高中数学课堂讲义：圆锥曲线大题解题模板

高中数学课堂讲义：圆锥曲线大题解题模板

目录

1.判断直线与圆锥曲线的位置关系...............................................1

2.掌握基本知识...............................................................2

3.直线与圆锥曲线解题模板.....................................................4

3.1.模板1-圆锥曲线与直线....................................................4

3.2.模板2-弦长与三角形面积相关.............................................9

3.3.模板3-角度的处理与转化.................................................12

3.4.模板4-垂直平分线相关...................................................15

3.5.模板5-定点定值问题.....................................................17

3.6.模板6-与向量相关的问题................................................21

3.7.模板7-范围与最值问题..................................................24

1.判断直线与圆锥曲线的位置关系

1、寻找主直线：主直线有两个要求：

①所给的直线条件中：有必过点(或者求证是否有必过点)，给斜率或倾斜

角(或者与斜率、倾斜角有关的条件)；

②所给的直线与圆锥曲线有两个交点。

2、从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元

后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是

一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。

F2

___v1

例如：将广奴+M代入__＞0,。＞0)中整理得:

(b2-a2k2)x2-201kmx-a2/n2-a2b2=0.

(1)当“时，该方程为一次方程，此时直线＞=丘+相与双曲线的渐近

线平行；

3

(2)当。时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双

曲线的位置关系。

第1页共28页

3、从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异

的公共点，具体如下：

(1)直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距

离的最大值或最小值来解决；

(2)直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于

双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其

相切或直线与其对称轴平行；

(3)直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时

直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

2.掌握基本知识

1、与一元二次方程⑪相关的知识(三个"二次”问题):

(1)判别式：A=/-4ac；

b

(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根X、尤2,则I-a,

_-b±ylb2-4ac

(3)求根公式：若此方程有两个不同的根土、々，贝丁”=公

2、与直线相关知识：

(1)直线方程的五种形式：

①一般式：&+为+c=o；②点斜式：=X。)；③斜截式：

x一否%+2=1

,二丘+6或x=④两点式：刈一耳々一王；⑤截距式：a+~h=

(2)与直线相关的内容：

①倾斜角与斜率％=tana,a^O,兀)；②点到直线的距离

|Ar0+By+C\k-k,.

a=-~/0tana=|—2——-1

办2+京；③夹角公式：1+g。

(3)弦长公式：直线^=丘+8上任意两点4孙丹),B(如必),

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IAB|=J（X]-无2）2+（3-必）2=Jl+/，I斗-九2I

则i—/----------------I―r。

=J]+女-•J（X]+/）--4x,x2=Jl+-^--1y,—y21

⑷两条直线Ly=3+〃倾斜角为a）和仇"3+4（倾斜角为p）的位

置关系：

①32=%%=T=la一吟;

（^2）/]〃，2=勺=月4工>2<=>a=B；

③4与，2关于与X0）轴平行或垂直的直线对称，则匕+%2=（）,a+2兀。

（5）中点坐标公式：已知%）、85，为）两点，份是线段45的中

点，

均+々、，一%+为

则有2,」2。

3、圆锥曲线方程的形式：

（1）椭圆（焦点在》轴上）：

①定义方程：J（x+c）2+J+J（x-c）2+丁=2a；

兰+f=1

②标准方程：«2『（a>/?>0）.

22

③一般方程：=1（心°,〃>°且机="）;

卜=acos。

④参数方程：卜=初而°（0为参数1

（2）双曲线（焦点在*轴上）：

①定义方程：IJ（x+c、）2+y2-J（x—c）2+y2|-2a.

