教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷1（共200题）

教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷1（共8套）（共200题）教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列说法错误的是()．A、a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a.0=0D、a//b的充要条件是x1y2—x2y1=0标准答案：C知识点解析：两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为0而不是零向量，故C项错误．2、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a.bD、a×b标准答案：D知识点解析：由题=(y1z2—z1y2)i+(z1x2—x1z2)j+(x1y2—y1x2)k，即等于向量的向量积a×b．3、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，两向量的夹角为θ，则下列说法错误的是()．A、｜b｜cosθ=∈R，称为向量a在b方向上的投影，投影的绝对值称为射影B、(a+b).(a—b)=(x12—x22)+(y12—y22)C、cosθ=D、(λa).b=λ(a.b)=a.(λb)(λ∈R)标准答案：A知识点解析：｜b｜cosθ=∈R，称为向量b在向量a方向上的投影，故A项错误；(a+b).(a—b)=a2—b2=｜a｜2—｜b｜2=(x12—x22)+(y12—y22)，B项正确；C、D项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确，因此本题选A．4、向量a=(m，2，1)，b=(2，—1，n)，已知a和b不平行，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：若a∥b，则，解得m=—4，n=．因此，当a和b不平行时，只需满足m≠—4或n≠即可．5、已知a=—2i+mj+3k，b=ni—2j—k是空间中的两个向量，则“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：B知识点解析：当a∥b时，有，解得m=6，n=，所以“a∥b”是“m=6，n=”的充分条件；当m=6，n=时，a=—2i+6j+3k，b=—2j—k，则a=—3b，即a∥b，所以“a∥b”是“m=6，n=”的必要条件，因此本题选B．6、已知a=(1，—1，1)，b=(2，2，1)，则a在b上的投影为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：｜a｜cos即为a在b上的投影，将题干中的数代入，则有｜a｜cos=.7、已知空间内两直线l1：和l2：，若l1∥l2，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(m，2，—1)，s2=(4，3，—n)，因为l1∥l2，所以，解得．8、在平行四边形ABCD中，顶点A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，—1，3)，则平行四边形ABCD的面积为()．A、3B、C、D、6标准答案：C知识点解析：由题干可知，，所以，cos∠BAC=，又因为∠BAC是平行四边形的内角，所以∠BAC∈(0，π)，sin∠BAC=.9、已知空间内两直线l1：和l2：，则“l1⊥l2”是“m=—n=—2”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：C知识点解析：由题意可知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(2，m，—1)，s2=(n，3，—2)．若l1⊥l2，则有s1.s2=(2，m，—1).(n，3，—2)=2n+3m+2=0，无法推出m=—n=—2；若m=—n=—2，则s1=(2，—2，—1)，s2=(2，3，—2)，即s1.s2=0，所以l1⊥l2．综上所述“l1⊥l2”是“m=—n=—2”的必要不充分条件．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、已知点P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O为坐标原点，若点P(x，y)分有向线段所成的比例为λ，即=_______(用表示)，x=_______，y=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据线段定比分点的向量公式可知，即(x，y)=.11、若x，y∈R，i，j是平面直角坐标系内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x—1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，则点N(x，y)的轨迹方程是_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知点N(x，y)到F1(—1，0)，F2(1，0)距离之和为4，根据椭圆的定义可知N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的轨迹方程为.12、已知向量a=2i+2j—k，则与其方向相同的单位向量a′=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：13、在平面直角坐标系中，已知两点A(1，2)，B(3，—1)，O为坐标原点，若点C(x，y)满足，其中λ+μ=1，则点C的轨迹方程是________．FORMTEXT标准答案：3x+2y—7=0知识点解析：由题，根据三点共线定理可知，A，B，C三点共线．因此点C的轨迹是A，B所在的直线，故点C的轨迹方程是y—2=，即3x+2y—7=0．14、已知空间内两个平面α：x—my+2z=4，β：—x+y—2z=1，若α与β的二面角的正切值为，则m=_______．FORMTEXT标准答案：3或知识点解析：依题意可知，α，β的一个法向量分别是n1=(1，—m，2)，n2=(—1，1，—2)．设α，β的二面角为θ，因为θ∈[0，π]，tanθ=，所以cosθ=—cos＜n1，n2＞=，即cos＜n1，n2＞=，解得m=3或m=.15、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a—b｜=，则a与b的夹角为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜a—b｜2=(a—b)2=a2—2a.b+b2=1—2a.b+4=3，所以a.b=—1，故cos＜a，b＞=，所以a与b的夹角为．16、若向量m，n的夹角为60°，｜m｜=2，｜n｜=，则(m+2n)(m—n)=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：(m+2n)(m—n)=m2+m.n—2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜cos60°—2｜n｜2=4+2×—2×3=．17、已知向量a=2i+3j—k，b=—i+2j—2k，c=2ma—3nb，若c⊥x轴，则m=_______．(用n表示)FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有c=2m(2i+3j—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j—(2m—6n)k，取x轴单位方向向量e=(1，0，0)，因为c⊥x轴，所以c⊥e，即c.e=(4m+3n，6m—6n，—2m+6n).(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=．三、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、已知函数y=，如图过点M(0，—1)作斜率为k的直线l交该函数图像于A，B两点．若该函数曲线的焦点F与A，B，C三点按图中顺序连接成平行四边形，求点C的轨迹方程．标准答案：由题干可知，抛物线焦点坐标为F(0，1)，设A,B,C三点坐标分别为.因为F(0，1)，M(0，—1)，所以.又因为M、A、B三点共线，所以．所以，即x1x2(x1—x2)=4(x1—x2)．因为x1≠x2，所以x1x2=4．又因为四边形ACBF为平行四边形，所以，所以，所以y=.又因为x1=x—x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．又因为y==1.