第05讲 正方形的性质与判定（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第05讲正方形的性质与判定1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点1：正方形的性质例1．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角例2．正方形具有而菱形不一定有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角相等 D．四条边相等考点2：利用正方形的性质求长度例3．正方形一条对角线长为，则周长为（

）A．4 B． C．8 D．例4．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长是（）A． B． C． D．例5．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（

）A． B． C． D．考点3：利用正方形的性质求角度例6．一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若，则（

）A． B． C． D．例7．如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（

）A． B． C． D．例8．如图，已知正方形中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．考点4：利用正方形的性质求面积例9．如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（

）A．34 B．36 C．40 D．100例10．如图，在菱形中，，，则正方形的面积为（

）A．8 B．12 C．16 D．20例11．如图，在中，，，．四边形是正方形，则正方形的面积是（

）A．8 B．12 C．18 D．20例12．如图将边长为的大正方形与边长为的小正方形放在一起，则三角形的面积（

）A．与、大小都有关 B．与、的大小都无关C．只与的大小有关 D．只与的大小有关考点5：正方形的判定例13．如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（

）A． B． C． D．例14．有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④考点6：中点四边形例15．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（

）A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对例16．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD例17．若顺次联结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线（

）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且平分考点7：正方形的判定与性质综合例18．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．例19．如图，正方形的边长为，为边上一点与点、不重合，连接，交于点当是等腰三角形时，则的长为（

）A．B．C．D．例20．如图，正方形ABCD边长为10，点M在对角线AC上运动，N为DC上一点，DN＝2，则DM+MN长的最小值为（

）A．8 B．10 C． D．例21．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2例22．ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为A．B．C．D．考点8：正方形的判定与性质解答题例23．如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？例24．如图，M、N分别是正方形的边的中点，与交于点P，连结，求证：．例25．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？例26．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．例27．如图，正方形ABCD中，．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，且，则_______．一、单选题1．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）下列命题为假命题的是（

）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形2．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等

d.一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是：（

）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③3．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α5．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形中，对角线、相交于点O．E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（

）A．50° B．55° C．65° D．70°二、填空题6．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形．7．（2015·广西南宁·中考真题）如图，在正方形外作等边，则___________．8．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．三、解答题9．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．10．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．（1）求证：≌；（2）若，请求出的长．11．（2021·山东泰安·统考中考真题）四边形为矩形，E是延长线上的一点．（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；（2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．12．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．（1）如图1，若，，易证：；（2）如图2，；如图3，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．13．（2023·陕西·模拟预测）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．一、单选题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直2．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为(

)A．cm B．2cm C．5cm D．10cm3．下列命题中，正确的是（

）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A．22.5° B．25° C．23° D．20°5．如图，正方形中，，则（

）A． B． C． D．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（

）A． B．3 C． D．7．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（

）A．2 B． C． D．8．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若，，则点D到CF的距离为（

）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为；④．其中正确的结论有(

)A．①③ B．②③ C．①④ D．③④二、填空题11．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．12．若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．13．已知矩形，给出三个关系式：①②③如果选择关系式__________作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是_______________________________.14．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．15．作正方形中对角线的平行线，点E在直线上，且四边形是菱形，贴_______．16．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为___．17．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于F．当∠BED＝120°时，则∠ABF的度数为__________°．18．如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______.三、解答题19．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．20．如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？21．如图，M、N分别是正方形的边的中点，与交于点P，连结，求证：．22．如图，四边形是正方形，点是上的任意一点