高等数学一所学内容-知识点总结(包含自考真题)

高等数学一所学内容-知识点总结

第一章函数

第二章极限与连续

第三章导数与微分

第五章一元函数积分学

第六章多元函数微积分

第一章函数

1.1.1初等代数的几个问题

1.一元二次方程

关于X的方程ax2+/?x+c=0(3芋0),称为一元二次方程，八=产_板称为此方程的判别式.

(1)求根公式：

_-占土”2-Aac

当△>()时，方程有两个不同的实根：2a

—b

再2=--

当△=()时，方程有一个二重实根：2a

-b+i\4-ac-b2

当时，方程有一对共乐•复根：2a

(2)根与系数的关系(韦达定理):

bc

K[+32=---，演巧=一

aa

(3)一元二次函数(抛物线)：y=ax+bx+c(a丰0),

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下.

对称轴

b

x=------

2a

b4ac-b2

顶点坐标「赤’钻

例1.若f+x2+ax+6能被x?—3x+2整除，则入。是多少？

结论：多项式大(x),g(x).若大(x)能被g(x)整除，则g(x)=0的根均为f(x)

=0的根.

a+b+2=0

解：令x?—3x+2=0,解得x=1或2,代入被除式得2a+b+12=0

卜=-10

V=8

解得

2.二元一次方程组

「呼+”二q

两个未知量x,y满足的形如1中+3二与的方程组称为二元一次方程组.

曳H旦

当时与与，方程组有唯一解;

良-包工之

当时与EQ,方程组无解；

曳_殳一旦

当时若一丁己，方程组有无穷多解.

fx+2j=4

例2.已知方程组i2工+少=2。

(1)若方程组有无穷多解，求a的值；

(2)当a=6时，求方程组的解.

124

解：(1)因为方程组有无穷多组解，所以厂片方，

解得3=4.

x+27-4

{2X+67-12,

fx-0

解得d2

3.不等式

(1)一元二次不等式

考虑不等式ax+bx+c>Q,如果记一元二次方程ax+bx+o=0的两个不同实根分别为

Xi,X2,且MV*2,根据一元二次函数的图形可知：

当a>0时，这个不等式的解集是{x|x<x\或x>x2};

当aVO时，它的解集是{x|MVXVXJ.

用类似的方法可以求解不等式ax+6x+c20,aV+bx+cVO和ax?+bx+cWO.

例3.解不等式X2-5X+6^0.

解：令V—5x+6=0,

(x—2)(x—3)=0,

得x=2或A=3,

・,.解集为(-8,2]U[3,+8).

例4.解不等式/+(1一a)x—aV0.

解：令x?+(1—a)%—a=0,

(x—s)(x+1)=0,

得x=a或x=—1,

①若aV—1,解集为(a,-1),

②如a=-1,解集为①,

③若a〉—1,解集为(一1,3).

(2)绝对值不等式

不等式If(x)|>^>0等价于f(X)>3或f(x)V—3；

不等式If(x)IVa等价于一aVf(x)<a.

例5.解下列含有绝对值符号的不等式：

(1)|2x—3|W5(2)|3x—1|27

解：(1)原不等式等价于一5W2x—3W5

解得：-1WxW4.

所以解集为[-1,4],

(2)原不等式等价于3x—1W—7或3x-127,

3X—1W—7的解集为xW—2,

8

3m的解集为x》，,

8

所以解集为(一°°,-2]U[3,+°°).

例6.解不等式|x—2x—5|V3.

解：原不等式等价于

fr-2x-5>-3

1r-2x-5<3

V—2x-5>-3的解集为(-8,1_^]u[i+75,+℃),

*2-2x-5<3的解集为(-2,4),

所以原不等式的解集为(-2,i-W]U[i+W,+4).

4.数列

(1)等差数列：相邻两项的差为定值，即ae-a〃=d,d称为公差.

通项公式：a„=ay+(n—1)d

前"项和公式：

*2叫1

当m+n—k+/时，a.+a„=ak+a：

a_*+*

特别地有"2

例7.设｛4｝是一个等差数列，且32+23+40+a”=64,求仇+毋和S2.

解：因为2+11=3+10=13

所以52+511=33+aio=32,

又因为6+7=13,所以a+田=32,

Si2=(ai+a12)X124-2=6(a+配)=6X32=192.

