高中数学必修4北师大版第三章三角恒等变形教案

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案

第一课时§3.1.1两角和及差的余弦（一）

（一）教学目的：1、学问目的：（1）利用向量的数量积去发觉两角差的余弦公式；2）敏捷正反

运用两角差的余弦。2、实力目的：（1）通过求两个向量的夹角，发觉两角差的余弦，培育学生融

会贯穿的实力。（2）培育学生留意学问的形成过程。3、情感目的：通过公式的推导，更进一步发

觉“向量”的强大作用。

（二）教学重点、难点

重点：（1）两角差的余弦；（2）敏捷应用两角差的公式解决问题

难点：（1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的敏捷应用

（三）教学方法：本节主要是采纳数形结合的思路，由代数的精细推导和几何的直观性，推导出

两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回来特殊

应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易承受。

（四）教学过程

教学教学内容师生互动设计意图

环节

复习复习向量的数量积以及它的主要作学生答复，教师写副板书；以旧

引入用：求两个向量夹角的余弦值。写出向量的数量积以及它的变带新，留意

正板书：形（求夹角的余弦值）创设问题

例1:已知向量师：求向量夹角的余弦值，应的情境，为

a=(cos45",sin45"),具备哪些条件？引出新课

生：应当求出两个向量的数量程打根底。

B=(cos30",sin30"),求〈Z,3>的余弦

积以及它们各自的模通过

解：|a|=Jcos245"+sin2450=l师：答复很好。我们先来求这这道题一

|在7cos2300+sin2300=1两个向量的模以及它们的数量来稳固向

积。量积，二来

a-b=(cos45”,sin45")•(cos30",sin301')

生：上黑板板书。为引出两

=cos45"<0$30"+sin45°-sin30"角差的余

=弦做好打

cos<a,b>==算。

卜先通过代

r数方法来

师：下面我们来看看这道题的求；

几何说明。

V

由上面的代数解法可知，它们

的模都是1,这说明它们都在单

位圆上。（给出幻灯片或边说边

画）从几

即何图形上

假如OA=a,OB=b,则

cos15°=直观的反

ZA0B=<a,^>=15°；通过图形可

响这道题。

ccs45"・ccs30”-+sin45"-sin30"

知，事实上我们求的就是

cos15"

加深师：思索题：请同学们依据上让学生深

练习1：向量Z=(cosl05",sinl05")及

同学述想法来看这道题入理解和

向量分=（cos，45",sin45")夹角的余弦值

们从驾驭通过

yih

几何师：提示学生从几何图形方面图形可以

图形想问题。并找学生答复。解决两个

J,

上进生：在坐标系的单位圆中画出向量夹角

一步向量ZB，由图形可知，这两的余弦

理解

个向量的夹角是60°,所以它们

两个利用向量

夹角的余弦值是L

J

向量解：cos<a,h2积公式动

2

夹角身来求，遇

的余到的困难

弦是“求不

出向量

积”；逼着

学生从几

何角度想

问题。

公式公式cos(a—B)的推导，以及公式的师：假如上述图形中NXOA=a,由特殊到

的推构造。ZXOB=P,那么向量苏,0B一般。推导

导以练习2：设/方加=a,庐B,那么向出两角差

夹角的余弦值是多少？

及理量而，丽夹角的余弦值是多少？的余弦。

生：点A(cosa,sina),点

解

解：点A(cosa,sina),点

B(cos/?,sin6)，那么

B(cos/7,sin£)，

OA=(cosa,sina),

那么。4=(cosa,sina),

QB=(cos/7,sin尸)

08=(cos四sin4)所以cosZAOB=cos(a-0)

所以cosZAOB=cos(a—P)=cos<a,b>=cos<a,b>

==cos<z-cos/?+sin6r-sin[3

coscr•cos尸+sincr•sin/?师：特别好。我们留意到在推

总结：导过程中，角a,B没有任何

cos(a—限制。所以cos()

B)=cosacosB+sinasinB.二cosa・cos/?+sina・sin(3

4

公式例J2：已知cosQ=----()，求cos()师：请看这道题强化公式

5

的应4的应用

解：因为COSQ二——，且

用5

3

所以sina==—生：由a的余弦求出a的正

5

冗JITT

因止匕cos()=cos—cosa+sin—sina=弦，而生是特殊值，由两角差

666

练习2：的余弦公式可以求出

P135练习B1(1)3(2)4(2)