22

土-2=1

/7>0

②标准方程：//（。>°，）;

221

=l

③一般方程：松+（/wi<o）o

（3）抛物线方程的形式（焦点在X轴正半轴上）：

①标准方程：y2=2px（p>0）；

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\x=2pi1

②参数方程：1y=2m。为参数)。

4、圆锥曲线的重要性质：

空空

(1)通径：椭圆二双曲线丁，抛物线2p；

(2)焦点三角形公式：

①P在椭圆上时：cosQ大)=J2e2,|PFJI%l=]+cos。,

22

b<||.|PF21<a；SAH%=〃-tan^,/-c?4而.丽

2

_IPF,||PR|=^—S.FPF=b-cot-

②p在双曲线上时1-cose,3%2O

3.直线与圆锥曲线解题模板

1、没有寻找到主直线，就设交点坐标，通过运算寻找等量关系，消元，

最后获得结果。

2、有主直线：

兀兀

—a=——

(1)根据题意讨论直线倾角a是否可取2,当2时设直线方程为x=x°,

aM

当2时设直线方程为y-y.=k(x-x.)或y=h+/；或直线倾角a是否可取

0,当a=。时设直线方程为丁=%，当。=0时设直线方程为X-%=%)或

%=e+/,其中优为斜率的导数；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程形成关于x或旷的一元二次方程：

px2+/+z=0或犷+qy+z=0,注意验证A>0；

_b

(3)设而不求：设两交点坐标4孙M)、8(孙％),则“*=一"、

C

为'二鼠

»

(4)根据题意进一步求解。

3.1.模板1-圆锥曲线与直线

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---Fy~—1——t---=1

例1-1.（12分）椭圆G：2-,椭圆02：a2b2的

一个焦点坐标为（后°）,斜率为1的直线/与椭圆G相交于A、B两点,线段

的中点”的坐标为（2，T）。

（1）求椭圆G的方程；

（2）设P为椭圆上一点，点M、N在椭圆G上，且而=而+2而，则

直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请

说明理由。

审题路线图：通过。、以。、e和必过点的相关关系及中点弦公式求出

葭c-＞写出方程；寻找主直线（没有）-设点-利用等量关系消元求出定

值。

规范解答：

【解析】⑴椭圆02：/+乒=%＞。＞0）的一个焦点坐标为（后°）,

则C'=K,即有/_/=5①，1分

i.+2L=i4+应=1

设4＞|,为）、8（X2，%）,则/方2,//,2分

（X]一々）（X1+*2）,（弘一。2）（）'|+%）_c

29―U

两式相减：ay,3分

士也=2A±A=—1输=江人岑=1

A2,2,则占一芍«-②，4分

兰+T=1

由①②解得，。=屈,b=后,则椭圆C2的方程为1（）5一；5分

（2）设0（而%）,加的%），N（z，刃），

x

贝|Jo+2y=109x；+2y；=2,x：+=2,7分

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由0P=0M+20N,可得：（如%）=（工3，%）+2（%>4）,

x0=x3+2X4

...1%=□+2”,8分

28

...宕+2尤=（x3+2X4）+2（y3+2yJ=x；+4x3-x4+4看+2y；+8y3-内+>4

=（考+2$）+4（分工4+2%以）+4（考+2嫡=10+4（占.犬4+2力$）=1。，10

分

,..xi-x4+2y3-y4=0,

）勺.M=1

...与也2,即％*]]分

_2

••・直线。加与直线ON的斜率之积为定值，且定值为一5。12分

构建答题模板：

第一步：寻找主直线，没有主直线的情况下设点、找等量关系、消元。

第二步：通过计算（主要的方法有消元法、点差法、换元法）解出定值。

第三步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。

例1-2.（12分）已知定点C（T，°）及椭圆-+3）2=5,过点C的动直线与

椭圆相交于A、B两点。

（1）若线段村中点的横坐标是一5,求直线村的方程；

（2）在X轴上是否存在点M,使而•标为常数？若存在，求出点M的坐

标；若不存在，请说明理由。

审题路线图：设直线钻的方程y="（x+D-待定系数法求4一写出方程；

设“存在即为（a°）-求忘•标-在忘•标为常数的条件下求优。

规范解答：

【解析】（1）依题意，直线钻的斜率存在，设直线他的方程为

y=Z（x+l）,1分

将y=%（x+1）代入♦+3日=5,消去y整理得（3.+1）》:+6k2x+3--5=0,

2分

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A=36/-4(3左2+1)(3&2_5)>0,设A1,.)、B(x2,乃)，则