(2)等比数列：相邻两项的商为定值，即督q称为公比.

通项公式：

前〃项和公式：i—q

当m+n=k+/时，aman=akai

特别地有1%卜4％-&+火

例8.设｛劣｝是一个等比数列，且a=12,全=48,求a,40和/我的值.

丁=』=竺=4

解：为12

所以q=±2

%12.

%=—="=—=3

/4

金。=备・%=48X(±2)'=±1536

因为2+6=3+5=8

所以ai,占6=a•况=12X48=576.

1.1.2集合与逻辑符号

1.集合的概念

集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.

数集分类：

N——自然数集Z——整数集

Q——有理数集R——实数集

C——复数集合

2.元素与集合的关系

元素a在集合4中，就说a属于4记为aC4；否则就说a不属于4,记为

3.集合与集合的关系

集合4中的任何一个元素都是集合8中的元素，称为4包含于氏或8包含4也说/是8

的子集，记为/4?8或者仅4

若力?氏且例4就称集合力与8相等，记作4=8

例9.4={1,2],G={x|/—3*+2=0},则4和C是什么关系？

解：解方程f—3x+2=0,得x=1或x=2.

所以0={1,2},从而A=C.

4.空集

不含任何元素的集合称为空集(记作。).规定空集为任何集合的子集.

例10.[x|xGR,x2+1=0)=0

5.集合的表示方法：列举法，描述法

一般的，有限集用列举法，无限集用描述法

闭区间：[a,6]={x|aWxWb,xCR};

开区间：(a,6)={x|a<x<b,xER)；

半开半闭区间：

左开右闭区间：(a,b\={x\a<x^b,xGR},

左闭右开区间：[a,6)={x|a^x<b,xGR);

(—0°,6]={x|xW6,xER},[a,+°°]={x\x^a,xGR};

点a的邻域：〃(a,£)=(a—£,a+£),£>0,即〃(a,£)是一个以a为中心的

开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用〃表示；

点a的去心邻域：N(a,£)=(a—£,a)U(a,a+f),£>0.点a的去心邻域也可

以表示为M

6.集合之间的运算

(1)并：由48中所有元素组成的集合称为4和8的并集，记为《U8

/4U—{x|xW力或4U6=8U4

例11.已知：A={1,2,3,4),8={2,4,6,8,10,12},求：4U8

解：4U8={1,2,3,4,6,8,10,12).

例12.已知：A=[x|1<x<5),8={x[—3<xW2},求：AUB.

解：AUB^{x|-3<x<5}.

(2)交：由既属于4又属于8的元素组成的集合称为4和8的交集，记为ADS.

力ClQ{x|且A^B^B^A

例13.已知：A={1,2,3,4),8={2、4、6、8、10、12},

求：408.

解：4n8={2,4}.

例14.已知：A={x\1<x<4},4{x|-3VxW3},求：ACyB.

解：408={x|1VxW3}.

(3)余集(差集)：由4中不属于8的元素组成的集合称为4与8的差集，记为A-8.

A—A{x|xG/但Xiffi.

例15.已知：A={\,2,3,4},8={2,4,6,8,10,12},求：A-B.

解：4-8={1,3}.

7.一些逻辑符号

P能推出q,记为p=q,此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

如果p=q,q=p同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条

件)，记作p=q.

1.2函数的概念与图形

1.2.1函数的概念

1.定义

设。是一个非空数集，尸是定义在。上的一个对应关系，如果对于任意的实数xe。，都有

唯一的实数y通过式与之对应，则称/'是定义在。上的一个函数，记作y=f(x),x*D.

也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当xoG。时，称尸(用)为函数在点

xo处的函数值.数集。叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数勺{y|y=f(x),

称为函数的值域.

例1.已知：,

求：y的定义域、值域.

解：令1一V20,解得：

所以定义域为［-1,1］.

因为0/1一/《1,所以0WNW1,

所以值域为［0,1］.

］

例2.已知：>5”,

求：y的定义域、值域.

fl-xJ>0

解：根据题意，得

解得一1VxV1,所以定义域为(一1,1),

因为0cg?W1,从而求尹力，

所以值域为［1,+8).

2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.

约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实

际需要而有所变化.