所以点C的轨迹方程是y=—3(y＞1).知识点解析：暂无解析在正方体ABCD—A′B′C′D′中，=a．19、证明：AB′⊥CD′.标准答案：如图所示，建立空间直角坐标系．由图知A(a，0，0)，B′(a，a，a)，C(0，a，0)，D′(0，0，a)，所以=(0，a，a)，=(0，—a，a)，因为=0×0+a×(—a)+a×a=0，所以，即AB′⊥CD′．知识点解析：暂无解析20、求二面角D—A′C′—B的正切值．标准答案：设面DA′C′的法向量为，n1=(x1，y1，z1)，面BA′C′的法向量为n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A′C′—B的平面角为α．由图知=(—a，a，0)，=(—a，0，—a)，因为n1⊥面DA′C′,所以.令z1=1，则x1=y1=—1，所以面DA′C′的一个法向量为，n1=(—1，—1，1)．同理可得面BA′C′的一个法向量为n2=(1，1，1)．所以cos1，n2>=.所以cosα=，所以tanα=.知识点解析：暂无解析请用向量证明下列推论：21、直径所对应的圆周角是直角.标准答案：如图所示，BC为⊙O的直径，A为圆上不同于B、C的一点．所以，即∠BAC=90°.知识点解析：暂无解析22、平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形．标准答案：如图所示，ABCD为四边形，O分别为AC、BD的中点．由图可知，.因为对角线相互平分，所以该四边形是平行四边形．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第2套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、已知a=一2i+mj+3k，b=nj-2j一k是空间中的两个向量，则“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：B知识点解析：2、已知向量a=i+2j一k，b=-2i一j+k=，则a×b=()．A、一i—jB、3i—j+3kC、一5D、i+j+3k标准答案：D知识点解析：a×b=(1，2，一1)×(一2，一1，1)=[2×1一(一1)×(一1)i+[(一1)×(一2)一1×]j+[1×(一1)-2×(一2)]k=i+j+3k．3、已知空间内的三点A(2，1，一2)，B(1，1，一1)，C(1，2，一2)，则∠ABC=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、已知a=(1，一1，1)，b=(2，2，1)，则a在b上的投影为()．A、3B、一3C、D、一标准答案：C知识点解析：｜a｜cos(a，b)即为a在b上的投影，将题干中的数代入，则有｜acos(a，b)=5、已知空间内两直线l1：，若l1∥l2，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(m，2，一1)，s2-(4，3，一n)，因为l1∥l2，所以．6、已知n=(1，2)，m=(-2，1)．若向量=()．A、(3，1)B、(-3，一1)C、(一1，3)D、(-1，1)标准答案：A知识点解析：=n—m一(1，2)一(一2，1)=(3，1)．7、向量a=(x，2，1)，b=(2，一1，y)，a⊥b，则y关于x的函数图象不经过()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限标准答案：C知识点解析：因为a⊥b，所以a．b=2x一2+y=0，即y=一2x+2，如图所示，该函数图象不过第三象限．8、在平行四边形ABCD中，顶点A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，一1，3)，则平行四边形ABCD的面积为()．A、3B、C、D、6标准答案：C知识点解析：9、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空间中的三个向量，则“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：A知识点解析：三向量共面的充要条件是(a×b)．c=0，即=0，所以m+8n一3mn=0．当m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面；当三向量共面时，无法推出m=0且n=0．因此选A．10、已知a=mi+j一2k，b=一3i+j一nk是空间中的两个向量，则“a⊥b”是“m=1，n=1”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：C知识点解析：当a⊥b时，有a．b=一3m+1+2n=0，无法推出m=1，n=1，所以“a⊥b”是“m=1，n=1”的不充分条件；当m=1，n=1时，a=i+j一2k，b=一3i+j一k，a．b=一3+1+2=0，即a⊥b，所以“a⊥b”是“m=1，n=1”的必要条件．因此本题选C．11、已知空间内两直线l1：，则“l1⊥l2”是“m=一n=一2”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：C知识点解析：由题意可知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(2，m，一1)，s2=(n，3，一2)．若l1⊥l2，则有s1．s2=(2，m，一1)．(n，3，一2)=2n+3m+2=0，无法推出m=一n=一2；若m=一n=一2，则s1=(2，一2，一1)，s2=(2，3，一2)，即s1．s2=0，所以l1⊥l2．综上所述“l1⊥l2”是“m=一n=一2”的必要不充分条件．12、在四面体OABC中，OB=OC=1，∠AOB=∠AOC==()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)13、将空间中一点M(1，1，2)按向量a=(一1，一2，1)平移后，所得点M’的坐标为_________．FORMTEXT标准答案：(0，一1，3)知识点解析：由题意可知，=a，所以M’的坐标(x，y，z)=(1，1，2)+(一1，一2，1)=(0，一1，3)．14、已知空间内两个平面α：x—my+2z=4，β：一x+y-2z=1，若α与β的二面角的正切值为，则m=_________．FORMTEXT标准答案：3或一知识点解析：依题意可知，α，β的一个法向量分别是n1=(1，一m，2)，n2=(一1，1，一2)．设α，β的15、已知i，j，k分别是空间直角坐标系x，y，z三个轴的单位向量，若s=i+j+k，则｜s｜=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知i，j，k之间相互垂直，所以i．j=0，j．k=0，i．k=0．又因为S2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i．j+2j．k+2i．k=3，所以｜s｜=。16、已知直线l：=3—z，过点A(3，5，一2)与该直线平行的直线方程是_________．FORMTEXT标准答案：=-2-z知识点解析：因为所求直线与直线l平行，所以l的方向向量(2，一2，一1)即为所求直线方程的方向向量；又因为直线过A(3，5，一2)，所以所求直线方程为=一2—z．17、已知数列{an}为a1=1且公差不为0的等差数列，向量p=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若p∥q，则an的通项公式是___________．FORMTEXT标准答案：an=3n一2知识点解析：根据题意可设数列{an}的通项公式为an=1+(n一1)d．因为p∥q，所以，解得d=3或0(舍去)．因此an=3n一2．18、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a-b｜=．则a与b的夹角为___________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜a一b｜2=(a一b)2=a2一2a．b+b2=1—2a．b+4=3，所以a．b=1，故cos=。19、已知向量a=(3，4，5)，则与a平行的单位向量n=___________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：20、已知空间中三个向量a=(2，1，一1)，b=(一1，3，2)，c=(2，一2，1)，则(a×b).c=___________．FORMTEXT标准答案：23知识点解析：(a×b)．c=(1×2一(一1)×3，(一1)×(一1)一2×2，2×3—1×(一1))．(2，一2，1)=(5，一3，7)．(2，一2，1)=23．21、若向量m，n的夹角为60°，｜m｜=2，｜n｜=，则(m+2n)(m-n)=___________．FORMTEXT标准答案：-2知识点解析：(m+2n)(m一n)=m2+m．