度函数．(𝑋，𝑌)的联合密度函数为2501

边缘分布2601

边缘分布🎯结论1二维正态分布的边缘分布是一维正态分布🎯结论2上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分布中的常数𝜌无关

27第一章介绍了两个事件相互独立的概念,由此可以引出两个随机变量相互独立的概念.有了边缘分布,我们就可以很方便的判断随机变量X和Y

之间的独立性.第2讲

随机变量的独立性01边缘分布02随机变量的独立性本讲内容如何判断两个随机变量独立的定义设X,Y是两个随机变量,若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.📝两事件A,B独立定义若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.2902随机变量的独立性🎯结论用分布函数表示,即设X,Y

是两个随机变量,则称X,Y

相互独立.若对任意的x,y,有它表明,两个随机变量相互独立时,两联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.3002随机变量的独立性即离散型X与Y独立对一切i,j

有3102随机变量的独立性连续型X与Y独立对一切x,y

有二维随机变量(X,Y)相互独立,定联合分布.则边缘分布完全确3202随机变量的独立性判断应用随机变量的独立性3302随机变量的独立性判断📚前面例1讨论X,Y

是否独立？故X,Y相互独立3402随机变量的独立性0.500.30不独立判断📚前面例211001000.200.200.1502002500.100.050.500.500.250.2535(X,Y)的联合与边缘分布律02随机变量的独立性讨论X,Y是否独立？故X,Y不独立1102xy判断36📚前面例7设随机变量(X，Y) 服从区域G上的均匀分布．其他其他其他02随机变量的独立性应用📚例1037设二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为02随机变量的独立性试确定常数

，使得随机变量X与Y相互独立．38解由表，可得随机变量X与Y的边缘分布律为如果随机变量X与

Y

相互独立，则有02随机变量的独立性39由此得由此得🎯结论因此当

,

时,X与Y相互独立.02随机变量的独立性因此当,时,X与Y相互独立.40📚例11设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,求解其他02随机变量的独立性证对任何x,y有取相互独立41📝命题1必要性02随机变量的独立性故将代入即得42充分性02随机变量的独立性设二维随机变量服从正态分布求43📚例12解X~N(1,1),Y~N(0,1)且独立02随机变量的独立性在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为X，44

X

Y

0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020问随机变量X和Y是否相互独立？公交车数量📚例13且(X,Y)的联合分布见下表：记为Y

，X与Y都是随机变量，02随机变量的独立性Y的分布律为：45故随机变量X和Y是相互独立的.Y012P0.5000.3000.200可以验证，随机变量(X,Y)的任意一点都满足由边缘分布律的定义可得X的分布律为：X012345P0.0500.1000.250