素养提升14⇒电场中的图像问题及功能关系

电场中的图像问题及功能关系题型一电场中的图像问题φ－x图像1.电场强度的大小等于φ－x图像的斜率的绝对值，电场强度为零处，φ－x图像存在极值，其切线的斜率为零。2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。3.在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。【例1】（2023·福建福州模拟）在x轴上一带正电的粒子（重力不计）仅在静电力作用下以原点O为中心，沿x轴做往返运动，x轴上各点电势如图所示。若该粒子的质量为m，电荷量为q，其运动过程中电势能与动能之和为1.8qφ0，则下列说法正确的是（）A.粒子在x＝－1.8x0时其动能和电势能相等B.粒子在往返运动过程中能通过x＝1.9x0处C.原点O与x＝－4x0之间的电场方向沿x轴负方向D.原点O与x＝2x0之间的电场为匀强电场，电场强度大小为2φ答案：A解析：根据题图，粒子在x＝－1.8x0时电势能Ep＝q1.84×2φ0＝0.9qφ0，又运动过程中电势能与动能之和为1.8qφ0，所以此时动能Ek＝1.8qφ0－Ep＝1.8qφ0－0.9qφ0＝0.9qφ0，故A正确；因为电势能与动能之和为1.8qφ0，当动能为零时，电势能为1.8qφ0，根据电势能与电势关系，此时电势为1.8φ0，由题图可知，向右最多可达到1.8x0处，故B错误；沿电场方向电势降低，故原点O与x＝－4x0之间的电场方向沿x正方向，故C错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由题图知，原点O与x＝2x0之间的电场为匀强电场，电场强度大小为φ0Ep－x图像1.根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负，电势能减少，静电力做正功；电势能增加，静电力做负功。2.根据ΔEp＝－W＝－Fx，图像Ep－x斜率的绝对值表示静电力的大小。【例2】（多选）（2024·湖南岳阳模拟）如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在x＝1m处以初速度v0＝3m/s沿x轴正方向运动。小滑块的质量为m＝2kg，带电荷量为q＝－0.1C。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能Ep随位置x变化的部分图像，P点是图像的最低点，虚线AB是图像在x＝1m处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（）A.在x＝1m处的电场强度大小为20V/mB.滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小C.滑块运动至x＝3m处时，速度的大小为2m/sD.若滑块恰好能到达x＝5m处，则该处的电势为－50V答案：CD解析：Ep－x图像斜率的绝对值表示滑块所受静电力的大小，所以滑块在x＝1m处所受静电力大小为F＝Eq＝ΔEpΔx＝2－12－1N＝1N，解得电场强度大小E＝Fq＝10V/m，A错误；滑块向右运动时，静电力先减小后增大，所以加速度先减小后增大，B错误；滑块从x＝1m到x＝3m运动过程中电势能减小，电场力做功W电＝－ΔEp＝－（1－2）J＝1J，由动能定理得W电＝12mv2－12mv02，解得滑块运动至x＝3m处时，速度的大小为v＝2m/s，C正确；若滑块恰好到达x＝5m处，则有v'＝0，则滑块从x＝1m到x＝5m运动过程中W电'＝－（Ep2－Ep1）＝0－12mv02，由题图乙可知Ep1＝2J，解得滑块到达x＝5m处的电势能Ep2＝5JE－x图像1.E－x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。2.在给定了电场的E－x图像后，可以由图像确定电场强度的变化情况，电势的变化情况，E－x图像与x轴所围图形的“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。3.在这类题目中，还可以由E－x图像画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。【例3】（2024·江苏扬州模拟）真空中静止的均匀带正电球体，其半径为R，电场强度大小沿半径方向分布如图所示，静电力常量为k，则（）A.r1和r2两处电势相等B.球体表面处电势最高C.r1和r2两处电势差为E0（r2－r1）D.球体所带的电荷量为Q＝E答案：D解析：由E－r图像可知，r1和r2两处电场强度相同，由于沿电场线方向电势降低，所以r1处的电势高于r2处电势，故A错误；沿电场线方向电势降低，所以从球心处开始电势一直降低，故B错误；r1和r2两处电势差为E－r图像与横轴所围区域的面积，大于E0（r2－r1），故C错误；球体外电场可以看成是电荷量全部集中于球心处的点电荷产生的电场，则在r2处，有E0＝kQr22，所以Q＝E0题型二电场中功能关系的综合问题1.功能关系（1）若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；（2）若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；（3）除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化；（4）所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化。2.电场力做功的计算方法（1）由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝qElcosα。（2）由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。（3）由动能定理来计算：W静电力＋W其他力＝ΔEk。（4）由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。