初高中数学衔接知识练习

初高中数学知识衔接(一)

一元二次不等式(一)

【知识要点】

1.二次函数y=ax：+bx+c(aWO)对称轴为；顶点坐标为；

开口方向.

你能作二次函数的图象吗？作二次函数图象的关键是什么？(能画出草图即可)

2.一元二次不等式：含有一个末知数且末知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0(a^O).

3.用区间表示不等式

【典型例题】

1.已知二次函数y=x2-x-6,根据其图象解答下列问题:

(1)写出对应抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

(2)当x取何值时，y=0；

(3)当x取何值时，y>0；

(4)当x取何值时，y<0；

(5)就函数y=4x?+4x+l再回答上述问题.

2.试根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象，讨论下列不等式的解集(用区间表示):

(1)ax2+bx+c>0(a>0)；(2)ax2+bx+c<0(a>0).

【巩固练习】

1.试用区间表示下列实数x的集合：

(1)0〈xWl表示为；(2)x《l表示为

(3)x>a表示为.

2.把下列二次式写成a(x-h)2+k的形式：

(1)2X2-3X+1=；(2)1-X_3X2=；

(3)ax?+bx+c(aWO)=.

3.二次函数y=x2+4x-l的定义或为；值域为

(用区间表示)

4.写出下列不等式(组)的解集：(用区间表示)

5x+6>4x

(1)x(x-l)》(x-2)(x+3):

15-9x<10-4x

x-3(x-2)<4

(3)\l+2x,.

------->x-1----------------------

3

5.已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO),当x分别取0和1时对应的函数值y均为4,又函数

9

有最大值+求这二次函数的表达式.

6.试作出二次函数丫-2*2+5乂+3的图象，并回答下列问题

(1)写出对应抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

(2)当x取何值时，y=O；

(3)当x取何值时，y>0；

(4)当x取何值时，y<0.

§2.一元二次不等式(二)

【知识要点】

1.一元二次不等式：含有一个末知数且末知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax24-bx+c<0(a7t0).

2.一次分式不等式：——->0或——-<0(aWb).

x+bx+b

【典型例题】

1.解下列不等式：

(1)2X2-3X-2>0(2)-3x2+6x22(3)4x2-4x+l>0(4)

-X2+2X-3>0

v—33—2x

2.你能解不等式：普皿中外吗?

3.若a£R且a<0,解关于x的不等式：x2+(a+l)x+a>0；若a>0,你还会解这个不等式吗？

4.(1)求满足不等式(X2-2X+3)(X2-2X-3)<0的整数解.

(2)若关于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l>0恒成立，求实数a的取值范围.

(3)若关于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l<0恒成立，你能求实数a的取值范围吗？

【巩固练习】

1.写出下列不等式的解集：

(1)3X2-7X+2<0______________；(2)-6X2-X+2W0

____________________,

(2)4X2-12X+9W0(4)X2-3X+5>0

—_______»

____________________»

2.写出下列不等式的解：

2x-l八3x4-1c

⑴-->0(2)-——>0

x+21-X

3.要使J12-有意义,则实数x的取值范围为.

4.关于x的一元二次方程mx2+(m-l)x+m=0有实根，则实数m的取值范围是.

5.解不等式：0vx'x-2v4.

6.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.

§3.二次函数的最值(一)

【知识要点】

b^cic—I)?

二次函数y=ax?+bx+c(a>0)在x=----时，有最小值y=----------

la4a

b4/zc—力2

二次函数y=ax2+bx+c(a<O)^Ex=----时，有最大值y=---------.

2a4a

二次函数在给定区间上的最值问题是高中数学学习中需要解决的一个重点问题。

【典型例题】

1.二次函数/•(*)=，-2*-3在下列区间上何时取到最小值？最小值为多少？

(l)(-co,+co);(2)[0,2];(3)(2,5];

(4)[-3,0|;(5)(-1,4]；(6)(-oo,3b

最大值呢？并说出此函数在区间(2)、(5)、(6)上的值域.

2.设a、夕是方程4，一4帆x+/〃+2=0(xeR)的两实根，当m为何值时，a?+/2

有最小值？求出这个最小值.

3.已知函数/(X)=X2-2X+3在定义域上的值域为[2,3]，求正数m的取值范围.

【思考】已知函数/(x)=l-2a-2ax+2x2在定义域|一1,1|上的最小值为m(a),求m(a)

的表达式。

【巩固练习】

1.求下列函数的值域：

(1)y=2x2+3x-7(-1<x<1).

23

(2)j=x-x+4(—<x<2).

(3)j=-x2-2x4-3(-5<x<0).

(4)j=x-yx2(-3<x<4).

2.已知2x—3x<0,贝U函娄［f(x)=x?+x+1----------------------------------()

33

(A)有最小值二，但无最大值；(B)有最小值:，有最大值1;

44

19

(C)有最小值1,有最大值一；(D)无最小值，也无最大值.

