6.5.1直线与平面垂直课件高一下学期数学北师大版

5.1直线与平面垂直

第六章立体几何初步§5垂直关系学习目标XUEXIMUBIAO1.了解直线与平面垂直的定义，并会用定义判定线面垂直.2.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.

观察下列生活中的现象：（1）感受桥柱与水面是怎样的位置关系？桥柱与水面垂直实例引入（2）感受旗杆与地面是怎样的位置关系？旗杆与地面垂直

观察下列生活中的现象：实例引入旗杆ABC（3）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条过点B的直线是否都垂直？（4）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条不过点B的直线是否都垂直？

观察下列生活中的现象：是是旗杆AB与地面的任何一条直线都垂直.随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直.实例引入（3）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条过点B的直线是否都垂直？（4）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条不过点B的直线是否都垂直？

观察下列生活中的现象：旗杆AB与地面的任何一条直线都垂直.随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直.

如何定义一条直线与一个平面垂直呢？

Al抽象概括直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.抽象概括l平面的垂线直线的垂面垂足记作：

A

线面垂直的画法

如图，通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.

Al抽象概括思考1：

如果一条直线垂直于一个平面内的所有直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（是）思考2：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（否）定义理解lαa┐

如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线.

利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本的方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质：线面垂直线线垂直

问：判定直线与平面不垂直，只需要在平面内找一条直线和已知直线不垂直即可，那如何来判定一条直线与一个平面垂直呢？定义理解探究1：aαl如果直线l与平面α内的一条直线垂直，那么直线l和平面α是否互相垂直?（否）定理探究bαa探究2：l如果这两条直线平行那如果这两条直线相交呢？如果直线l与平面α内的两条直线垂直，那么直线l和平面α是否互相垂直?（否）定理探究bαa探究3：l如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，那么直线l和平面α是否互相垂直?定理探究

过∆ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD,DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？

动手实验：ABDC请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：ABCD探究3：如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，那么直线l和平面α是否互相垂直?（是）定理探究DACB┐αDACB

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

线面垂直的判定定理αAbal简述为：线线垂直

线面垂直定理探究符号表示：

例1

(多选)下列命题中，不正确的是A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解√√√解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.定理应用反思感悟对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.跟踪训练1

如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)①③④解析根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.例2.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是_______.垂直解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O，AO、OC⊂平面AOC∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.例3

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.证明∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.跟踪训练3

如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；证明∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴BM⊥平面PAM.∴AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直的关键是