例3.判断下列两个函数是否相等，

(1)y=x+3；(2)

例4,求函数+g-x)的定义域

x-2£0

x-3»0

解：根据题意，得LT〉。

解得：2Wx<3或3Vx<5,

所以定义域为［2,3)U(3,5).

3.函数的表示法：表达式法(解析法)、图形法、数表法.

1.2.2函数的图形

1.函数图形的概念

函数y=f（x）,xC。的图形是指在x勿平面上的点集｛（x,y）|y=f（x）,xG。｝.

常见的几个赛函数的图形：

2.函数的性质

（I）■■的南界住设函教人工）的定义域为D,数集XUD,如果存在数

K..ftW

/（xXK,

财任一#WXM立.、林通Ik/G）在X上有上星,而K,称为函敷人工）在

X上的一个上IMP果存在StK,.使得

/（x»K,

对任一*ex■♦立.*除语数八］）在x上有正夏,而K,称为函数〃工）在

xjt的一个下界.■果存在正数M.使得

l/（x）KM

时任一lWX9成立.则称函数/G）在X上数卜如果这样的M不存在，就梆

X上圆人这帆是说,如果对于W帚正数M.总存在x,€X.tt

l/（x,）l>M.*±Aft八*）在X上无界.

■■数/（*）=»«工在（-8.+8）内来说,数|是它的一个上界.败

一1是它的一个下界（当他.大于1的任何数也是它的上界,小于-1的任何我也

是它的下界）.又

lainxKl

时任一实效工•成立.微函数〃1>=而1在（-8,*8）内是有界的.这里

M=l（畜禽也可取大于I的任何败作为M而使时任一实效工部

成立）.

又tn・敷/（］）=:在开区间（0,1）内没有上界,但有下界,例如।就是它的

一个下界.■效/（*）=；在开区间（0.1）内是无界的.因为不存在这样的正数

M.便于（0.1）内的一切上春成立u搂近于。时，不存在*定的正

FTKL*JCK,成立，但是在区间（1.2）内是有界的，例如可敢M

=i而使对于一切都成立.

容明.藻效/（，）在X上在界的充分必要条件是它在X上*有上界又

有下界.

（2）国It的单间性设函数/（1）的定义域为D,国间KZD.M果财于区间

/上任意西点勺及孙.当了,＜小时.恒有

/（x1）＜/（x,）.

则称函数八，）在区间1上是幽里趣的（图1-9）;如果对于区mI上任意用

点及JT,.当T,＜八时，悒孙

/（*,）＞/（△）,

则称函数/（1）在区间/上是图图经的（图170）.挚谒增加加・■”少的函

数统称为单■函效

例如.由数人工）・/在区间［0.+8）上是单■地加的,在区向（-8.0）上

是学IX少的I在区阿（・8,*B）内南数八*）=/不是**的（IB1-11）.

又例如，焉敏/□）・/在区间（-8.+8）内是♦■*施的（图

II

(3)语依的今偶性&函数，(上)的定义域D关于原点对称.如果对于任

-x€D.

~X)=/(X)

便成立.则称，(上)为复陋.如果对于任一jrWD.

/(-x)=~/(x)

保或立.剜你/(l)为电单效.

例如./(i)・*'是故，因为/(-*)=(-*>=]'=/(*).又例如.

/<*》・*'*奇函数.因为--1)=(

偈函数的出彩关于y”是对称的因为若/(x)ftWlfitt.M/(-x)»

〃了).所以如果A(_r./G))是图彩上的点.剜与它关于y■对芯的点AY-i.

1-13).

音函数的图电关于霰自是对称的.因为若/(了)是奇函数.则/(-*)・

所以如果A(工./(I))是图影上的点.剜与它关于原点对称的点

A-(-x.-/(x))*aBB±(Bfl1-14).

曲fty=*njr是奇函数.函数y=coax是假函数.函数y=«in*+cosx既

拿奇曲般,也非■函数.

(4)西数的性设函数，(了)的定义域为D.如果存在一个正数/.使

H师于任一wWD*(JT*CWD.H

称为〃工》的县丛.通常我n说网期语ct的周

删是指■小正周期，

都是以2■为属期的周丽木收；函败tan工・以♦为

・*的Um函数

B1-IS/承网M为/的一个斶副■敷在每个长度为/的区间t.•故阳

•布棚用的形状

并非每个周期函数都有最小正周期.下面的函数就属于这种情形.