n一2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜cos60°一2｜n｜2=4+2×．22、已知空间两直线l1：，则直线l1，l2的夹角的余弦值是___________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知直线l1，l2的方向向量分别是s1=(2，一3，一1)，s2=(一3，1，2)，｜s1｜=23、已知a⊥b，｜a｜=2，｜b｜=4，则｜a+b｜___________｜a-b｜．(填“＞”“＜”或“=”)FORMTEXT标准答案：=知识点解析：24、已知向量a=2i+3j-k，b=一i+2j一2k，c=2ma一3nb，若c⊥x轴，则m=___________．(用n表示)FORMTEXT标准答案：一知识点解析：依题意有c=2m(2i+3j-k)一3n(一i+2j一2k)=(4m+3n)i+(6m一6n)j一(2m一6n)k，取x轴单位方向向量e=(1，0，0)，因为c⊥x轴，所以c⊥e，即c．e=(4m+3n，6m一6n，一2m+6n)．(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=一．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)25、已知空间直线L的一般方程为，求：(1)直线L与平面α：x一2y+z一2=0所成角的正弦值；(2)过点A(3，2，一1)且垂直于直线L的平面β．标准答案：(1)依题意知平面α的一个法向量为n1=(1，一2，1)，(2)因为平面β与直线l垂直，所以可令平面β的法向量n2=s=(5，一5，一5)．又因为平面β过点A(3，2，一1)，所以平面β的方程为5(x一3)一5(y一2)一5(z+1)=0，即x—y—z一2=0．知识点解析：暂无解析26、已知ai，bi∈R(i=1，2，3)，试证明不等式≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜．标准答案：设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则｜a．b｜=｜a｜｜b｜｜cos(a．b)｜．因为｜cos｜≤1，所以｜a｜｜b｜≥｜a．b｜．即≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜，当cos=±1时取等号．知识点解析：暂无解析27、已知空间向量a=(3，0，-4)，b=(2，一3，1)，求：(1)a．b，a×b；(2)(2a)．(一b)，(一a)×(2b)；(3)向量a，b所成角的正弦值．标准答案：(1)a．b=(3，0，一4)．(2，一3，1)=3×2+0×(一3)+(一4)×1=2；a×b==-12i—11j一9k．(2)(2a)．(一b)=一2(a．b)=一2×2=一4；(-a)×(2b)=一2(a×b)=一2(一12i—11j一9k)=24f+22j+18k．a与b的夹角在[0，π]的范围内，所以0≤sin≤1．所以sin{a，b>=知识点解析：暂无解析28、已知A(一1，1，一2)，B(一5，6，2)，C(一1，一3，1)，求：(1)过点M(一2，3，1)且与A，B，C三点所在平面平行的平面β；(2)向量的模；(3)点A到BC的距离．(结果用根号表示即可)标准答案：(1)设A，B，C三点所在的平面α的法向量为n=(x’，y’，z’)．因为α∥β，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因为平面β过点(一2，3，1)，所以平面β的方程为(x+2)+3(y一3)+4(z一1)=0，整理可得平面β的方程为31x+12y+16z+10=0．知识点解析：暂无解析29、请用向量证明下列推论：(1)直径所对应的圆周角是直角；(2)平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形．标准答案：(1)如图所示，BC为⊙O的直径，A为圆上不同于B、C的一点．知识点解析：暂无解析30、已知a，b，c是平面上三个单位向量，且a+b+c=0．(1)证明：(a-b)⊥c；(2)若｜a一b+kc｜＞2(k∈R)，求k的取值范围．标准答案：(1)因为a、b、c为单位向量，所以｜a｜=｜b｜=｜c｜=1．设a与b之间的夹角为θ，由题干得a+b=一c，即(a+b)2=c2．化简为｜a｜2+2｜a｜｜b｜cosθ+｜b｜2=｜c｜2．所以(a一b)．c=a．c—b．c=1×1×cos120°一1×1×cos120°=0．即(a—b)⊥c．(2)因为｜a一b+kc｜＞2，所以a｜一b+kc｜2＞4，即a2+b2+k2c2一2a．b+2kac一2kb.c＞4，即k2一1＞0，解得k＜一1或k＞1．故k的取值范围是(一∞，一1)∪(1，+∞)．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列各组向量中满足a//b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(—1，—1，—1)，b=(1，0，1)C、a=(—2，1，4)，b=D、a=(1，—2，—2)，b=标准答案：D知识点解析：空间内任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb．因此本题选D．2、在△ABC中，，则该三角形是()．A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定标准答案：C知识点解析：因为=0，所以，故△ABC为直角三角形．3、定义平面向量之间的一种运算如下，对任意的m=(a，b)，n=(c，d)，令=ac+bd，则下列说法错误的是()．A、若m与n共线，则=0B、C、对任意的λ∈R，有D、若m与n不垂直，则≠0标准答案：A知识点解析：若m与n共线，则ad—bc=0，故A错误，其他三项中的运算均正确．4、向量a的模｜a｜=1，向量b的模｜b｜=2，且满足，则向量a与向量b的夹角为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题可知，｜a｜=1，｜b｜=2，因为=｜a｜｜b｜cos+，解得cos=，因为夹角θ∈[0，π]，故向量a，b的夹角为，答案为A．5、已知向量c=(2，3，—1)—2(—1，0，2)，若用标准基i、j、k表示c，则c=()．A、i+2j+kB、3j+3kC、4i+3j—5kD、3i+3j—3k标准答案：C知识点解析：c=(2，3，—1)—2(—1，0，2)=(4，3，—5)=4i+3j—5k．6、已知空间内的三点A(2，1，—2)，B(1，1，—1)，C(1，2，—2)，则∠ABC=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：依题意有=(1，0，—1)，=(0，1，—1)，所以cos∠ABC=，又因为∠ABC∈[0，π]，所以∠ABC=.7、向量a=(x，2，1)，b=(2，—1，y)，a⊥b，则y关于x的函数图像不经过()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限标准答案：C知识点解析：因为a⊥b，所以a.b=2x—2+y=0，即y=—2x+2，如图所示，该函数图像不过第三象限．8、在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足=()．A、—2B、C、D、2标准答案：B知识点解析：因为AM=1，点P在AM上且，因此，答案为B．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、已知空间内的两点M(1，3，2)，N(—2，1，1)，则=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题干可知，=(—3，—2，—1)，所以.10、如图所示，在四面体OABC中，线段MN，PQ分别是△OAB和△ABC的中位线，且，用a，b，c表示=________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知M、Q分别是线段OA、BC的中点，故.11、若向量｜a｜=，｜b｜=1，a⊥(a—2b)，则向量a与b的夹角为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有a.(a—2b)=a2—2a.b=｜a｜2—2｜a｜｜b｜cos＜a，b＞=×1×cos＜a，b＞=0，所以cos＜a，b＞=．又因为a与b的夹角在[0，π]范围内，所以a与b的夹角为．12、已知向量a、b满足｜a+b｜=，｜a｜=1，｜b｜=4，则a与b的夹角为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有｜a+b｜2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos=1+16+8.cos=13，所以cos=，又因为a与b的夹角在[0，π]范围内，故向量a，b的夹角为．