第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第04讲基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲基本不等式及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：基本不等式及其应用 2题型二：直接法求最值 3题型三：常规凑配法求最值 3题型四：化为单变量法 3题型五：双换元求最值 3题型六：“1”的代换求最值 4题型七：齐次化求最值 4题型八：利用基本不等式证明不等式 4题型九：利用基本不等式解决实际问题 5题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值 6题型十一：三角换元法 7题型十二：多次运用基本不等式 8题型十三：待定系数法 8题型十四：多元均值不等式 8题型十五：万能K法 9题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 9题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 9题型十八：整体配凑法 1002重难创新练 10真题实战练 12题型一：基本不等式及其应用1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（

）A． B．C． D．2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．题型二：直接法求最值4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为.5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且满足，则的最小值为.6．若，则的最小值为．题型三：常规凑配法求最值7．若，则的最小值是．8．若，则函数的值域是.9．若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值题型四：化为单变量法10．若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．12．已知正数x，y满足，则的最小值为.13．已知，若，则的最小值为.题型五：双换元求最值14．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．15．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为．题型六：“1”的代换求最值16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为18．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为.19．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为.题型七：齐次化求最值20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为.21．已知，，，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．题型八：利用基本不等式证明不等式22．已知，，为正数，函数.(1)若，求的最小值；(2)若且，，不全相等，求证：.23．不等式选讲已知均为正实数，函数的最小值为4．(1)求证：；(2)求证：．24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．题型九：利用基本不等式解决实际问题25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）

A． B．C． D．26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．1081827．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（

）A． B．C． D．以上都有可能28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中.当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（

）A．存在和，使得不变B．存在和，使得变为原来的倍C．若，则最多可变为原来的倍D．若，则最多可变为原来的倍29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．31．（多选题）已知位于第一象限的点在曲线上，则（

）A． B．C． D．32．（多选题）设正实数，，且满足，则（

）A． B．C． D．33．（多选题）已知，，，则下列说法正确的是（）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为题型十一：三角换元法34．（多选题）由知实数a，b满足，则（

）A．ab的最大值为B．的最大值为C．D．当时，的最大值为35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数，满足，则（

）A．B．的最大值为C．D．的最大值为36．（多选题）若，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型十二：多次运用基本不等式37．已知，则的最小值为.38．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（

）A． B． C． D．或39．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．240．已知则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．5题型十三：待定系数法41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数，，不全为0，则的最大值为（

）A． B． C． D．42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型十四：多元均值不等式43．已知，则的最小值为.44．函数的最小值是（

）A． B．3 C． D．题型十五：万能K法45．已知实数满足，则的最大值为.46．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．47．（2024·高三·重庆·期中）已知x，，且，则的最大值为．题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式成立，则λ的最大值为49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．50．若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题51．已知，向量，则的最大值为.52．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为．53．（2024·四川南充·二模）在中，，，分别为内角，，的对边．已知，．则的最小值为．54．（2024·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型十八：整体配凑法55．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（用表示）．56．对于正数，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．57．已知，且，则的取值范围为.58．若，则的最小值为.1．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数满足，则有最小值4B．若正实数满足，则C．的最小值为D．若，则2．（2024·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（

）.A． B． C． D．5．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．6．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．7．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．38．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（多选题）（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为10．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（