U1纳本节主要是从向量的数量积以及利依靠板书，及学生共同总使学生对

小结用向量在单位圆中的图形两种思路讨论结本节课的内容。本课的学

了两角差的余弦公式的推导。问点有一

个完成得

清楚的相

识，表达了

由特殊到

一般，以及

数形结合

的教化思

想。

布置P131：习题3-1A3；2(5)课后思索：两角和的余弦公式稳固本节

作业课所学的

学问。留意

公式的形

成过程。

五、教后反思:

第二课时§3.1.两角和及差的余弦（二）

（-）教学目的：1、学问目的：驾驭公式构造特点，会用公式求值.2、实力目的：培育学生的

视察，分析，类比，联想实力，间接推理实力，自学实力.3、情感实力：开展学生正向，逆向思

维实力，构建良好的数学思维品质.

（二）教学重点，难点

重点是公式的构造特点，会用公式求值.

难点是公式的逆向和变形运用.

（三）教学方法：教师依据课本的学问构造先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课

本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进展读，议，练，

讲，其间教师通过提问，参及讨论，巡察学生练习及板演，视察学生心情等渠道，刚好搜集反响

信息，刚好作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中.

（四）教学过程

教教学内容师生互动设计意图

学

环

节

先让学生默写两角和及差的余弦公以旧引

复习公式式，然后指出这两个公式是讨论复角新，留意

复cos(a+⑶=cosacos尸一sinosinp。士夕及单角/£的余弦函数间的关创设情

习境，通过

cos[a-/3^=cosacosyff+sinsinf3系，且此关系对随意角％夕均成立，

设疑，引

并且要留意

引导学生开

cos(a一⑶=cosa-cosJ3日

入展主动的

错误的.思维活

cos(a+/?)=cosa+cos/?动.

例1学生练习，板演，教师讲评留意例1是使

几个问题：学生驾驭

cosa=a")

例1、已知52,(1)特殊角不须要查表，干脆求出公式的正

求.三角函数值.向应用，

公(2)再求sina时，要留意角的取值并进一步

熟识公式

范围，三角函数值的正负.

式的特征，

(3)代入时，从左至右依次代入.

为后面的

(4)留意

的敏捷运用

cosacos〃一sinasinp=cos(cr+尸)

cosacos/+sinasin°=cos(a-(3]奠定根

运底.

可以象上面这样逆用.

用

变式1教师讲评留意几个问题：

(1)将月看作一个整体，£角变式1是

变式1:已知一个典型

山(£+夕)一二得到.

1/611例题，在

cosa=—cos(ar+p)=-—

(2)应用公式

变式中留

且％力均为锐角，求cos77.cosp=cos[(a+/?)—a]意配凑公

式，对它

=cos(of+p)cosa-sin(a+/3)sina

的解法深

(3)由得到°a+0万，再进一化讨论，

步参考.确定sin(e+月)的值.有益于启

发学生

思维，进

步学生的

解题实

力,且在

解题过程

中提炼思

想方法，

有利于培

育学生良

好的思维

品质.

c例2学生练习，教师讲评留意两个问例2要求

例2利用5+0证明：

题：学生用两

cos[a+(2k+1)句=-cosa*eZ)

公式(1)方法1可以按和差角的余弦公种方法来

的运式干脆绽开，将(2女+1)万看作一个整做，培育

用学生良好

体角.

的思维品

(2)方法2也可以

质.

(24+1))=2左左+〃，再按诱导公

式进展运算.

通过这个

练习1运用平方法将两个等式平方，练习，培

练习1,已知sinx+siny=0.4,然后相加，利用育学生良

好的发觉

cosx+cosy=1.2

只剩下cosxcosy+sinxsiny问题问题解决

求

公式cos(x-y)问题的实

得解.思维过程可以逆向，(考虑由

的运力.

cos(x-y)入手，找寻

用

coss8sMsin%siny想到平方)

使学生对

归纳所学内容

小结从学问，方法两个方面来对本节课的内对公式做到一驾驭，二会想，三会用.有一个清

容进展归纳总结.楚完好的

相识

思索题：1、已知cos()二工求稳固本课

3

布置.所学学

(sin+sin)2+(cos+cos

作业教材练习3.1B2,3问，培育

产的值。

教材P131页1学生自觉

2>sinsin=—,coscos

2学习的习

2惯，

(0,g),(0,J),求

22

cos()的值

五、教学反思:

第三课时3.1.2两角和及差的正弦

一、教学目的：1.学问目的：驾驭两角和及差公式的推导过程；

2.实力目的：培育学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理实力;

3.情感目的：开展学生的正、逆向思维实力，构建良好的思维品质。

二、教学重点、难点

重点：两角和及差公式的应用和旋转变换公式；

难点：两角和及差公式变aS勿为一个角的三角函数的形式。

三、教学方法：温故、推新，按部就班，以学生为主体逐步驾驭本节学问要点

四、教学过程

教学环节教学内容师生互动设计意图

复习引入复习：⑴±B）=?学生答复为证明

⑦Sin(觉/2—a)=?Sin，。土

⑶随意角三角函数的定义：£）作好

若p(x,y)\op\=r打算。

则Sina=?Cosa=?

公式推导及理例：求证:分析：等式两边的特征？留意分

解Sin(a+B)=SinaCosB+CosaSinB如何由左f右把。的析，使学

证明：（略）正弦化成。、£的正、余生理解学

弦？联络所学学问，已学间间的互

过的哪一个公式可把a+相转化。

£的三角函数化成a、B

的函数形式？（学生答复）

故须要把（a+B）的正弦

化成及。的相关的余

弦形式即可。

问：应化成哪

个角的余弦形式？

TT

问：Cos[——(a+B)]又

2

如何绽开才可得到a、J3

求证：稳固

的正、余弦形式？

Sin(。一P)=SinaCosB-CosaSinSin(a+

s的推

学生证明

导过程。

公式的深化(标题)两角和及差的正弦

Sin(a+p)=SinaCos£+CosaSin£

Sin(a—P)=SinaCosB—CosaSin练习：

BP138/2⑴一⑸，3

(1)公式的特征及及两角和及差

的余弦的区分稳固公式

(2)公式的作用

正用：求非特殊角的正弦值。如：求

Sin75°=?Sinl50=?

逆用：把具有角。、£的正余弦穿插

积的形式化简求值。如Sin22°

Cos380+Cos220Sin380=?

公式的应用例1：已知向量。p=(3,4)逆时针旋转问题：求点p'(X'，y')培育学生

的坐标必需知怎样的条的分析实

45°至1。0的位置，求点p'(x',

件？力和运算

y')的坐标。

由所给点P的坐标可知哪推理实力

解：(略)

些结论？

师生共同完成解答过程

若把向量3=(3,4)改为

op二(x,y),结论变吗？

再把45°改为0,对结论

例2：已知点P(x,y)及原点的间隔有影响吗？

保持不变，逆时针旋转9角到点学生证明。

p'(x-,y')

求证：x'=xCos6—ySin0问：公式的记忆规律？

y'=xSin0+yCos0问题：欲求函数

证明：（略）y=aSinx+bCosx的最值和

周期，必需化成什么形

式？已知表达式中的

注：这个结论叫旋转变换公式Sinx、Cosx系数变成同一

个角0的余弦、正弦方可。

练习：P139/2设P（a,b）,则

\op\=y]a2+b2设以op为

例3：求函数y=aSinx+bCosx的最大值

终边的一个角为0,则Cos

和最小值，其中a,6是不同时为零的

0、Sin0即可用a、b表

实数。

示此时需对

解：（略）

y=aSinx+bCosx做怎样的

变形？

注：凡形如的相关问题，一般提出

yla2+b2去处理。

问题：y=aSinx+bCosB还

练习：（1）求y=Sinx+Cosx的最值和可提吗？

周期

学生练习

（2）p138例5

学生看书

归纳小结本节所学学问：Sin（a土B）公式的推师生一起总结培育学生

作业导及Sin（a±8）的应用＜,的归纳整

P132/A4,B1,3理的学习

习惯

五、教学反思:

第四课时3.1两角和及差的正弦、余弦函数

教学目的

L学问及技能：（1）可以推导两角差的余弦公式；（2）可以利用两角差的余弦公式推导出两角差

的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）可以运用两角和的正、余弦公式进展化简、求值、证

明；（4）提醒学问背景，引发学生学习爱好；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习看

法，强化学生的参及意识.

2.过程及方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量

作为一种有效手段的同时驾驭两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两

角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，稳固练习.