13、将空间中一点M(1，1，2)按向量a=(—1，—2，1)平移后，所得点M′的坐标为________．FORMTEXT标准答案：(0，—1，3)知识点解析：由题意可知，=a，所以M′的坐标(x，y，z)=(1，1，2)+(—1，—2，1)=(0，—1，3)．14、已知直线l：=3—z，过点A(3，5，—2)与该直线平行的直线方程是_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为所求直线与直线l平行，所以l的方向向量(2，—2，—1)即为所求直线方程的方向向量；又因为直线过A(3，5，—2)，所以所求直线方程为=—2—z.15、已知数列{an}为a1=1且公差不为0的等差数列，向量P=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若P∥q，则an的通项公式是________．FORMTEXT标准答案：an=3n—2知识点解析：根据题意可设数列{an}的通项公式为an=1+(n—1)d．因为p∥q，所以，解得d=3或0(舍去)．因此an=3n—2．16、已知空间中三个向量a=(2，1，—1)，b=(—1，3，2)，c=(2，—2，1)，则(a×b).c=________．FORMTEXT标准答案：23知识点解析：(a×b).c=(1×2—(—1)×3，(—1)×(—1)—2×2，2×3—1×(—1)).(2，—2，1)=(5，—3，7).(2，—2，1)=23．17、已知a⊥b，｜a｜=2，｜b｜=4，则｜a+b｜________｜a—b｜．(填“＞”“＜”或“—”)FORMTEXT标准答案：=知识点解析：依题意知a.b=0，所以｜a+b｜=，所以｜a+b｜=｜a—b｜．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)点P是不等式｜y｜≤所表示的平面区域内的一动点，该点在区域边界所在直线上的投影分别为M，N．若。18、求动点P的轨迹方程标准答案：依题意知｜y｜≤表示的区域边界所在的直线分别为l1：y=(zx≥0)和l2：y=(x≥0)，所以∠MON=．因为MP⊥l1，NP⊥l2，所以∠MPN=π—∠MON=．设点P坐标为(x，y)，所以，又因为点P在｜y｜≤表示的平面区域内，所以3x2≥y2．所以，即(x≥0).因此动点P的轨迹方程是以(2，0)，(—2，0)为焦点的双曲线的右支：x2—=1(x≥1)．知识点解析：暂无解析19、已知点C(1，0)，F(2，0)，过点F作直线l交P点轨迹于A，B两点，是否存在这样的直线l，使AC⊥BC，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．标准答案：当直线l斜率不存在时，直线l：x=2，所以A(2，3)，B(2，—3)，显然≠0．当直线l斜率存在时，设直线l：y=k(x—2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立l与P点轨迹方程，消去y得：(3—k2)x2+4k2x—(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3—k2)=36k2+36＞0，所以x1+x2=①x1x2=②．要使△ABC为直角三角形，则必有=0，即(x1—1)(x2—1)+y1y2=0，所以x1x2—(x1+x2)+1+k2(x1—2)(x2—2)=0，整理得(1+k2)x1x2—(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，将①②代入上式，解得k=0．当k=0时，直线l与x轴重合，与P点的轨迹只有一个交点．所以不存在这样的直线，使得AC⊥BC．知识点解析：暂无解析20、已知ai，bi∈R(i=1，2，3)，试证明不等式≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜标准答案：设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则｜a.b｜=｜a｜｜b｜｜cos｜．因为｜cos｜≤1，所以｜a｜｜b｜≥｜a.b｜．即≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜，当cos=±1时取等号．知识点解析：暂无解析已知点A(—1，1，—2)，B(—5，6，2)，C(—1，—3，1)，求：21、过点M(—2，3，1)且与A，B，C三点所在平面平行的平面β.标准答案：设A，B，C三点所在的平面α的法向量为n=(x′，y′，z′)．依题意知=(—4，5，4)，=(0，—4，3)，所以，即令z=4，代入上述方程组，解得x′=，y′=3，所以平面α的一个法向量为n=.因为α∥β，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因为平面β过点(—2，3，1)，所以平面β的方程为(x+2)+3(y—3)+4(z—1)=0，整理可得平面β的方程为31x+12y+16z+10=0．知识点解析：暂无解析22、向量的模.标准答案：因为=(4，—9，—1)，所以.知识点解析：暂无解析23、点A到BC的距离．(结果用根号表示即可)标准答案：依题意可设为其所在直线l的方向向量，且直线过C(—1，—3，1)，所以l的直线方程为：，所以A到BC的距离d=.知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第4套一、选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、下列各组向量中满足a∥b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(一1，一1，一1)，b=(1，0，1)C、a=(一2，1，4)，b=(1，，一2)D、a=(1，一2，一2)，b=(一，1，1)标准答案：D知识点解析：空间内任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb．因此本题选D．2、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列说法错误的是()．A、a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a．0=0D、a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0标准答案：C知识点解析：两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为0而不是零向量，故C项错误．3、向量a=(一2，2，1)，b=(2，一1，一3)，则｜2a+3b｜=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2a+3b=2×(一2，2，1)+3×(2，一1，一3)=(2，1，一7)，所以｜2a+3b｜=．4、在△ABC中，，则该三角形是()．A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定标准答案：C知识点解析：因为，故△ABC为直角三角形．5、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a．bD、a×b标准答案：D知识点解析：由题=(y1z2-z1y2)i+(z1x2一x1z2)j+(x1y2-y1x2)k，即等于向量的向量积a×b．6、已知空间内两个平面a：x一2y+2z=4，β：一x+y一2z=1，则α与β的夹角的余弦值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：依题意知平面α与β的一个法向量分别为n1=(1，一2，2)，n2=(1，一1，2)，两平面夹角的范围为，所以两平面夹角的余弦值为cos(n1，n2)=。7、定义平面向量之间的一种运算=ac+bd，则下列说法错误的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：若m与n共线，则ad一bc=0，故A错误．其他三项中的运算均正确．8、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x1，y1)，两向量的夹角为θ，则下列说法错误的是()．A、｜b｜cosθ=∈R，称为向量a在b方向上的投影，投影的绝对值称为射影B、(a+b)．(a一b)=(x12-x22)+(y12-y22)C、cosθ=D、(λa)．b=λ(a．b)=a．(λb)(λ∈R)标准答案：A知识点解析：｜b｜cosθ=∈R，称为向量b在向量a方向上的投影，故A项错误；(a+b)．