【例4】（2024·江西省二中模拟）如图所示，倾角为α＝30°的绝缘斜面AB长度为3l，BC长度为32l，斜面BC段上方有沿斜面向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为＋q的小物块自A端左上方某处以初速度v0＝3gl水平抛出，恰好在A点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，经过C点但未能到达B点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在A点，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝33，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速度为g（1）物块平抛过程中的位移大小；（2）物块在电场中的最大电势能。答案：（1）132l（2）2解析：（1）由题意可知物块落到斜面上A点时，速度方向与水平方向夹角大小为α，设此时速度为v，则v＝v0竖直速度vy＝vsinα，平抛运动时间t＝vy平抛过程中水平位移x＝v0t，又有竖直位移y＝vy平抛的位移s＝x2＋y2，联立解得s（2）设物块沿斜面向下运动的最大位移为x'，自物块从A点开始向下运动到再次返回A点，根据动能定理有－2μmgcosα·x'＝0－12mv2，解得x'＝2l。物块位于最低点时，电势能最大，物块自A点到最低点过程中，设静电力做功为W，根据动能定理有mgsinα·x'－μmgcosα·x'－W＝0－12mv解得W＝2mgl，即物块电势能的最大值为2mgl。1.【电势能与动能转化】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（）A.3倍 B.4倍C.5倍 D.6倍解析：B根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为Ex，沿AD方向的分量为Ey，粒子在A点时的动能为Ek，正方形的边长为d。粒子从A到B的过程，有qExd＝3Ek－Ek，粒子从A到C的过程，有qExd＋qEyd＝6Ek－Ek，则粒子从A到D的过程，有qEyd＝EkD－Ek，联立解得EkD＝4Ek，故选B。2.【电势能、动能、重力势能、弹性势能间的转化】（多选）如图所示，绝缘轻质弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q（可视为质点）固定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电性相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（）A.小球P的速度先增大后减小B.小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零C.小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒D.小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒解析：ACD小球P先沿斜面加速向下运动，当加速度减小到零后，减速向下运动，当弹簧压缩量最大时，小球P静止，速度先增大后减小，故A正确；当小球P受到的合力为零时，速度最大，此时受弹力与库仑力的合力大小等于重力沿斜面方向上的分力大小，方向相反，在最低点，弹力和库仑力的合力大小大于重力的分力大小，合力不为零，故B错误；在小球P下滑的过程中，小球P、弹簧、地球组成的系统因有库仑斥力做功，系统的机械能不守恒，故C正确；根据能量守恒定律知，小球P的动能、重力势能、与小球Q间的电势能及弹簧的弹性势能的总和不变，故D正确。跟踪训练·巩固提升1.（多选）图甲中A、B、C是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从A点处由静止释放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从A经过B到C，运动过程中的速度—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（）A.在A、B、C三个点中，B点的电场强度最大B.在A、B、C三个点中，C点的电势最低C.在A、B、C三个点中，C点的电势最高D.在A、B、C三个点中，正电荷在A点的电势能最大解析：BD由牛顿第二定律有Eq＝ma，根据v－t图像中斜率表示加速度可知，电荷在B点时加速度最小，则B点的电场强度最小，故A错误；根据v－t图像可知，正电荷沿电场线从A经过B到C，速度一直增加，静电力一直做正功，电势能减少，则有EpA＞EpB＞EpC，由Ep＝φq可得φA＞φB＞φC，故C错误，B、D正确。2.某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在静电力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（）A.电势先降低后增大B.电场强度大小先减小后增大C.粒子电势能先减小后增大D.粒子加速度方向先向右后向左解析：B带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，A错误；Ek－x图像的斜率等于静电力，题图中斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，B正确；由题图知粒子的动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，C错误；粒子先减速运动后加速运动，则加速度方向先向左后向右，D错误。3.（多选）如图甲所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是边长为4cm的菱形的四个顶点，且∠b＝60°。电场方向平行于菱形所在平面。以b为坐标原点，规定b→c为x轴正方向，b→a为y轴正方向，沿着两方向的电势变化如图乙所示，下列说法正确的是（）A.沿bc方向的电场强度大小为100V/mB.沿ba方向的电场强度大小为100V/mC.匀强电场的电场强度大小为100V/mD.匀强电场的方向由c指向a解析：ABD根据φ－x图像的斜率表示电场强度，由题图乙可知，沿bc方向的电场强度大小为Ebc＝10－64V/cm＝1V/cm＝100V/m，沿ba方向的电场强度大小为Eba＝6－24V/cm＝1V/cm＝100V/m，故A、B正确；由题图乙可知φb＝6V，φa＝2V，φc＝10V，匀强电场中U＝Ed，则有Uba＝Ucd，解得φd＝6V，连接bd为等势线，连接ac，由于a、b、c、d正好是边长为4cm的菱形的四个顶点，则ac垂直bd，所以ac为电场线，由沿电场方向电势降低，则匀强电场的方向由c指向a，匀强电场的电场强度大小为E＝Uacac＝2V/cm＝4.