空间向量及其运算两个向量的数量积

2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞1空间向量的基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对x、y、z，使ABDCO思路：作E2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞2推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对x、y、z使OABCPPP注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底如：2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义OAB2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞42）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞53）射影BAA1B1

根据以上定义正射影（简称射影）是一个向量！向量在方向上的射影的长度为2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞64)空间向量的数量积性质

注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞75)空间向量的数量积满足的运算律

注意：数量积不满足结合律2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞8二、课堂练习2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞9ADFCBE2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞10三、典型例题

例1：已知m,n是平面

内的两条相交直线，直线l与

的交点为B，且

l⊥m，l⊥n，求证：l⊥

分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmn

ll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn

要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝02024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞11三、典型例题

例1：已知m,n是平面

内的两条相交直线，直线l与

的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥

nmggmn

ll证明：在

内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使

g=xm+yn,

l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g

这就证明了直线l垂直于平面

内的任一条直线，所以l⊥

2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞12例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求证：OC⊥ABABCO

2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞13例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。解：由，可知.由知.

2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞14例4已知在平行六面体中，,

,求对角线的长。解：2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞151.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.解：∵2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞162.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。证明：因为所以同理，2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞173.已知空间四边形，求证：。证明：∵2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞184.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞19思考题：利用向量知识证明三垂线定理aAOP2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞20已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：作业讲评2024/7/23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞21课堂小结：

1．正确分清楚空