专题03等式性质与不等式的性质基本不等式（考点清单）

专题03等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单）目录TOC\o"13"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 2三、考点清单讲与练 3考点清单01比较两个代数式的大小 3【考试题型1】比较两个代数式的大小 3考点清单02利用基本不等式求最值 5【考试题型1】和为定值求积的最值 5【考试题型2】积为定值求和的最值 6【考试题型3】凑项（系数） 7【考试题型4】常数代换法 8【考试题型5】消元法 10【考试题型6】二次与二次（或一次）商式 11考点清单03基本不等式在实际中的应用 13【考试题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 13一、思维导图二、知识回归知识回顾1：作差法比较大小作差法的依据：①；②；③步骤：(1)作差；(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）知识回顾2：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数知识回顾3：重要不等式一般地，，有，当且仅当时，等号成立.知识回顾4：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）三、考点清单讲与练01比较两个代数式的大小【考试题型1】比较两个代数式的大小【解题方法】作差法，作商法【典例1】（2023秋·全国·高一专题练习）已知，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，所以.故选：D【典例2】（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【答案】(1);(2);(3).【详解】（1）解：，，因为，所以，即；（2）解：．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．【专训11】（2023·全国·高一专题练习）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，得，于是，即，而，且三个实数互不相等，因此，所以的大小关系是.故选：D【专训12】（2023·全国·高一专题练习）已知，试比较和的大小.【答案】【详解】（方法1）因为，所以.所以.因为，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.02利用基本不等式求最值【考试题型1】和为定值求积的最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数的最大值是．【答案】/【详解】方法一：，∵，∴，，∴，当且仅当，即时取等号．故当时，．方法二：由知，∴，当且仅当，即时取等号．故当时，．故答案为：【专训11】（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知，，且，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】，解得，当且仅当时等号成立，即，时，等号成立，所以的最大值为.故选：C【专训12】（2023·江苏·高一专题练习）设，求函数的最大值．【答案】2【详解】，且==2，当且仅当，即时取等号，故最大值为2.【考试题型2】积为定值求和的最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）若，则函数最大值为（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【详解】，由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，而，故，所以最大值为，故选：D【专训11】（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.【专训12】（2023·全国·高一专题练习）设，则函数的最大值为；此时的值是.【答案】2【详解】解：因为，所以函数，当且仅当即时，等号成立，所以函数的最大值为；此时的值是2，故答案为：；2【考试题型3】凑项（系数）【解题方法】拼凑项，化整体，利用基本不等式【典例1】（2023秋·高一课时练习）设，则的最小值是．【答案】0【详解】解析因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为0.故答案为：0【专训11】（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数（）的最小值是．【答案】6【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值是.故答案为：【专训12】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为.【答案】5【详解】因为，则，当且仅当即时取等号，故答案为：5【考试题型4】常数代换法【解题方法】将已知条件中的等式与目标式相乘【典例1】（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）若，，，则的最小值为．【答案】9【详解】由题意得，，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故答案为：9【典例2】（2023秋·福建莆田·高三校考开学考试）已知若正数、满足，则的最小值为．【答案】【详解】已知正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.【专训11】（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）已知，则的最小值为．【答案】49【详解】由，则，，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值49.故答案为：49【专训12】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知，，且，则的最小值为．【答案】【详解】，，，，当且仅当，即时等号成立.故答案为：【考试题型5】消元法【解题方法】带入消元【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D【专训11】（2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6【答案】A【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A【专训12】（多选）（2023秋·浙江温州·高一统考期末）已知正实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】由题知，正实数满足，所以，对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，，当且仅当且，即时取等号，故B错误；对于C，因为，所以，所以所以，当且仅当，且，即时取等号，故C错误；对于D，由选项A得，所以，当且仅当，且，即时取等号，故D正确；故选：AD【考试题型6】二次与二次（或一次）商式【解题方法】分离变量法【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为．【答案】【详解】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：【典例2】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是．【答案】【详解】当时，当，.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：【专训11】（2023·全国·高一课堂例题）函数的最小值为．【答案】【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.【专训12】（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的最小值是．【答案】【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.03基本不等式在实际中的应用【考试题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023·全国·高三专题练习）蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为秒.【答案】【详解】不妨设，，当且仅当时等号成立.千米/小时米/秒此时红灯设置时间为秒.故答案为：【专训11】（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比.若在距离车站处建立仓库，则与分别为万元和万元.则当两项费用之和最小时（单位：）.【答案】【详解】由已知可设：，，且这两个函数图象分别过点、，得，，从而，，故，当且仅当时，即时等号成立.因此，当时，两项费用之和