4

3.函数y=%?-4OX+2Q+6(〃£K),其值域为［0,+8),则a=.

4.已知函数/(x)=-%2+2x+〃2-5a+l(xN2)有最大值一5,则a=.

6,设/(x)=〃/+〃x+c(a>0),已知一<----<3,则f(x)在［-2,3］上有一()

22a

(A)最大值f(—2),最小值f(―--)；(B)最大值f(---),最小值/(—2)；

2a2a

(C)最大值f(3),最小值/(—二)；(D)最大值/(一二)，最小值/(3).

2a2a

7.求函数/(x)=ax2-ax+b(a<0)在区间［1,2］上的最值.

8.已知x、ywR且3》2+2y2=9x,分别求x与x?+y：的取值范围.

【思考】

设二次函数/(x)=-/+垢+1一。在区间［0,1］上的最大值为2,求实数a的值。

§4.二次函数的最值(二)

【知识要点】

二次函数/(x)=a(x-/〃)2+〃(a工0)，其中xw［c,d］,贝(J

f(m),c<m<df(m),c<m<d

当a>0时fmin=•f(c),tn<c:当a<0时/max=«f(c),tn<c

f(d),m>d/(d),m>d

当a>0时，函数/(x)的最大值又如何呢？分几种情况加以讨论？

【典型例题例题】

1.设函数/(X)=X2+|X-2|-1,xeR.求函数f(x)的最小值.

2.已知f(x)=-X②+(4a-2)x-32+钻，且xe[0,2],试讨论f(x)的最值情况.

3.是否存在正实数a、b,使当时，函数/(x)=的值域是［2-儿2-回,

若存在，求a、b的值；若不存在，请说明理由。

【巩固练习】

1.下列函数中，与函数了=2*2-4*-1有相同值域的是----------------------()

(A)y=3x-9(x<2)；(B)y--x2+l(x>2)；

3

(C)y=-(-1<x<0)；(D)y=3x2-6x(x>0).

x

2.已知二次函数y=2*2-1在区间［q,切上有最小值一i,则下面关系式一定成立的是

()

(A)a<0<〃或a<0<；(B)a<0<b；

(C)a<b<0或a<0<Z>；(D)0<fl<〃或a<<0.

3,已知函数+》x+c(a<0)的对称轴方程为x=3,试写出f(-l),f(l)、f(4)的

大小关系.

4.函数y=—x2_2«x(04x41)的最大值是/,那么实数a取值范围

是.

5.如果函数了=*2+2*-3-。2,对于xe［1,3］上的图像都在x轴的下方，则a的取值

范围是.

6.设函数'在［-1,1］上的最大值是3,求a的值.

22

7.f(x)=x2+4x+3,teR,函数g(t)表示函数f(x)在区间+上的最小值，求g(t)

的表达式.

8.已知若函数/(x)=or?-2x+1在［1,3］上最大值为M(a),最小值为m(a),

令g(a尸M(a)—m(a),求g(a)的函数表达式.

§5.二次方程根的讨论

【典型例题】

1.关于x的方程为x2+(m+1)x4-1=0

(1)若方程的两实根都在(0,+8)上，求实数m的取值范围；

(2)若方程的两实根都在(，，+8)上，求实数m的取值范围；

2

(3)若方程的两实根都在(0,2)±,求实数m的取值范围；

(4)请归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>O)的两实根都在同一区间［m,n］上的等价条件，并

解答：

关于x的方程2x2-3x+2m=0的两根都在卜1,1］上，求实数m的取值范围.

2.已知关于x的方程为7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的两个实根为a,6.

(1)若一根小于0,另一根大于0,求实数a的取值范围；

(2)若一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围；

(3)若0<a<lvp<2,求实数a的取值范围；

(4)请归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两实根都在不同区间内的等价条件.

3.关于x的方程4、+(a+4)2x+l=0有解，求实数a的取值范围.

【巩固练习】

1.若关于x的二次方程2(k+l)x2+4kx+3k-2=0的两根同号，则实数k的取值范围为——

()

(A)(-2,1)(B)[-2,-l)Y(pl]

22

(C)(-a)-l)Y(-,-Ko)(D)(-2-l)Y(-,l)

2.已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2mT=0的两根异号，且负根的绝对值大于正根，则实

।,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,

()

(A)(-3,0)(B)(0,3)

(C)(-8,-3)u(0,+8)(D)(-8,o)(j(3,+8)

3.求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2(m-l)x+2m+6=0

(1)有两个实根，且都大于1;

(2)有两个实根，且一根小于2,另一根大于2；

(3)有两个实根a,B,且0<a<l<6<4.

4.已知关于x的方程为x2+(p+2)x+l=0.

(1)若方程无正根，求实数p的取值范围；

(2)若方程在(-8,0)上有解，求实数p的取值范围.