素养提升10⇒天体运动中的三大问题

天体运动中的三大问题题型一卫星的变轨和对接问题（精品微信公众号：偷着学）1.两类变轨的对比两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2＜GMmr2＞2.变轨前后各运行参量的比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1＜T2＜（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。①在A点，由圆轨道Ⅰ变至椭圆轨道Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；②在B点，由椭圆轨道Ⅱ变至圆轨道Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；反之也有相应的规律。卫星变轨问题中各物理量的比较【例1】神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，当经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（）A.沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度B.在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期C.神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒D.在轨道Ⅰ上运动经过A点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过A点的加速度答案：C解析：根据万有引力提供向心力有Gm地mr2＝mv2r，得v＝Gm地r可知，环绕物体的运行速度大小与环绕物体的质量无关，与r有关，r越小，环绕物体的运行速度越大，即沿轨道Ⅰ运行的速度大于沿轨道Ⅲ运行的速度，故A错误；由开普勒第三定律可知，高轨长周期，在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B错误；在神舟十二号飞向核心舱的过程中，在椭圆轨道上只受引力作用，机械能守恒，万有引力做负功，引力势能增大，动能减小，故C正确；神舟十二号飞船在轨道Ⅰ上运动到A点和在轨道Ⅱ上运动到A点都由万有引力提供向心力有Gm地mr2＝ma卫星变轨问题中的能量变化【例2】2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕。如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（）A.34mv2＋3Gm地m4rC.58mv2＋3Gm地m4r答案：D解析：当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有Gm地mr2＝mv02r，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝Gm地r，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝12mv2－12mv02＝12mv2－Gm地m2r；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有Gm地m（2r）2＝mv0'22r，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0'＝Gm地2r，而根据开普勒第二定律可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝r1r2v＝1飞船对接问题【例3】（2024·南京模拟）2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（）A.在A点时神舟十五号经过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道ⅡB.飞船在A点的加速度小于空间站在A点的加速度C.空间站在轨道Ⅰ上的速度小于gRD.轨道Ⅰ上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可答案：C解析：从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，神舟十五号做近心运动，应在A点减速，故A错误；根据万有引力提供向心力，有Gm地mr2＝ma，解得a＝Gm地r2，所以飞船在A点的加速度等于空间站在A点的加速度，故B错误；根据第一宇宙速度的计算可知mg＝mv2R，解得v＝gR，该速度是最大的环绕速度，所以空间站在轨道Ⅰ上的速度小于gR，故C正确；轨道题型二天体的“追及”问题绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。相距最远当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t'＝（2n－1）π（n＝1，2，3，…）相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3，…）【例4】（多选）我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是（）A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC＜aBB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC.经过时间T1T2T1－D.卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度答案：AC解析：根据Gm地mr2＝ma得a＝Gm地r2，由图可知rA＝rC＞rB，则aA＝aC＜aB，A正确；卫星C向后喷气加速做离心运动，将变轨到更高的轨道，不能追上同轨道的A，B错误；根据2πT2－2πT1t＝2π，卫星A与卫星B又一次相距最近的时间间隔为t＝【例5】地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为T1＝T0，地球的半径为R0，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为R1＝2R0，R2＝8R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为23π，下列说法正确的是（A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能B.地球的质量M＝30C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2＝4T0D.从图示时刻开始，经过t＝1621T0答案：D解析：因为两卫星的质量未知，所以无法比较它们机械能的大小，A错误；对卫星一，由牛顿第二定律得GMm4R02＝m2πT02×2R0，解得地球质量为M＝32π2R03GT02，故B错误；由开普勒第三定律T22T12＝8R02R03可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2＝8T0，故C错误；两卫星共线且在同一侧时相距最近题型三双星、多星问题1.双星模型（1）定义：绕天体连线上某一点转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。（2）特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2⑤双星的运动周期T＝2πL3⑥双星的总质量m1＋m2＝4π2.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律：常见的三星模型①Gm2（2R）②Gm2L2×cos30°×常见的四星模型①Gm2L2×cos45°×2＋G②Gm2L2×cos30°×2＋【例6】如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则（）A.恒星A、B运动的周期为TB.恒星A的质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为πD.恒星A的线速度大于B的线速度答案：C解析：每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T'＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力有GmAmBd2＝mA4π2（2T）2rA＝mB4π2（2T）2rB，由题图知rA＜rB，则mA＞mB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝π2d3GT2，故C【例7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（）A.直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmB.直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为2πLC.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2LD.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3答案：D解析：直线三星系统中星体做圆周运动，由万有引力提供向心力，可得GmmL2＋Gmm（2L）2＝mv2L，该星体做圆周运动的线速度大小为v＝125GmL，故A错误；直线三星系统中星体做圆周运动，根据万有引力提供向心力可得GmmL2＋Gmm（2L）2＝m2πT2L，解得星体做圆周运动的周期为T＝4πLL5Gm，故B错误；根据几何关系可得，三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用做圆周运动的轨道半径为R＝12Lcos30°＝33L，由万有引力提供向心力得跟踪训练·巩固提升（精品微信公众号：偷着学）1.