）A．且 B．C． D．11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B． C． D．12．（多选题）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正数满足，下列结论中正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为2C．的最小值为 D．的最大值为113．（2024·湖北黄石·三模）设，，若，则的最小值为，此时的值为.14．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是.16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若，，且，则的最小值为．1．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为．2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．3．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数满足，则的最小值为A． B．2 C． D．45．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元 B．120元C．160元 D．240元6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设a+b=2,b>0,则的最小值为.7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设，且，则的最小值为8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数、、满足，，则的最大值为.第04讲基本不等式及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：基本不等式及其应用 2题型二：直接法求最值 4题型三：常规凑配法求最值 5题型四：化为单变量法 6题型五：双换元求最值 7题型六：“1”的代换求最值 8题型七：齐次化求最值 9题型八：利用基本不等式证明不等式 10题型九：利用基本不等式解决实际问题 12题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值 15题型十一：三角换元法 18题型十二：多次运用基本不等式 21题型十三：待定系数法 22题型十四：多元均值不等式 23题型十五：万能K法 23题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 25题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 26题型十八：整体配凑法 2702重难创新练 28真题实战练 36题型一：基本不等式及其应用1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接，由题知，，所以，即，因为，所以，所以，即，因为，，所以，，所以所以由可以证明故选：D2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，，，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：.3．下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；C：恒成立，故C正确；D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；故选：C题型二：直接法求最值4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为.【答案】【解析】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且满足，则的最小值为.【答案】【解析】因为，所以，则，当，即或时取等号，所以的最小值为.故答案为：.6．若，则的最小值为．【答案】【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：题型三：常规凑配法求最值7．若，则的最小值是．【答案】3【解析】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．8．若，则函数的值域是.【答案】【解析】∵.当时，，当且仅当，即时取等号；故函数的值域为.故答案为：.9．若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A题型四：化为单变量法10．若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，可消去得到，则，令，，当时，，故的最大值为．故选：C．11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为正实数、、满足，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D.12．已知正数x，y满足，则的最小值为.【答案】12【解析】由，可得，即，代入中，可得当且仅当时，取等号，所以的最小值为12.故答案为：12.13．已知，若，则的最小值为.【答案】【解析】由，且，可得，则，设，可得且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.题型五：双换元求最值14．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．【答案】12【解析】令，，则，，且，，所以，．又，所以，当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：1215．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：8题型六：“1”的代换求最值16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为.【答案】5【解析】对于函数，令，可得，可知，若点在直线上，则，即，则，且，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5.故答案为：5.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为【答案】1【解析】因为，且，所以，因为，当且仅当时，取到等号，所以，即的最小值为1.故答案为：118．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为.【答案】6【解析】时，，函数，且的图象恒过定点，定点在直线上，,由，当且仅当时取等号.即当且仅当时，取得最小值为.故答案为：6.19．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为.【答案】/【解析】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是．故答案为：．题型七：齐次化求最值20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为.【答案】/【解析】正实数满足，有，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：21．已知，，，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，将代入得，令，，，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值，即的最小值是.故选：D.题型八：利用基本不等式证明不等式22．已知，，为正数，函数.(1)若，求的最小值；(2)若且，，不全相等，求证：.【解析】（1）由题意得，∴，∴当时，函数取得最小值4.（2）∵，，为正数，且，∴，∴要证，即证.∵，当且仅当时取等号.又，，不全相等，∴，即.23．不等式选讲已知均为正实数，函数的最小值为4．(1)求证：；(2)求证：．【解析】（1），，当且仅当时取等号，，要证，只要证，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，．（2）由基本不等式得，以上三式当且仅当时同时取等号，将以上三式相加得，即．24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【解析】（1）（2）因为，所以，所以．因为，，所以，当且仅当时，等号成立，则，即的最小值是2．（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以．当且仅当时，等号成立则，即，当且仅当时，等号成立．题型九：利用基本不等式解决实际问题25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因为四边形木板的一个内角满足，如图，设，由题设可得圆的直径为，故，因，为三角形内角，故，故，故，故，故，当且仅当时等号成立，同理，当且仅当等号成立，故四边形周长的最大值为，故选：A.26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米，，当且仅当，即时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为元.故选：C27．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（

）A． B．C． D．以上都有可能【答案】A【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即，，所以，，又因为，所以.故选：A28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中.当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（

）A．存在和，使得不变B．存在和，使得变为原来的倍C．若，则最多可变为原来的倍D．若，则最多可变为原来的倍【答案】D【解析】设当不变，与均变为原来的倍时，，对于A，若，则，故A错误；对于B，若和，则，故B错误；对于C，若，则，即若，故C错误；对于D，若，由，，可得，故D正确.故选：D.29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【解析】设安排男社员名，女社员名，根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选：B.题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确；因为，所以，所以，B错误；因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误；由整理，得，当且仅当时等号成立，所以，D正确．故选：AD．31．（多选题）已知位于第一象限的点在曲线上，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由题意可得，且，，对A：由，即，故，故A错误；对B：，当且仅当时，等号成立，即，故B正确；对C：，当且仅当时，等号成立，故C错误；对D：由，故，故，，故D正确.故选：BD.32．（多选题）设正实数，，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A项，由可得：，因，故，将其代入可得：当且仅当时等号成立，故A项正确；对于B项，由可得，因，故得：，则，当且仅当时等号成立，故B项错误；对于C项，由，设，由上分析知，，则在上单调递增，故，即C项错误；对于D项，由，由上分析知，则，故，即，故D项正确.故选：AD.33．（多选题）已知，，，则下列说法正确的是（）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】AD【解析】A选项：，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，A选项正确；B选项：，当且仅当，即，时等号成立，B选项错误；C选项：由，得，，则，设函数，，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，C选项错误；D选项：，当且仅当，即，时等号成立，D选项正确；故选：AD．题型十一：三角换元法34．（多选题）由知实数a，b满足，则（

）A．ab的最大值为B．的最大值为C．D．当时，的最大值为【答案】AC【解析】对于A中，由不等式，可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以B不正确；对于C中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，即，设，则，设，可得，可得，因为，可得，即，不妨设，可得则，所以又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确.故选：AC.35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数，满足，则（