例10狄利克雷(Dirichlet)函数

_.、J1.J"CQ,

D(H)=〈-_,.

(0,HCQ，.

容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r都是它的周期.因为不存在

最小的正有理数，所以它没有最小正周期.

1.3三角函数、指数函数、对数函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数:

制函数：y=是常数），

指数函数：y=/（a>0且aKl）,

对数函数：y=k>g》（。>0且aKl,特别当a=e①时，记为y=ln_r）,

三角函数：如,v—sin.r,y=cos1…=tqn>»•等，

反三角函数：如y=arcsin.t,y=arccosJ.y=arctanx等.

以上这五类函数统称为鞋迎爸典婺.

由常数和基本初等函数晶若赢而四则运算和有限次的函数复合步骤所

构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如

y=1/1-a2,.V=sin"J",y=Jcot.

等都是初等函数.在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.

1.3.1三角函数

1。角度和弧度的关系360°=2”，1=—,10=-

n180

2。弧氏公式L=|a|R扇形面积S=1LR=1|R2

22

3oSiner=—,cos«=—,tan«=—,cota=—,seca=£_,csca=一

rryyxy

n

4O当0<a<时，有sinava,sin«<tan«

当0<a<一时，有sin。<cos^

4

n

当0<。<一时，sin«>cos«

2

5O第一象限角的集合：12k乃vav2k”+5.kwz}

2

n

第二象限角的集合：{a|2k”+—vav2k乃+4，kwz}

2

37r

第三象限角的集合：（a|2k/r+万vav2k乃+一，kez}

2

n

第四象限角的集合：{a|2k"・一vav2k^,kez}

2

同角三角函数间的基本关系式：

・平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1;tanA2(a)+1=secA2(a);cotA2(a)+1=cscA2(a)

•商的关系：

tana=sina/cosacota=cosa/sina

・倒数关系：

tanacota=1;sinacsca=1;cosaseca=1

三角函数恒等变形公式：

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosa-sinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)

倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

•半角公式：

sinA2(a/2)=(1-cosa)/2

cosA2(a/2)=(1-»-cosa)/2

tanA2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

•万能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-P)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

•和差化积公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-P)/2]

cosa+cosP=2cos[(a+p)/2]cos[(a-P)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

1.3.2指数/对数函数

(1)定义

指数函数，y=ax(a>0,且a#=1),注意与幕函数的区别.

对数函数y=logax(a>0,且a=#1).

指数函数y二ax与对数函数y=logax互为反函数.

(2)指数函数y=ax(a>0,且a#=1)与对数函数y=logax(a>0,且a=#1)的图象和性质如表

1-2.

表1-2

y=ax(a>。且a*1)y=logaoc(a>0.且a壬1)

a>10<1<1a>10<a<1

JJ

图

象x

J11K

1*1i^

xeR

义x>0

域

值域y>0yeR

在(_8,+OO)在(_8,4-00)在(0>+8)在但>+8)

单上是增函数.上是减函数.上是增函数.上是减函数.

调x>0时.y>1K>0时，0<y<1x>1时，y>0x>1时，y<。

性《<0时.。<y<1x<0时.y>1]<x<1时，y<00<x<1时.y>0

x=0时,y=1x=1时.y=D

⑶指数方程和对数方程

指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程

和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解.其基本类型和解法见表1-3.

表1-3

方程解法备注

x

指a=c(a>0Ja1Jc>0)x=logac

数af(x)=a4>(x)RX)=4)(X)a>0,且a*1

方a2x+ax+q=0设ax=y,则y2+pjHxi=Oa>。且a力1

程

对lo&kcx=aca>。且aK1

数logaf(x)=loga4>(x)氏x)=(Mx)验根，Kx)>0

设则尸+

方(log^xF+ptlo5ax)+q=。logax=y>p■y+q=Oa>。且aW1

程

1.4函数运算

1.4.1函数的四则运算

定义1.10设函数f(x),g(x)都在D上有定义，kGR,则对它们进行四则运算的结果还

是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如

下：

(1)加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x),xGD.

(2)数乘运算(kf)(x)=kf(x),xGD.

(3)乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x),xGD.