6k2

X.+x=----5——

2-3女2+1,4分

1x,+Xj3k21.1y/3

—------------=-------z=—k=土—

由线段AB中点的横坐标是2,得23K+12,解得3(可

取)，5分

.・•直线他的方程为9ky+i=°或x-百y+『o；6分

(2)假设在x轴上存在点“(加，°),使百•标为常数，

r+x6k2r丫3k2-5

①当直线AB与x轴不垂直时，由⑴知)+小=-3/+1,…=3入1,

7分

2

.MA-MB=(xi-/ri)(x2-rri)+yx-y2=(x)-m)^-m)+A：(X]+1)(巧+1)

=(Z~+1)X],X2+(A2—+&)+左一+1TI~g/分

将氏+芍与％-2代入整理得：

1914

——(6777-1)P-52(2〃7-§)(3公+1)-2”一§

MA•MR=-------------------------------km=-------------------------------4-

3左2+13二+1

2个16m+14

-m+2m------------z-----

33(3公+1)

7

若瀛•赢是与人无关的常数，则有碗+14=0,3,此时

—*—*4

MAMB=-

9,10分

(-1,-^-)

②当直线与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为，6、

T),

7—*—*4

m=一一MA・MB=—

当3时，也有9,11分

7八

M(—,0)—►—►

综上，在X轴上存在定点3,使M4.M5为常数。12分

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构建答题模板：

第一步：寻找主直线，根据模板进行解题。

第二步：假设结论存在，以存在为条件，进行推理求解。

第三步：明确规范表述结论。若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正

确；若推出矛盾，即否定假设。

第四步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。如本题中第(1)问容

易忽略A>°这一隐含条件。第(2)问容易忽略直线A8与x轴垂直的情况。

例1-3.(12分)已知抛物线C：丁=2、过(2,0)的直线/交c于A、B两

点。圆”是以线段为直径的圆。

(1)证明：坐标原点。在圆“上；

(2)设°”过「(4,-2),求/与圆M方程。

【解析】(1卜•抛物线C的方程为产=2"

(一,0)x=—

.•.C的焦点为2，准线为2,1分

当直线斜率不存在时，即钻垂直于x轴，此时A、3点横坐标均为2,

将x=2代入曲线方程，解得丫二12,此时圆半径为2,坐标原点在圆M

上，2分

当直线斜率存在时，设直线/的方程为y="*—2),

y2=2x

联立=2)得：心2_(4%2+2»+4/=0,A>0恒成立，3分

设A(xi，%)、B(X2,%),

4k2+2

x+x

...04=(再，%),OB=(X2,y2)i2~r,x,-x2=4)4分

..OA•OB=jq•々+y•%=%]•尤2+—2)•k(x2-2)