）A．B．的最大值为C．D．的最大值为【答案】ACD【解析】对于A选项，由，得，所以，当且仅当时取“=”，故A正确；对于B选项，令且，则，其中，，又，所以的最大值为1，所以的最大值，故B错误；对于C选项，由B中的分析知，，其中，，又，所以，故C正确；对于D选项，令，则，且，所以当时，取最大，故D正确.故选：ACD.36．（多选题）若，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，故A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，故C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，故D正确．故选：BCD．题型十二：多次运用基本不等式37．已知，则的最小值为.【答案】【解析】由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.38．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，又，所以，所以，当且仅当，即，或取等号，所以或.故选：D39．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】实数a，b满足ab＞0，则，当且仅当且，即或时等号成立．故选：C．40．已知则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．5【答案】C【解析】题型十三：待定系数法41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数，，不全为0，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意实数，，不全为0，，当且仅当时，等号成立.故选：D.42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．题型十四：多元均值不等式43．已知，则的最小值为.【答案】【解析】依题意，，则，且，，当且仅当时等号成立.故答案为：44．函数的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】设，则，，因为，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以.故选：D.题型十五：万能K法45．已知实数满足，则的最大值为.【答案】/【解析】原方程可化为，故，故，故，当时，，故的最大值为，故答案为：46．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.故选：B.47．（2024·高三·重庆·期中）已知x，，且，则的最大值为．【答案】/【解析】设，由得，，解得，时，，故答案为：.题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式成立，则λ的最大值为【答案】/【解析】因为都为正数，则不等式成立，即为成立，又由，当时，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式对任意恒成立，则，成立，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以实数的取值范围是.故选：B50．若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题设，当且仅当时取等号，又恒成立，即.故选：A题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题51．已知，向量，则的最大值为.【答案】/0.125【解析】由题意知，故，又，所以，故，当且仅当，结合，即时取等号，故的最大值为，故答案为：52．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为．【答案】6【解析】如图，，，则，由，则，当时，等号成立，即的最大值为6，此时三棱柱的体积最大，最大体积为.故答案为：653．（2024·四川南充·二模）在中，，，分别为内角，，的对边．已知，．则的最小值为．【答案】【解析】因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：54．（2024·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为锐角，所以，由题意可得，当且仅当时取等号，故的最大值为，故选：A．题型十八：整体配凑法55．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（用表示）．【答案】【解析】因为是正实数，，所以，当且仅当时取等号，于是，所以的最大值为.故答案为：56．对于正数，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知：，因为都是正数，所以（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），化简可得，解得，故C正确.故选：C.57．已知，且，则的取值范围为.【答案】【解析】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即，解得或（舍），所以的取值范围为.故答案为：.58．若，则的最小值为.【答案】4【解析】由完全平方公式可知：，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号.故答案为：4.1．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数满足，则有最小值4B．若正实数满足，则C．的最小值为D．若，则【答案】D【解析】对于A，若正实数满足，则，而当时，有，，从而的最小值是，故A正确；对于B，若正实数满足，则，故B正确；对于C，设，则，由对勾函数单调性得最小值是，故C正确；对于D，当，时，有，但，故D错误.故选：D.2．（2024·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，平方得，当且仅当，即，时取得等号，故取得最小值时，.故选：A.3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A：由，故，即，故A错误；对B：由，，则，且，当且仅当时，等号成立，故，故B正确；对C：由，故，即有，又由B可得，即，故C错误；对D：由，故，即，故D错误.故选：B.4．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】若为奇函数，则，所以，则，整理得，又因为，奇函数的定义域满足，即，结合可得，即，故所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值.故选：B.5．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】由题，构造函数，则，显然在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为0.故选：A.6．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】，当且仅当时，等号成立.故选：D.7．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因为，所以，因为，，所以.当且仅当，即时取等.故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以．因为，令，则，，所以，由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，所以当时，，所以.故选：B．9．（多选题）（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】AC【解析】对A：由，得，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对B：由，得，所以，当且仅当时取等号，故B错误；对C：由，得，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对D：由，得，所以，当且仅当时取等号，故D错误.故选：AC.10．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（

）A．且 B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；对于B，，，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，，，则，则，当且仅当，即时取等号，C错误；对于D，由于，故，当且仅当时取等号，而，故，D正确，故选：ABD11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】，，且，，当且仅当时取等号，故A正确.，，且，，，，，故B正确.由，得，当且仅当时取等号，，故C错误.，又，，故D错误.故选：AB.12．（多选题）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正数满足，下列结论中正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为2C．的最小值为 D．的最大值为1【答案】AC【解析】由可得，对于A,，当且仅当时，即,时取等号，故A正确，对于B,，当且仅当时，即时等号成立，但此时，故等号取不到，故B错误，对于C，，记，当单调递增，当单调递减，故，故的最小值为，故C正确，对于D，由于，