八力一」⑶

(4)除法运算sgoo.g(x)#=0,xGD.

其中等号左端括号表示对两个函数f,g进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端

的值.

例1.已知f(x)=ln(1+x),g(x)=1—cosx,求gCO.

解因为函数千(x)=ln(1+x)的定义域为(―1,+8),函数g(x)=1—cosx的定义域

为(-8,+8),且当x=2kn(k为整数)时，g(x)=0,所以，

/(x)_ln(Ux)

gCO1-cosxfx£(—1,+°°)\{2kn}(k为整数)

1.4.2复合函数

如有函数f(x)和g(x),它们的定义域分别为〃和伉，值域分别是乙和乙.当心〃

时，对于任意*£%都有唯一的g(x)RZ血,从而有唯一的大(g(x))e乙与xG比对

应，这样就确定了一个从2到乙的函数，此函数称为5和g的复合函数，记作

(/o«Xx)-/(g(X)).

重点是学会函数的分解与复合。

例2.分解下列复合函数

y=arcsina"

(1)1•(2)>=仙%(/+,o

解：(1)*arcsinq,*丫=石.

(2)看sin",£/=lniz,Qx'+1

例3.求下列复合函数的表达式和定义域

(1)f(x)=lgx,g(x)=2X

(2)f(x)=arcsinx,双外=、附

解：(1)F(g(x))=Ig2=xlg2,定义域为R,

(2)/(g(^))=arcsjnV^-i,

1-14行

令"[x-1>0'

解得：1WxW2,

所以定义域为[1,2].

例4.求下列复合函数的表达式

(1)设a-1)=31,求/(>。

解：令X—1”,则产什1,

则f(t)=(t+1)3-1=t3+3t2+3t,

所以fQx)-x+3x+3x.

g(x+1)=卜

(2)设[2x,]<x^2,求g(x)0

解：=则1,

当即1WtW2时，(t)=(t-1)2=t2-2/+1,

当1<IW2,即2<tW3时,g(t)=2(t-1)=2t-2,

心-Y-2X+1,1MXM2

所以，g(”\-2.2<xM3

⑶/W=ll-x,x<0,则有()

(A)f(f(公)="(x))2(B)f(f(公):f(x)

(C)f(f(x))>f(x)(D)f(f(x))>f(x)

答案：B

解析：令f(x)>0,得xGR,

所以f(f(x))-f(x).

(4)已知加f=叱与若尸(gJ))=|nx,则g(x)二().

x-lx+1

(A)市(B)百

1-x1+x

(C)1+x(D)1-x

答案：B

解析：令X—1二窘则产什1,

所以“…爵H%

x+1

g(*)+ix=g(x)

所以g(x)Tx-1

1.4.3初等函数

1.基本初等函数

常见的六类函数，即常数函数、幕■函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，

称为基本初等函数

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。

1.5经济学中的常用函数

1.5.1需求函数与供给函数

1.需求函数

商品需求量。与其价格。之间的函数关系Q=Q(0称为需求函数.一般地，需求函数是一

个单调递减函数.

常见的几种需求函数模型如下：

(1)线性需求函数：ga-bP,其中a,6是非负常数.

(2)二次曲线需求函数：Q=a-bP—cP,其中a,6,c是非负常数.

(3)指数需求函数：Q^Ae-bp,其中A6是非负常数.

2.供给函数

商品供给量S与其价格户之间的函数关系S=S(0称为供给函数.一般地，供给函数是一

个单调递增函数.

常见的几种供给函数模型如下：

(1)线性供给函数：S=a+bP,其中a,6是非负常数.

(2)二次曲线供给函数：S=a+£P+c4,其中a,b,c是非负常数.

(3)指数供给函数：S=AR其中46是非负常数.

当供给量与需求量相等，即S历时，这时的价格A称为均衡价格：这时的商品数量心。

称为均衡数量.

例1.已知某种商品的需求量。和供给量S与其价格P满足的关系式分别为〃一20。一户+99

=0和30+0-123=0,求该商品的市场均衡价格和均衡数量.

解：令Q=S,由200一夕+99=0与30+P—123=0,得^+^=35

由3C+P—123=0与%+*=35,解得$=一1(舍去)和$=6.

当5=6时，解得415.故均衡价格为15,均衡数量为6.