(a-b)=a2一b2=｜a｜2-｜b｜2=(x12一x22)+(y12一y22)，B项正确；C、D项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确．因此本题选A．9、已知｜a｜=3，｜b｜=5，若(ma+2b)⊥(ma-2b)，m∈R，则m=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：依题意有(ma+2b)．(ma-2b)=m2a2-4b2=9m2-4×25=0，解得m=±．10、下列说法正确的有()．①a．(b．c)=(a．b)．c；②λa与a同向；③a．(b+c)=a．b+a．c；④a+b=b+a；⑤(λ+μ)a=λa+μa．(λ、μ均为实数)A、①②③B、②④⑤C、①③⑤D、③④⑤标准答案：D知识点解析：向量的数量积不满足结合律，故①错误；当λ＜0时，λa与a异向，故②错误；③④⑤分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和向量数乘中的分配律运算，均正确．因此本题选D．11、若向量a、b为相互垂直的单位向量，则它们的数量积a．b=()．A、1B、一1C、0D、+l标准答案：C知识点解析：两向量垂直，则两向量的数量积为0．12、向量a=(m，2，1)，b=(2，一1，n)，已知a和b不平行，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：若a∥b，则．因此，当a和b不平行时，只需满足m≠一4或n≠一即可．13、已知点C在线段AB上，且AC=2BC，若O是线段所在直线外的一点，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：14、已知向量c=(2，3，一1)-2(-1，0，2)，若用标准基i、j、k表示c，则c=()．A、i+2j+kB、3j+3kC、4i+3j一5kD、3i+3j一3k标准答案：C知识点解析：c=(2，3，一1)一2(一1，0，2)=(4，3，一5)=4i+3j一5k．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、已知空间内的两点M(1，3，2)，N(一2，1，1)，则｜｜=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题干可知，16、已知点P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，0为坐标原点，若点P(x，y)分有向线段，x=__________，y=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据线段定比分点的向量公式可知17、在△ABC中，已知=(一3，4)，∠C=60°，则面积S△ABC=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知=5，则∠A=∠C，又因为∠C=60°，所以△ABC是边长为5的等边三角形，故S△ABC=18、如图所示，在四面体OABC中，线段MN，PQ分别是△OAB和△ABC的中位线，且=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知M、Q分别是线段OA、BC的中点，故19、若x，y∈R，i，j是平面直角坐标系内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x一1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，则点N(x，y)的轨迹方程是__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知点N(x，y)到F1(一1，0)，F2(1，0)距离之和为4，根据椭圆的定义可知N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且C=1，2a=4，所以b2=3，因此N的轨迹方程为=1．20、已知a=一2i+2j，b=一mi+j，c=4i+nj是平面内的三个向量，若此三向量共线，则m+n=__________．FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：根据题意知a=(一2，2)，b=(一m，1)，c=(4，n)，因为三向量共线，所以，解得m=1，n=一4，所以m+n=一3．21、若向量｜a｜=，｜b｜=1，a⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有a．(a-2b)=a2一2a．b=｜a｜2一2｜a｜｜b｜cos=．又因为a与b的夹角在[0，π]范围内，所以a与b的夹角为．22、已知向量a=2i+2j—k，则与其方向相同的单位向量a’=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：23、已知向量a=(1，y，一1)，b=(x，4，3)，且x，y∈N*，若a．b=0，则xy的最大值是_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为a．b=x+4y一3=0，所以3=x+4y≥24、已知向量a、b满足｜a+b｜=，｜a｜=1，｜b｜=4，则a与b的夹角为_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有｜a+b｜2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos=1+16+8．cos=13，所以cos=一，又因为a与b的夹角在[0，π]范围内，故向量a，b的夹角为．25、在平面直角坐标系中，已知两点A(1，2)，B(3，一1)，O为坐标原点，若点C(x，y)满足，其中λ+μ=1，则点C的轨迹方程是_________．FORMTEXT标准答案：3x+2y一7=0知识点解析：由题，根据三点共线定理可知，A，B，C三点共线．因此点C的轨迹是A，B所在的直线，故点C的轨迹方程是y一2=(x一1)，即3x+2y-7=0．26、一物体(可视为质点)在力F=2i+3j一k的作用下由点A(一3，1，2)运动到点B(2，3，4)，则力做功为_________焦耳．FORMTEXT标准答案：14知识点解析：由题意可知位移=(2，3，一1)．(5，2，2)=14．三、解答题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)27、如图，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD为三个互相垂直的平面，AB、AD、AF分别为两两平面的交线，，H、G分别为线段FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCGH是平行四边形；(2)判断C、D、E、F四点是否共面?：为什么?标准答案：(1)，又因为H、G分别为线段FA、FD的中点，所以HG是AADF的中位线，即HG∥AD且HG=AD，所以BCHG，因此四边形BCGH是平行四边形．(2)同(1)可证得四边形BEFH也是平行四边形，所以EF∥BH．由(1)知CG∥BH，所以EF∥CG，则EF与CG共面．又因为D∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四点共面．知识点解析：暂无解析28、点P是不等式｜y｜≤所表示的平面区域内的一动点，该点在区域边界所在直线上的投影分别为M，N．若，(1)求动点P的轨迹方程；(2)已知点C(1，0)，F(2，0)，过点F作直线l交P点轨迹于A，B两点，是否存在这样的直线l，使AC⊥BC，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．标准答案：(1)依题意知｜y｜≤表示的区域边界所在的直线分别为l1：y=(x≥0)和因此动点P的轨迹方程是以(2，0)，(一2，0)为焦点的双曲线的右支：x2-=1(x≥1)．(2)当直线l斜率不存在时，直线l：x=2，所以A(2，3)，B(2，-3)，显然≠0．当直线l斜率存在时，设直线l：y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立l与P点轨迹方程，消去y得：(3一k2)x2+4k2x一(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3一k2)=36k2+36＞0，所以x1+x2=②．要使△ABC为直角三角形，则必有=0，即(x1一1)(x2—1)+y1y2=0，所以x1x2一(x1+x2)+1+k2(x1一2)(x2—2)=0，整理得(1+k2)x1x2一(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，将①②代入上式，解得k=0．当k=0时，直线l与x轴重合，与P点的轨迹只有一个交点．