3.情感看法价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和及差的三角函数有了一个全新的相识：

理解驾驭两角和及差的三角的各种变形，进步逆用思维的实力.

二.教学重、难点：重点：公式的应用.

难点：两角差的余弦公式的推导.

三.学法及教学用具

学法：（1）自主性学习法：通过自学驾驭两角差的余弦公式.（2）探究式学习法：通过分析、探究、

驾驭两角差的余弦公式的过程.（3）反响练习法：以练习来检验学问的应用状况，找出未驾驭的内

容及其存在的差距.教学用具：电脑、投影机.

四.教学过程

（一）、复习：1、写出两角和及差的余弦公式，说说它是如何推导的。

2、写出两角和及差的正弦公式，说说它是如何推导的。

3、说说公式构造的特征。

（二）、例题解析：

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值

（1）、sin72cos42—cos72sin42；（2）、cos20cos70—sin20sin70；

解：分析：解此类题首先要学会视察，看题目当中所给的式子及我们所学的两角和及差正弦、余

弦和正切公式中哪个相象.

（1）、sin72cos42-cos72sin42=sin（72-42）=sin30=；；

（2）、cos20cos70-sin20sin70=cos（20+70）=cos90=0；

例2、己知是第四象限角，求sin任一a,cos7+a的值.

4

解：因为是第四象限角，得cosc=Jl-sin2a=

5

71.万兀.V24V2<3>|772

，于是有sin--6Z=sin—cosa-cos—sina=——x--------x——=------

44252I5j10

（1•,万）cosZ?=-',夕是第三象限角，求cos（c—⑶的直

例3、己知，a€

解：因为,

12

又因为是第三象限角,所以sin(3=-ijl-cos2P-

13

33

所以cos(6Z一万)=cosacos夕+sinasin0=

65

点评：留意角a、夕的象限，也就是符号问题.

例4、化简0cosx-遍sinx

解：此题及我们所学的两角和及差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发觉规律呢？

16.1

V2cosx—V6sinx=2V2—cos尤----sinx=272(sin30cosx-cos30sinxsin（30-x

(227

思索：20是怎么得到的？2及="、历『+（指『，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等

于一和-^――的.

22

（三）、小结：本节我们学习了两角和及差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要

擅长发觉规律，学会敏捷运用.

（四）作业：习题3.1A组第1,2,3题.

五、课后反思：

第五课时3.1.3两角和及差的正切函数

一、教学目的

1、学问及技能：（1）可以利用两角和及差的正、余弦公式推导出两角和及差的正切公式；（2）可

以运用两角和及差的正切公式进展化简、求值、证明；（3）提醒学问背景，引发学生学习爱好；

（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习看法，强化学生的参及意识.

2、过程及方法：借助两角和及差的正、余弦公式推导出两角和及差的正切公式，让学生进一步体

会各个公式之间的联络及构造特点；讲解例题，总结方法，稳固练习.

3、情感看法价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和及差的三角函数有了一个全新的相识：

理解驾驭两角和及差的三角的各种变形，进步逆用思维的实力.

二、教学重、难点：重点：公式的应用.难点：公式的推导.

三、学法及教学用具

学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探究、驾驭两角和及差的正切公式的

推导过程。(2)反响练习法：以练习来检验学问的应用状况，找出未驾驭的内容及其存在的差距。

教学用具：电脑、投影机

四、教学过程

【探究新知】

1.两角和及差的正切公式T+,T

问：在两角和及差的正、余弦公式的根底上，你能用tan,tan表示tan(+)和土211(

)吗？(让学生答复)

［展示投影］Vcos(+)0

tan(+)=sin(a+0=sinacos-+cosasin£当cos。时

cos(a+p)cosacos/7-sinasin0

分子分母同时除以COSCOS得：tan(+尸

,,tan()=

以代得：

2.运用此公式应留意些什么？(让学生答复)

［展示投影］留意：1必需在定义域范围内运用上述公式。即：tan,tan,tan(±)

只要有一个不存在就不能运用这个公式，只能(也只需)用诱导公式来解；2留意公式的构造,

尤其是符号。)

［展示投影］例题讲评(学生先做，学生讲，教师提示或适当补充)

例1.求tanl5,tan75及cotl5的值：

3

解：1tan15=tan(4530)=—='12-3*6^=2-73

.V33+V36

1H------

3