1.5.2成本函数

一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C和可变成本QG是一个与产品数量

无关的常数，6与产品的数量q有关，是q的函数，记作G(q).所以，

总成本C(g)=固定成本+可变成本=6+&(<7).

平均成本指的是总成本与产品数量之比丁’记作5。).

常见的成本函数模型是：

(1)线性成本函数：C(Q)=G+cg,其中c是单位产品的可变成本.

(2)二次成本函数：C(q)=C\+bp+cq.

例2.已知某产品的总成本函数为困”加°+?求生产50件该产品时的总成本与平均成本.

解：所求总成本为

503

C(50)=1000+—=1312.5;

8

平均成本为

刎)=逐=吗=2625;

5050

1.5.3收益函数与利洞函数

1.收益函数

收益指的是出售商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即

总收益函数R=R(q)=qP(q),

其中R表示收益，g表示售出的商品总量，P(Q)是商品的单价与售出量的关系，是该商

品的价格函数.

平均收益函数为"限救

2.利润函数

在供需平衡时，某种产品获得的总利海等于出售该产品获得的总收益与生产该产品付出的

总成本之差，即

总利润函数=/.=/.(Q)=R(q)—c(q),

其中，£表示总利泗，q表示产品数量.

平均利泗函数为2=%)=等

当L=L(q)=R(q)—G(g)>0时，是有盈余生产;

当/.=/.(g)=R(q)—C(g)<0时，是亏损生产；

当L—L(q)=R(q)-C(q)=0时，是无盈余生产，无盈余生产时的产量qo称为无盈

亏点.

例3.已知生产某商品的总成本为C(q)=20+2q+/(万元).若每售出一件该商品的

收入是20万元，求生产20件该商品时的总利润和平均利润.

解：总利润为

11

L9=R(<7)-G(q)=20q-(20+2q+5/)=18Q-2，-20,

所求总利润为2(20)=140(万元)：平均利润为为/九万元)

第二章极限与连续

一、极限

数列极限limx”

*»->«

函数极限lim/(x).limf(x),limf(x)

limf(x),limf(x),limf(x)

x->xoX->X'X->Af*

求极限(主要方法):

(1)limS"'=1,lim(l+—)r=e,

lim(l4-x)1=e

x->0xx->0xj->0

(2)等价无穷小替换(P76)。当加x)10时，

sin(p(x)〜(p(x).tan(p(x)〜(p(x)、arcsin(p(x)〜(p(x),arctan(p(x)〜(p(x),

l-cos^(x)〜ln(l+/(x))〜(p(x),一1〜(p(x),

-1〜3(x)ln>0),(1+e(x))"〜a@(x)(a*0)

代换时要注意.只有乘积因子•才可以代换。

(3)洛必达法则(2巴,0-8.8-8,0°,r,8°),只有2方可以直接用罗比达法则。

000000

v(x,,imv,xl,nM,x)

哥指函数求极限：limWU)=e;

或，令y=.两边取对数Iny=p(x)ln〃(x)，若limy(x)ln〃(x)=a,则

lim”(x)s>=e"。

结合变上限函数求极限“

极限的求法:

l.limC=C(C是常值函数)

2.若|/(x)|wA/(即/(x)是有界量)Jima=0(即a是无穷小量).=lim/(.v)a=0,

特别：f(x)=C=>limC.a=0

3.若|/住)卜A/(即/(x)是有界量)=>limZ(D=0,

QO

特别：/(X)=C(CHO)=lim—=0

oo

C>0

4.lim—=4

0I—ooC<0

5.未定式

⑴牌

4分子，分母含有相同的零因式，消去零因式

6.等价无穷小替换(常用sinx〜x,e*-1〜xjn(x+l)-x)

C.洛必达法则：要求/(T),存在，且lim4?存在，此时,lim与斗=lim

g(x)g(x)g(X)

(2琮型

4忽略掉分子，分母中可以忽略抻的较低阶的无穷大，保留最高阶的无穷大.再化筒计算

氏分子.分母同除以最高阶无穷人后，再化简计算.

C.洛必达法则.