所以不存在这样的直线，使得AC⊥BC．知识点解析：暂无解析29、已知函数y=，如图过点M(0，一1)作斜率为k的直线Z交该函数图象于A，B两点．若该函数曲线的焦点F与A，B，C三点按图中顺序连接成平行四边形，求点C的轨迹方程．标准答案：由题干可知，抛物线焦点坐标为F(0，1)，设A，B，C5-点坐标分别为，(x，y)．因为F(0，1)，M(0，一1)，知识点解析：暂无解析30、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，=a．(1)证明：AB’⊥CD’；(2)求二面角D—A’C’一B的正切值．标准答案：(1)如图所示，建立空间直角坐标系．由图知A(a，0，0)，B’(a，a，a)，C(0，a，0)，D’(0，0，a)，(2)设面DA’C’的法向量为n1=(x1，y1，z1)，面BA’C’的法向量为n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A’C’一B的平面角为α．令z1=1，则x1=y1=一1，所以面DA’C’的一个法向量为n1=(一1，一1，1)．同理可得面BA’C’的一个法向量为n2=(1，1，1)知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、下列各组向量中满足a//b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(－1，－1，－1)，b=(1，0，1)C、D、标准答案：D知识点解析：空间内任意两个向量a、b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb．因此本题选D.2、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列说法错误的是()．A、a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a·0=0D、a／／b的充要条件是x1y2--x2y1=0标准答案：C知识点解析：两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为0而不是零向量，故C项错误．3、向量a=(－2，2，1)，b=(2，－1，－3)，则|2a+3b|=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2a+3b=2×(－2，2，1)+3×(2，－1，－3)=(2，1，－7)，所以|2a+3b|=4、在△ABC中，则该三角形是()．A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定标准答案：C知识点解析：因为所以故△ABC为直角三角形．5、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则行列式表示的是()．A、a+bB、a－bC、a·bD、a×b标准答案：D知识点解析：由题即等于向量的向量积a×b．6、已知空间内两个平面α：x－2y+2z=4，β：－x+y-2z=1，则α与β的夹角的余弦值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：依题意知平面α与β的一个法向量分别为n1=(1，－2，2)，，n2=(1，－1，2)，两平面夹角的范围为所以两平面夹角的余弦值为7、定义平面向量之间的一种运算如下，对任意的m=(a，b)，n=(c，d)，令mn=ac+bd，则下列说法错误的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：若m与n共线，则ad－bc=0，故A错误．其他三项中的运算均正确．8、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，两向量的夹角为θ，则下列说法错误的是()．A、称为向量a在b方向上的投影，投影的绝对值称为射影B、(a+b)·(a-b)=(x12－x22)+(y12-y22)C、D、(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R)标准答案：A知识点解析：称为向量b在向量a方向上的投影，故A项错误；(a+b)·(a－b)=a2－b2=|a|2－|b|2=(x12－x22)+(y12－y22)，B项正确；C、D项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确．因此本题选A．9、已知|a|=3，|b|=5，若(ma+2b)⊥(ma-2b)，m∈R，则m=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：依题意有(ma+2b)．(ma－2b)=m2a2－4b2=9m2－4×25=0，解得二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、已知空间内的两点M(1，3，2)，N(-2，1，1)，则FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题干可知所以11、已知点P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O为坐标原点，若点P(x，y)分有向线段所成的比例为λ,FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据线段定比分点的向量公式可知即12、在△ABC中，已知∠C=60°，则面积S△ABC=_________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知则∠A=∠C，又因为∠C=60°，所以△ABC是边长为5的等边三角形，故13、如图所示，在四面体OABC中，线段MN，PQ分别是△OAB和△ABC的中位线，且用a，b，c表示=___________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知M、Q分别是线段OA、BC的中点，故14、若x，y∈R，i，j是平面直角坐标系内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x－1)i+yj，且|a|+|b|=4，则点N(x，y)的轨迹方程是__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知点N(x，y)到F1(－1，0)，F2(1，0)距离之和为4，根据椭圆的定义可知N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的轨迹方程为15、已知a=－2i+2j，b=－mi+j，c=4i+nj是平面内的三个向量，若此三向量共线，则m+n=_________．FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：根据题意知a=(－2，2)，b=(－m，1)，c=(4，n)，因为三向量共线，所以解得m=1，n=－4，所以m+n=－3．16、若向量|b|=1，a⊥(a－2b)，则向量a与b的夹角为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有a．(a－2b)=a2－2a．b=|a|2－2|a||b|cos(a，b)=×1×cos(a，b)=0，所以cos(a，b)=又因为a与b的夹角在[0，π]范围内，所以a与b的夹角为17、已知向量a=2i+2j－k，则与其方向相同的单位向量a’=_____________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)如图，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD为三个互相垂直的平面，AB、AD、AF分别为两两平面的交线，H、G分别为线段FA、FD的中点．18、证明：四边形BCGH是平行四边形；标准答案：因为所以BC//AD且又因为H、G分别为线段FA、FD的中点，所以HG是△ADF的中位线，即HG//AD且所以因此四边形BCGH是平行四边形．知识点解析：暂无解析19、判断C、D、E、F四点是否共面?为什么?标准答案：同上题可证得四边形BEFH也是平行四边形，所以EF//BH．由上题知CG//BH，所以EF//CG，则EF与CG共面．又因为D∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四点共面．知识点解析：暂无解析点P是不等式所表示的平面区域内的一动点，该点在区域边界所在直线上的投影分别为M，N．