（2023·新课标卷17题）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（）A.质量比静止在地面上时小B.所受合力比静止在地面上时小C.所受地球引力比静止在地面上时大D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大解析：D质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小F＝Gm地mr2，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；货运飞船天舟六号轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由万有引力提供向心力可知，Gm地mr2＝mrω2，化简得：ω＝Gm地r3，故物资做圆周运动的角速度大于地球同步卫星的角速度，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动所需的向心力，2.（2024·九省联考贵州）天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，每经过一段时间要进行轨道修正，使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的（）A.轨道半径减小 B.速率减小C.向心加速度增大 D.周期减小解析：B天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，天宫空间站的机械能减小，天宫空间站轨道高度降低，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，故A错误；根据万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则速率减小，故B正确；根据牛顿第二定律GMmr2＝ma，可得a＝GMr2，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则向心加速度减小，故C错误；根据万有引力提供向心力GMmr2＝m4π2T23.（2024·河北邢台模拟）2022年，我国航天经历了不平凡的一年。在探月与深空探测方面，我国科学家在“嫦娥五号”取回的月壤中发现了一种月球的新矿物，并命名为“嫦娥石”；我国首次火星探测“天问一号”任务团队获得国际宇航联合会2022年度“世界航天奖”；载人航天方面，“神舟十五号”飞船成功发射，中国空间站建造阶段发射“满堂红”。关于航天的知识，下列说法正确的是（）A.“嫦娥五号”的发射速度应大于第二宇宙速度B.“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星捕获C.“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到圆轨道时应加速，变轨后的速度大于第一宇宙速度D.空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，不受力的作用解析：B“嫦娥五号”是探月飞行，发射速度应在第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，A错误；“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星引力所捕获，B正确；“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到大的圆轨道时应加速，由于第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故变轨后的速度一定小于第一宇宙速度，C错误；空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，但是仍然受引力作用，D错误。4.（2024·安徽合肥模拟）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（）A.天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B.天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量解析：C天问一号在B点需要点火减速才能从轨道2进入轨道3，故A错误；在轨道2和轨道3上经过B点时，加速度相同，故B错误；假设火星的半径为R，轨道3的半径为r，因轨道3是近火轨道，所以r≈R，假设火星质量为M，天问一号质量为m，由万有引力提供向心力，有GmMR2＝mR4π2T2，解得M＝4π2R3GT2，火星的密度ρ＝M5.我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（）A.A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度B.A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度C.B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速D.B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功解析：D两卫星在P点时，根据万有引力提供向心力，可知Gm地mr2＝ma，整理可得a＝Gm地r2，由于两卫星在P点到地心的距离相等，显然两卫星的加速度大小相同，故A错误；由题意知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有Gm地mr2＝mv2r，整理可得v＝Gm地r，由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误；卫星从低轨道运动到高轨道，做离心运动，即在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误；6.（2023·湖北高考2题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出（）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前解析：B由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得T火T地＝r火r地3＝278，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝GMR2，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则tT地－tT火7.（2024·河北邢台模拟）科学家观测发现银河系的“MAXIJ1820＋070”是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，若系统中黑洞与恒星的中心距离为L，黑洞做匀速圆周运动的加速度为a，恒星做匀速圆周运动的加速度为a'，则黑洞做圆周运动的半径为（）A.aLa＋aC.2aLa＋解析：A设黑洞的质量为M，恒星的质量为m，则F＝Ma＝ma'，二者角速度相等，设黑洞做圆周运动的半径为R，根据向心力公式，有F＝Mω2R＝mω2（L－R），联立解得R＝aLa＋a'，故A正确，B、8.“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，地球、火星绕太阳轨道可视为圆轨道。则“天问一号”（）A.发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B.从P点转移到Q点的时间小于6个月C.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度D.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小解析：D“天问一号”发射后脱离了地球引力的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；根据开普勒第三定律a3T2＝k，地球公转周期为12个月，“天问一号”在地火转移轨道的长轴轨道半径大于地球公转轨道半径，则其运行周期大于12个月，所以从P点转移到Q点的时间大于6个月，故B错误；地火转移轨道Q点速度小于火星轨道Q点速度，而火星轨道Q点速度小于地球绕太阳的速度，故C错误；根据开普勒第三定律a3T2＝k，可知，环绕火星的停泊轨道长轴半径小于调相轨道长轴半径9.（2024·山东烟台模拟）梦天实验舱成功发射后在距地球表面高度为h的圆轨道上运行，实验舱拥有一项特别“炫酷”的功能——在轨释放质量为m的微小卫星。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，取无限远处引力势能为0，微小卫星在距地球表面高度为h时的引力势能为Ep＝－GMmR＋ℎ。若实验舱释放的微小卫星恰能脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，则A.梦天实验舱在轨运行时速度为GMB.地球表面重力加速度与梦天实验舱轨道处的重力加速度之比为RC.微小卫星刚被释放时的速度大小为GMD.梦天实验舱对微小卫星做功为GMm解析：D梦天实验舱在轨运行时，根据万有引力提供向心力，有GMm'（R＋ℎ）2＝m'v2R＋ℎ，解得v＝GMR＋ℎ，故A错误；在地球表面，根据万有引力等于重力，有GMmR2＝mg0，可得g0＝GMR2，在距地球表面高度为h处，根据万有引力等于重力，有GMm（R＋ℎ）2＝mg，可得重力加速度为g＝GM（R＋ℎ）2，所以有g0g＝R＋ℎR2，故B错