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M点运动到N点的过程（）A.动能增加12mvB.机械能增加2mv2C.重力势能增加32mvD.电势能增加2mv2解析：B小球动能的增加量为ΔEk＝12m（2v）2－12mv2＝32mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N点时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝v22g，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝12mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减少的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp'＝32mv2＋12mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，5.如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为13g，下落高度H到B点后与一绝缘轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是（A.该匀强电场的电场强度为mgB.带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为mgC.带电物块电势能的增加量为mg（H＋h）D.弹簧弹性势能的增加量为mg解析：D物块从静止开始下落时的加速度为13g，根据牛顿第二定律得mg－qE＝ma，解得E＝2mg3q，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力做功以外，只有静电力做功，静电力做功为W＝－qE（H＋h）＝－2mg（H＋ℎ）3，可知机械能减少量为2mg（H＋ℎ）3，故B错误；从A到C过程中，静电力做功为－2mg（H＋ℎ）3，则电势能增加量为2mg（H＋ℎ）36.竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，AC竖直，∠DAC＝30°，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则电场强度E的大小等于（）A.mgq B.C.3mg2q解析：A不带电小球只受重力作用，带电小球受到重力、沿DC方向的静电力作用。不带电小球向右水平抛出后做平抛运动，设AC＝2R，则从A到D由动能定理有WG＝ΔEk，即1.5mgR＝4Ek0－Ek0，化简得1.5mgR＝3Ek0，带电小球向左水平抛出后在复合场中运动，从A到B重力做功为0.5mgR，静电力做功为W＝EqR，则由动能定理有W＋0.5mgR＝ΔEk，即W＋0.5mgR＝4Ek0－Ek0，可得mgR＝EqR，则E＝mgq，故选A7.如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为－e（e＞0）。则下列说法正确的是（）A.原点O处的电势最高，－x1处的电势最低B.电子在－x2处和x1处的电势能相等C.将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加D.将电子沿x轴从坐标原点O移到－x1处，电场力做功eE0x1解析：C由题意知，电场线沿x轴正方向，由沿着电场线方向电势降低知，原点O处的电势比－x1处的电势低，－x2处的电势比x1处的电势高，电子在－x2处比在x1处的电势能小，故A、B错误；将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子克服静电力做功，电子的电势能增加，故C正确；在E－x图像中，图像与x轴所围成的面积表示电势差，所以坐标原点O与－x1处之间的电势差为12E0x1，所以将电子沿x轴从坐标原点O移到－x1处，静电力做的功为12eE0x1，8.（多选）已知试探电荷q在场源点电荷Q的电场中所具有电势能表达式为Ep＝kQqr，其中k为静电力常量，r为试探电荷与场源点电荷间的距离，且规定无穷远处的电势能为0。真空中有两个点电荷Q1和Q2，分别固定在x坐标轴x1＝0和x2＝15cm的位置上。一带负电的试探电荷在x轴上各点具有的电势能随x变化关系如图所示，其中试探电荷在A、B两点的电势能为零，A点的坐标是12cm，C点为点电荷Q2右边电势能最小的点，则下列说法正确的是（A.Q1为正电荷，Q2为负电荷B.点电荷Q1与Q2电荷量之比为2∶1C.C点对应x轴位置的坐标是xC＝30cmD.两点电荷Q1、Q2在x轴上电场强度相同的点的位置为x＝20cm解析：AC由Ep－x图像可知，带负电的试探电荷在0～15m间的电势能逐渐增大，可知Q1为正电荷，Q2为负电荷，故A正确；由Ep－x图像可知，A点的电势能为0，则有kQ1qr1－kQ2qr2＝0，解得点电荷Q1与Q2电荷量之比为4∶1，故B错误；根据电势能的计算公式Ep＝Fx，可知Ep－x图像的斜率表示静电力，则试探电荷在C点受到的静电力为0，有kQ1qxC2＝kQ2q（xC－159.如图所示，在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方h高度的P点，固定电荷量为＋Q的点电荷。一质量为m、电荷量为＋q的物块（可视为质点），从轨道上的A点以初速度v0沿轨道向右运动，当运动到P点正下方B点时速度为v。已知点电荷产生的电场在A点的电势为φ（取无穷远处电势为零），P、A连线与水平轨道的夹角为60°。试求：（1）物块在A点时受到轨道的支持力大小；（2）点电荷＋Q产生的电场在B点的电势；（3）物块能获得的最大速度的大小。答案：（1）mg＋33kQq8ℎ2（2）φ＋m解析：（1）物块受到点电荷的库仑力F＝kQq由几何关系可知r＝ℎ设物块在A点时受到轨道的支持力大小为FN，在竖直方向上，由平衡条件有FN－mg－Fsin60°＝0解得FN＝mg＋33（2）