若20、求动点P的轨迹方程；标准答案：依题意知表示的区域边界所在的直线分别为l1：和l2：所以因为MP⊥l1，NP⊥l2，所以∠MPN=π－∠MON=设点P坐标为(x，y)，因此动点P的轨迹方程是以(2，0)，(－2，0)为焦点的双曲线的右支：知识点解析：暂无解析21、已知点C(1，0)，F(2，0)，过点F作直线Z交P点轨迹于A，B两点，是否存在这样的直线l，使AC⊥BC，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．标准答案：当直线l斜率不存在时，直线l：x=2，所以A(2，3)，B(2，－3)，显然当直线l斜率存在时，设直线l：y=k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立l与P点轨迹方程消去y得：(3－k2)x2+4k2x－(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3－k2)=36k2+36>0，要使△ABC为直角三角形，则必有即(x1－1)(x2－1)+y1y2=0，所以x1x2－(x1+x2)+1+k2(x1－2)(x2－2)=0，整理得(1+k2)x1x2－(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，将①②代入上式，解得k=0．当k=0时，直线l与x轴重合，与P点的轨迹只有一个交点．所以不存在这样的直线，使得AC⊥BC．知识点解析：暂无解析22、已知函数如图过点M(0，－1)作斜率为k的直线l交该函数图像于A，B两点．若该函数曲线的焦点F与A，B，C三点按图中顺序连接成平行四边形，求点C的轨迹方程．标准答案：由题干可知，抛物线焦点坐标为F(0，1)，设A，B，C三点坐标分别为因为F(0，1)，M(0，－1)，所以又因为M、A、B三点共线，因为x1≠x2，所以x1x2=4．又因为四边形ACBF为平行四边形，又因为x1=x－x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、向量a=(—2，2，1)，b=(2，—1，—3)，则｜2a+3b｜=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2a+3b=2×(—2，2，1)+3×(2，—1，—3)=(2，1，—7)，所以｜2a+3b｜=．2、已知空间内两个平面α：x—2y+2z=4，β：—x+y—2z=1，则α与β的夹角的余弦值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：依题意知平面α与β的一个法向量分别为n1=(1，—2，2)，n2=(1，—1，2)，两平面夹角的范围为，又｜n1｜==3，｜n2｜=，所以两平面夹角的余弦值为cos＜n1，n2＞=.3、已知｜a｜=3，｜b｜=5，若(ma+2b)⊥(ma—2b)，m∈R，则m=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：依题意有(ma+2b).(ma—2b)=m2a2—4b2=9m2—4×25=0，解得m=．4、下列说法正确的有()．①a.(b.c)=(a.b).c；②λa与a同向；③a.(b+c)=a.b+a.c；④a+b=b+a；⑤(λ+μ)a=λa+μa．(λ、μ均为实数)A、①②③B、②④⑤C、①③⑤D、③④⑤标准答案：D知识点解析：向量的数量积不满足结合律，故①错误；当λ＜0时，λa与a异向，故②错误；③④⑤分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和向量数乘中的分配律运算，均正确．因此本题选D．5、已知点C在线段AB上，且AC=2BC，若O是线段所在直线外的一点，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：依题意可知.6、已知向量a=i+2j—k，b=—2i—j+k，则a×b=()．A、—i—jB、3i—j+3kC、—5D、i+j+3k标准答案：D知识点解析：a×b=(1，2，—1)×(—2，—1，1)=[2×1—(—1)×(—1)]i+[(—1)×(—2)—1×1]j+[1×(—1)—2×(—2)]k=i+j+3k．7、已知n=(1，2)，m=(—2，1)，若向量=()．A、(3，1)B、(—3，—1)C、(—1，3)D、(—1，1)标准答案：A知识点解析：=n—m=(1，2)—(—2，1)=(3，1)．8、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空间中的三个向量，则“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：A知识点解析：三向量共面的充要条件是(a×b).c=0，即=0，所以m+8n—3mn=0．当m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面；当三向量共面时，无法推出m=0且n=0．因此选A．9、在四面体OABC中，OB=OC=1，∠AOB=∠AOC==()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)10、在△ABC中，已知=(4，3)，=(—3，4)，∠C=60°，则面积S△ABC=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知=5，则∠A=∠C，又因为∠C=60°，所以△ABC是边长为5的等边三角形，故S△ABC=.11、已知a=—2i+2j，b=—mi+j，c=4i+nj是平面内的三个向量，若此三向量共线，则m+n=_______．FORMTEXT标准答案：—3知识点解析：根据题意知a=(—2，2)，b=(—m，1)，c=(4，n)，因为三向量共线，所以，解得m=1，n=—4，所以m+n=—3．12、已知向量a=(1，y，—1)，b=(x，4，3)，且x，y∈N*，若a.b=0，则xy的最大值是________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为a.b=x+4y—3=0，所以3=x+4y≥，即xy≤，当且仅当x=4y时取等号，此时(xy)max=.13、一物体(可视为质点)在力F=2i+3j—k的作用下由点A(—3，1，2)运动到点B(2，3，4)，则力做功为_______焦耳．FORMTEXT标准答案：14知识点解析：由题意可知位移=(5，2，2)，所以力做的功W==(2，3，—1).(5，2，2)=14．14、已知i，j，k分别是空间直角坐标系x，y，z三个轴的单位向量，若s=i+j+k，则｜s｜=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意知i，j，k之间相互垂直，所以i.j=0，j.k=0，i.k=0．又因为s2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i.j+2j.k+2i.k=3，所以｜s｜=．15、已知向量a=(3，4，5)，则与a平行的单位向量，n=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：n=，所以与向量a平行的单位向量为.16、已知空间两直线l1：和l2：，则直线l1，l2的夹角的余弦值是________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知直线l1，l2的方向向量分别是S1=(2，—3，—1)，s2=(—3，1，2)，｜s1｜=｜s｜=，所以直线l1，l2的夹角的余弦值cos1，s2>=，又因为两直线的夹角范围为，所以直线l1与l2夹角的余弦值为.三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)如图，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD为三个互相垂直的平面，AB、AD、AF分别为两两平面的交线，，H、G分别为线段FA、FD的中点．17、证明：四边形BCGH是平行四边形；标准答案：因为，所以BC∥AD且BC=．又因为H、G分别为线段FA、FD的中点，所以HG是△ADF的中位线，即HG∥AD且HG=，所以，因此四边形BCGH是平行四边形．知识点解析：暂无解析18、判断C、D、E、F四点是否共面?为什么?标准答案：同上小题可证得四边形BEFH也是平行四边形，所以EF∥BH．由(1)知CG∥BH，所以EF∥CG，则EF与CG共面．又因为D∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四点共面．知识点解析：暂无解析已知空间直线L的一般方程为，求：19、直线L与平面α：x—2y+z—2=0所成角的正弦值.标准答案：依题意知平面α的一个法向量为n1=(1，—2，1)，直线L的方向向量s=(1，2，—1)×(2，—1，3)==(5，—5，—5)，因为直线L与平面α的夹角θ∈，所以sinθ=｜cos＜s，n1＞｜=.知识点解析：暂无解析20、过点A(3，2，—1)且垂直于直线L的平面β．标准答案：因为平面β与直线l垂直，所以可令平面β的法向量，n2=s=(5，—5，—5)．