第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第03讲等式与不等式的性质（五大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等式与不等式的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：不等式性质的应用 2题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 2题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 2题型四：不等式的综合问题 3题型五：糖水不等式 302重难创新练 403真题实战练 6题型一：不等式性质的应用1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．2．（多选题）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（多选题）下列不等式中，推理正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（多选题）已知，下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式5．设，，则、的大小关系是.6．若，，则与的大小关系为.（用“”连接）7．若，则、、、中最小的是.8．，则的大小关系为．题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围9．（多选题）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．ab的取值范围为 D．的取值范围为10．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．12．（多选题）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．题型四：不等式的综合问题13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为．15．（多选题）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10题型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填满足题意的一个值即可）．17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；(2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（）18．（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．当时，．19．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（

）A． B．C． D．1．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（

）A． B．C． D．4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．8．已知，则（

）A． B．C． D．9．（多选题）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知，，且，则（

）A．， B．C．的最小值为，最大值为4 D．的最小值为1211．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，则12．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．当最小时，13．若，，，则的取值范围为14．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种购物策略比较经济.15．（2024·湖北·三模）若实数x，y，z，t满足则的最小值为.16．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是．1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））已知实数满足，则下列关系式恒成立的是A．B．C．D．3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））若，，则A． B． C． D．4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A． B． C． D．5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））若则一定有A． B． C． D．6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为.7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知且，则的取值范围是（答案用区间表示）8．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题）设实数满足，则的最大值是_________第03讲等式与不等式的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：不等式性质的应用 2题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 3题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 4题型四：不等式的综合问题 5题型五：糖水不等式 702重难创新练 903真题实战练 16题型一：不等式性质的应用1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C2．（多选题）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，取，满足，取，有，A错误；对于B，由，得，而，因此，B正确；对于C，取，，C错误；对于D，由，得，因此，D正确.故选：BD3．（多选题）下列不等式中，推理正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【解析】对于A中，例如，此时，所以A错误；对于B中，若，可得，则，所以B错误；对于C中，由，可得，可得，即，所以C正确；对于D中，，由不等式的性质，可得，所以D正确.故选：CD.4．（多选题）已知，下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】时，由函数在上单调递增，有，即，移项得，故A选项正确；由基本不等式，时，，因为，等号不成立，所以，故B选项正确；若，，则，故C选项正确；若，则，不一定成立，如，，满足且，不成立，故D选项错误.故选：ABC．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式5．设，，则、的大小关系是.【答案】/【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以.故答案为：6．若，，则与的大小关系为.（用“”连接）【答案】【解析】，因为，，则，，所以.故答案为：.7．若，则、、、中最小的是.【答案】【解析】因为，所以，，因为，，所以，即故答案为：8．，则的大小关系为．【答案】≥【解析】因为，则由所以故答案为：题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围9．（多选题）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．ab的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AC【解析】因为，，所以，，，所以，的取值范围为，的取值范围为，故A选项正确，B选项错误；因为，，所以，，，，所以，ab的取值范围为，的取值范围为故C选项正确，D选项错误.故选：AC10．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，则，又，所以.故选：C11．已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，，所以，即，故选：D12．（多选题）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.题型四：不等式的综合问题13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，故，由得，解得，故.故答案为：14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为．【答案】2【解析】若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2．故答案为：2.15．（多选题）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABD【解析】由题可知：所以所以原式原式，由a，b＞0，所以又故故选：ABD题型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填满足题意的一个值即可）．【答案】0（答案不唯一）【解析】因为，所以，所以，所以或.使糖水不等式不成立的的值可以是0.故答案为：0(答案不唯一)17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；(2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（）【解析】（1）不等式：已知，，则.证明：，因为，则，所以，即.（2）答：小明同学判断正确，理由如下：两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值，不妨设（），记（），化简得，又，则，当且仅当，即时，的最大值小于，综上：添加克糖前后的两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于.18．（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．当时，．【答案】ABC【解析】由，则，若，若，则，故；若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC19．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；所以.故选：A.1．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以错误；令，此时与无意义，所以错误；因为，所以由不等式的性质可得，所以正确；令，则，所以错误.故选：.2．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当时，解得；当时，解得，所以，即，A，B错误.当时，，C错误.因为在上单调递减，在上单调递增，所以，即，D正确.故选：D.3．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于AC，当时，，所以，故A正确，C错误；对于B，当时，，故B错误；对于D，，因为，所以，故D错误.故选：A.4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，，即，，即，则充分性成立；若且，当时，，当时，，则必要性成立；综上所述：“”是“，且”的充分必要条件.故选：C.5．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可得，因为，的符号不确定，推不出，故不满足题意；由，可得，反之当，时不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故满足题意；因为，，所以，不满足题意.故选：.6．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知为正数，且，所以，化简得，解得，当且仅当时取等号，所以，故A正确.故选：A.7．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，，，且，A错误；对于B，，，，即，B正确；对于C,，C错误；对于D，，，即，故D错误.故选：B8．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，，故C错误，对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确，故选：D9．（多选题）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】且，则，，则，A正确；因为，，所以，B错误；因为，，，当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误；因为，当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正确.故选：AD10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知，，且，则（

）A．， B．C．的最小值为，最大值为4 D．的最小值为12【答案】BD【解析】对于选项A:由已知得，，则，.故A错误；对于选项B:令，则在单调递减，在单调递增，得，故B正确；对于选项C:结合题意可得，令，则在上单调递增，得，故C错误.对于选项D:设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以.故D正确.故选:BD.11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，则【答案】ABD【解析】对于A，由及，得，所以，A正确．对于B，由及，得，所以．同理可得．又，所以，所以，B正确．对于C，由及，得，所以，得，所以，得，C错误．对于D，由，得．由，得．因为，所以，所以，D正确．故选：ABD．12．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．当最小时，【答案】BCD【解析】对于A中，当时，，所以A错误；对于B中，由，可得，所以B正确；对于C中，因为，所以，又因为，所以等号不成立，，所以C正确；对于D中，由的最小值，即为数轴到和的距离之和最小，当且仅当时最小，此时，所以D正确.故选：BCD.13．若，，，则的取值范围为【答案】【解析】设，则，解得：，，则，而由，可得，再由，可得，所以，即，可得.故答案为：.14．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】设第一次和第二次购物时价格分别为，按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，两次购物的平均价格，比较两次购物的平均价格，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.15．（2024·湖北·三模）若实数x，y，z，t满足则的最小值为.【答案】【解析】因为，所以,所以，当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为：.16．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是．【答案】2【解析】设，则，，，因，则得．又因，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．故答案为：2.1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，