（3）8-OO型

通过分式通分或楝函数有理化，转化为右型或,箕型

0000

T00

（4）0oo转化q；0

T=o

00

（5）0°型产*.>。8

（6）8理芋普.>0.8

（7）1，型通过lini（l+x）：=e或求对数来计算

二、连续

定义设函数y=/（H）在点八的某一邻域内有定义，如果

limAy=lim[/（x+Ax）-/（T）]=0,

Ar-*0d*•（>00

那么就称函整？=/（£）至受圣一淮孥.

为了后甬前蔽二V靛菌标>=/（工）在点内连续的定义用不同的方

式来叙述.

设H=工0+△•!•,则△工-0就是X->JT0.又由于

Ay=/（x0+Ax）-/（x0）=/（x）-/（a0）

即/（X）=/（x0）+△>,

可见Ay-0就是/（工）一/（了。），因此（1）式与

lim/（J）=/（x0）

L*"

相当.所以，函数y=〃Z）在点x0连续的定义又可叙述如下：

设函数y=〃a）在点工。的某一邻域内有定义，如果

lim/（a）=/（.r0）,（2）

•*-，

那么就称函数f（工）在点八连续.•

如果lim/（工）=果工；）存在且等于八人），即

L，；

/（Xo）=f（工0）,

就说函数/（工）在点工。口连”.如果limJ（H）=/（K）存在且等于/（工0）,即

,一,;

/（-Xo）=/（x0）.

就说函数f（H）在点了。右连续.

在区间上每一点都连续的函数，叫做用烫困可上的连线堕篡,或者说明婺卷

该区间上连续.如果区间包括端点，那么函藏商章赢策捻语左连续，备违

点连续是指右连续.

第三章导数与微分

第一节导数

一、导数的定义

1.由数在一点处的导数与导语数

从上面所讨论的两个问题看出.非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归

结为如下的极限：，⑺一〃H.）

⑶

工一工0

这里和八工）一/（工.）分别是函数y=/（工）的自变髭的增址Ar和函数

的增量△¥：

△x=Jr—x0,

△^=/（x）-/（xo）=/（xa+Zkr）-/（Jo）.

因工一工。相当于△工-*0■故（3）式也可写成

..f../（JTo+Ax）-/（Xe）

hm-r-^-或Jim------------x-----------------.

Ax-*oZxra—AH

在自然科学和工程技术领域内.还有许多被念，例如电流强度、角速度、线密度等

等，都可归结为形如（3）式的数学形式.我们报开这些量的具体意义，抓住它们在

数量关系上的共性,就得出函数的导致概念.

定义设函数y=/（工）在点工。的某个邻域内有定义.当自变通工在工。处

取得增量AH（点H0+AT仍在该邻域内）时.相应的函数取得增量△、=〃工。+

△工）一/（工。九如果与Ar之比当-0时的极限存在.则称函数>=

/（工）在点x.处强.并称这个极限为函数y=八工）在点x.处的号里，记为

f（Q即

Cm黑=lin>八壬+乎一」"（4）

ATAYAX

也可记作y'l”“.字|或峥.

函数f（工）在点x.处可导有时也说成〃工）在点工。具有导数或导致存在.

导数的定义式（4）也可取不同的形式,常见的有

、一r/（x+A）-/（J-.）

一0（5）

，（工。）=四--------h---

和

，（工。）=lim八咒）一八±）.（6）

x-x.

（5）式中的人即自变盘的增依&T.

在实际中.褥要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上

就是所谓函复的变化里问题,导数微念就是函数变化率这一柢念的精确描述.它

拨开了自£i莉而获［麻表的几何或物理等方面的特殊意义,纯粹从敷st方

面来刻画变化率的本质：因变量增盘与自变量增量之比”是因变髭y在以心

和工・+△］为蠲点的区间上的平均变化率，而导致，（小）则是因变址.V在点勺

处的变化率.它反映了因变址的自变Q的变化而变化的快慢程度.

如果极限（4）不存在.就说函数y=/（x）在点工。处不可导.如果不可导的

原因是由于△£•*（）时，比式加-8.为了方便起见，也往往说函数y=/（N）在

点八处的导致为无穷大.

上面讲的是函数在一点处可导.如果函数y=/G）在开区间I内的每点处

都可导，就称函数/G）在开区间I内可导.这时，对于任一x€I.都对应着

/G）的一个珑定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函

数y=/（Z）的曼剧此记作（工）窑或喑

在（4）式或（5）式中把火