又因为平面β过点A(3，2，—1)，所以平面β的方程为5(x—3)—5(y—2)—5(z+1)=0，即x—y—z—2=0．知识点解析：暂无解析已知空间向量a=(3，0，—4)，b=(2，—3，1)，求：21、a.b，a×b.标准答案：a.b=(3，0，—4).(2，—3，1)=3×2+0×(—3)+(—4)×1=2；a×b==—12i—11j—9k．知识点解析：暂无解析22、(2a).(—b)，(—a)×(2b).标准答案：(2a).(—b)=—2(a.b)=—2×2=—4；(—a)×(2b)=—2(a×b)=—2(—12i—11j—9k)=24i+22j+18k．知识点解析：暂无解析23、向量a，b所成角的正弦值．标准答案：因为｜a｜=5，｜b｜=，所以cos=.a与b的夹角在[0，π]的范围内，所以0≤sin≤1．所以sin=．知识点解析：暂无解析已知a，b，c是平面上三个单位向量，且a+b+c=0．24、证明：(a—b)⊥c.标准答案：因为a、b、c为单位向量，所以｜a｜=｜b｜=｜c｜=1．设a与b之间的夹角为θ，由题干得a+b=—c，即(a+b)2=c2．化简为｜a｜2+2｜a｜｜b｜cosθ+｜b｜2=｜c｜2．代入得cosθ=．因为θ∈[0，π]，所以θ=．同理可求得a与c、b与c的夹角均为．所以(a—b).c=a.c—b.c=1×1×cos120°—1×1×cos120°=0．即(a—b)⊥c．知识点解析：暂无解析25、若｜a—b+kc｜＞2(k∈R)，求k的取值范围．标准答案：因为｜a—b+kc｜＞2，所以｜a—b+kc｜2＞4，即a2+b2+k2c2—2a.b+2ka.c—2kb.C＞4，因为a．c=b．c=a．b=，所以k2+1+1—2×＞4即k2—1＞0，解得k＜—1或k＞1．故k的取值范围是(—∞，—1)∪(1，+∞)．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知空间内两直线l1:若l1//l2，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(m，2，－1)，s2=(4，3，－n)，因为l1//l2，所以解得2、已知n=(1，2)，m=(-2，1)．若向量A、(3，1)B、(－3，－1)C、(－1，3)D、(－1，1)标准答案：A知识点解析：3、向量a=(x，2，1)，b=(2，－1，y)，a⊥b，则y关于x的函数图像不经过()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限标准答案：C知识点解析：因为a⊥b，所以a．b=2x－2+y=0，即y=－2x+2，如图所示，该函数图像不过第三象限．4、在平行四边形ABCD中，顶点A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，－1，3)，则平行四边形ABCD的面积为()．A、3B、C、D、6标准答案：C知识点解析：5、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空间中的三个向量，则“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：A知识点解析：三向量共面的充要条件是(a×b)?c=0，即所以m+8n－3mn=0．当m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面；当三向量共面时，无法推出m=0且n=0．因此选A．6、在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足A、－2B、C、D、2标准答案：B知识点解析：因为AM=1，点P在AM上且因此答案为B7、已知空间内两直线则“l1⊥l2”是“m=－n=－2”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：C知识点解析：由题意可知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(2，m，－1)，s2=(n，3，－2)．若l1⊥l2，则有s1．s2=(2，m，－1)．(n，3，－2)=2n+3m+2=0，无法推出m=－n=－2；若m=－n=－2，则s1=(2，－2，－1)，s2=(2，3，－2)，即s1．s2=0，所以l1⊥l2．综上所述“l1⊥l2”是“m=－n=－2”的必要不充分条件．8、在四面体OABC中，OB=OC=1，A、B、C、D、0标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、已知数列{an)为a1=1且公差不为0的等差数列，向量p=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若p//q，则an的通项公式是________．FORMTEXT标准答案：an=3n－2知识点解析：根据题意可设数列{an}的通项公式为an=1+(n－1)d．因为p//q，所以解得d=3或0(舍去)．因此an=3n－2．10、已知|a|=1，|b|=2，|a－b|=则a与b的夹角为_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：|a－b|2=(a－b)2=a2－2a．b+b2=1－2a．b+4=3，所以a．b=1，故所以a与b的夹角为11、已知向量a=(3，4，5)，则与a平行的单位向量n=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：所以与向量a平行的单位向量为12、已知空间中三个向量a=(2，1，－1)，b=(－1，3，2)，c=(2，－2，1)，则(a×b)．C=________．FORMTEXT标准答案：23知识点解析：(a×b)·c=(1×2－(－1)×3，(－1)×(－1)一2×2，2×3一1×(－1))·(2，－2，1)=(5，－3，7)·(2，－2，1)=23．13、若向量m，n的夹角为60°，|m|=2，|n|=，则(m+2n)(m-n)=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：14、已知空间两直线则直线l1，l2的夹角的余弦值是_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知直线l1，l2的方向向量分别是s1=(2，－3，－1)，s2=(－3，1，2)，所以直线l1，l2的夹角的余弦值又因为两直线的夹角范围为所以直线l1与l2夹角的余弦值为15、已知a⊥b，|a|=2，|b|=4，则|a+b|_________|a一b|．(填“＞”“＜”或“=”)FORMTEXT标准答案：=知识点解析：16、已知向量a=2i+3j-k，b=-i+j－2k，c=2ma一3ab，若c⊥x轴，则m=________．(用n表示)FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有c=2m(2i+31－k)－3n(－i+2j－2k)=(4m+3n)i+(6m－6n)j－(2m－6n)k，取x轴单位方向向量e=(1，0，0)，因为c⊥x轴，所以c⊥e，即c．e=(4m+3n，6m－6n，－2m+6n)．(1，0，0)=4m+3n=0，所以三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)已知空间向量a=(3，0，－4)，b=(2，－3，1)，求：17、a·b，a×b；标准答案：a·b=(3，0，－4)·(2，－3，1)=3×2+0×(－3)+(－4)×1=2；知识点解析：暂无解析18、(2a)·(－b)，(－a)×(2b)；标准答案：(2a)·(－b)=－2(a·b)=－2×2=－4；(－a)×(2b)=－2(a×b)=－2(－12i－11j－9k)=24i+22i+18k．知识点解析：暂无解析19、向量a，b所成角的正弦值．标准答案：因为所以a与b的夹角在[0，π]的范围内，所以0≤sin(a，b)≤1．所以知识点解析：暂无解析已知A(－1，1，－2)，B(－5，6，2)，C(－1，－3，1)，求：20、过点M(－2，3，1)且与A，B，C三点所在平面平行的平面β；标准答案：设A，B，C三点所在的平面α的法向量为n(x’，y’，z’)．因为α//β，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因为平面β过点(－2，3，1)，所以平面β的方程为整理可得平面β的方程为31x+12y+16z+10=0．知识点解析：暂无解析21、向量的模；标准答案：知识点解析：暂无解析22、点A到BC的距离．(结果用根号表示即可)标准答案：依题意可设为其所在直线l的方向向量，且直线过C(－1，－3，1)，所以l的直线方程为：所以A到BC的距离知识点解析：暂无解析请用向量证明下列推论：23、直径所对应的圆周角是直角；标准答案：如图所示，BC为⊙O的直径，A为圆上不同于B、C的一点