=(1+Zc)X1,x?—2k-+当)+4k-

=(1+22)X4-2%2'竺M^+4%2=0

2

k9

・.・瓦布=0,

第8页共28页

：.OA1OB,又AB为直径，

...坐标原点°在圆M上；6分

（2），•圆加过点「（4,一2）,

APAA.PB,即西•丽=0,

由（1）知（七一4）（工2-4）+（凶-4）（%-4）=0,

即西・々+凶+々）+2（必+%）+20=0,

由于y+%=%（%-2）+%52-2）=%（玉+々）-4%,

则/+%一2=0,解得％=-2或％=1,8分

9

①当&=-2时，直线/的方程为y=-2（x-2）,内+"5,

91

X）=-Vn=--

二点M的横坐标为4,则,°2,

（x—）+（y—）=—

.•.圆加的方程为4216,10分

②当人=1时，直线/的方程为，=工-2,百+々=6,

•・•点M的横坐标为与=3,则%=1,

••，

.|MP|=5/l2+32=7io

,,，

.•.圆”的方程为宜—3）2+（尸1）2=1°。12分

3.2.模板2-弦长与三角形面积相关

”,＞,21娓

例2-1.（12分）己知椭圆C：a2b2"＞人＞。）的离心率为3,且

经过点（5'5）。

（1）求椭圆C的方程。

第9页共28页

（2）过点P（°，2）的直线交椭圆C于A、B两点，求AAQ3（。为原点）面积的最

大值。

审题路线图：设椭圆标准方程-根据〃、葭c、e的关系列方程组f解

方程组写出方椭圆程；设直线点斜式方程一代入椭圆的标准方程一根据根与系

数关系求玉+々与百飞-根据图象求出关于的等式并用g一即表示-根

据均值不等式求最值。

规范解答：

222

2a-b,b2b6

【解析】⑴由矿a-3得a3①，1分

319।17

由椭圆经过点弓'5）得/+方=②，2分

联立①②，解得匕=1,a=后，

x22,

—I-y=1

...椭圆C的方程是3；4分

（2）由题意可知直线他一定存在斜率，设其方程为、=丘+2,5分

y=kx+2

£,2=1

联立［3+'-消去'得：（1+3G）/+12丘+9=0,6分

则△=144廿一36（1+342）＞。，得廿＞1,设4（不凶）、区区，乃），7分

12k9

X.-FX.=-------------7Xi-X7=----------

则■1+3廿,-1+3/,8分

SgOB=1—^APOA|=~XIXj—%21=1不一々I..

2，9分

3636（/-1）

—12k2

（X|—X）~=（%+々）—-x—（—

221+3口1+3公-（1+3新）2

10分

,、236r36363

2…际"开

设&j=，U>0）,则

11分

9r=-t=-k2=-＞\

当且仅当r,即3时等号成立，此时3,可取,

第10页共28页

此时AAO3面积取得最大值2。12分

构建答题模板：

第一步：根据过定点和。、葭。、e的关系求圆锥曲线方程。

第二步：设直线方程并与曲线方程联立，根据根与系数关系求玉+々与

第三步：根据图象分析所求图形的等量关系，并用均值不等式求最值。

第四步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。如本题中第（1）问如

不知道焦点位置应设圆锥曲线的一般方程。第（2）问应用换元可是计算更加简

便，但要注意新元的范围。

练习2-2.（12分）已知抛物线）人的焦点为尸，过尸的直线交抛物线

于A、8两点。

（1）若4尸=3所，求直线钻的斜率；

（2）设加点在线段A8上运动，原点°关于〃的对称点为C,求四边形

OAC3面积的最小值。

【解析】（1）由题意可知，直线AS的倾角不为0,设A8的方程为:

*=%+1,1分

x=my+\

<

与抛物线联立b'2=4x得：/一4〃?y_4=0,2分

设4再，y）、8（孙必）,贝|」乂+%=4〃7、%.为=-4,3分

______加2_J_

m

・.・AF=3FBny=_3y23,4分

•••直线"的斜率为百或一石；5分

（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段℃的中点,

••・点。与点C到直线A5的距离相等，6分

SOACB=2sA408=2XgXIOFIXI凶_%1=+%f-町•％=J16*+16>4

9分

・•・当加=。时，四边形OAC8的面积最小，最小值为4。10分

第11页共28页

—+—=1

练习2-2.（12分）已知椭圆/b2的一个焦点为产⑵。），且离心率为

V6

To

（1）求椭圆方程。

（2）过点加（3,0）且斜率为％的直线与椭圆交于A6两点，点AA关于x轴的对

称点为C,求&173c面积的最大值。

_c_屈

【解析】⑴依题意有。=2,/可得Y=6,反=2,故椭圆方程

上+4=1

为62；3分

（2）直线/的方程为y=%（x-3）,

代入椭圆方程消去得：（3公+1*-18产X+27M-6=0,4分

侬227k2-6

设A（X］,必）、8*2,%）,则、+不=3%2+1,-3炉+1,5分

不妨设玉<々，显然玉、々均小于3,则：6分

SSAMC=^-12^|<3-X］）HI-（3-X］）7分

SMBC=712芳卜（电—百）=|yj-（々—X］）

2,8分

S/MBC=lS^Bc一S^MCRM卜（3-々）引“N3-X1）（3-々）

,,,rQ2,,­?_3M<31kl_V3

=阳（9-3区+々）+咐］=许《赤—，I。分

左2=12

等号成立时可得3,此时方程为2Y-6X+3=0,满足△>（）,11分

73

••.&W3C面积S的最大值为2。12分

3.3.模板3-角度的处理与转化

讲解：在圆锥曲线大题中出现垂直、直角、锐角、钝角等题设或者问题,

一般都转化成向量:

第12页共28页

（]）AB_LC£>=ABC£）=O=X1+y•%=0.

（2）ZABC=90°nAB-3。=0=百々+y•%=0.

（3）车屯角^^BC>90AB'BC>0西,巧+y•%>。.

（4）ZABC为锐角=43C<90°nA8-3C<0=>X]•巧+Y・为〈0。

22

工+匕=1

例3-1.（12分）如图所示，椭圆J«2b2（。>人>0）的左右顶点分

别为4、42,上下顶点分别为片、生，四边形AfM?/的面积为4,周长为

4后。直线/：?=履+啦与椭圆交于不同的两点P和。。

（1）求椭圆的方程；

（2）若。尸~L°Q,求％的值。

（3）若NP°Q为锐角，求出的取值范围。

【解析】（1）四边形的面积为加）=4

分

---by=1

又。那>0,解得。=2,b=l,故椭圆的方程为4-；3分

（2）将丫=丘+近代入椭圆方程，整理得（1+4炉）/+8扬:x+4=0①，4分

21

A=128^2-16（4A:2+1）=16（4A:2-1）>0,解得45分

86k4

设尸（如立。（如必）,由方程①，得、+"-1+4&2,%'々=1+4%2

②，6分

2

又Y,%=（依+夜）（优+y/2）=k--x2+6k（X[+々）+2③，y分

OPJ_OQnOPOQ=0=>石•&+y•%=0,8分

八，八4二,，-8以、〜6-4/

（1+k-）----5+以（一、•）+2=----=0

即\+4k21+4/1+4%-7,9分

.23.21,,V6

k~——k~>一k=±

解得2,显然4满足，故2；10分

第13页共28页

(3)由(2)知,NF。。为锐角=＞0尸0。＞°=＞与•巧+%%＞0,即

6-4k2八

--r>°

1+以一,11分

k2<-k2>--<k2<-

解得2,又4,

12分

构建答题模板：

第一步：根据过定点和〃、以。、e的关系求圆锥曲线方程。

第二步：要求”的值”，因此需要构建关于左的方程。

第三步：根据已知oP，oQ=opoQ=on百.々+%％=0很容易得出计算

分步目标：

(1)直线和椭圆联立，根据韦达定理求的小和玉+々的表达式；

(2)计算八＞。得到一个火的范围；

(3户,々+%%=o,通过^=丘+及的关系式求出力力，计算％的值，并

验证。

第四步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。

__|_2--=]J—

练习3-1.(12分)已知椭圆C：«23一(。＞6)的离心率为2。

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/经过C的左焦点耳且与C相交于8、。两点，以线段为直

径的圆经过椭圆C的右焦点尸2,求/的方程。

【解析】(1)由题意得°=石，％=彳，a2=b2+c2,解得”=指,

22

土+匕=1

••・椭圆C方程为63；2分

(2)由题目可知/不是直线，二°,且片(-后°)、尸2("。)，3分

设直线/的方程为、='")’一追，点以孙必)、0(*2,%),4分

第14页共28页

代入椭圆方程，整理得：（疗+2）丁-2后iy-3=0,△＞（）恒成立，5分

2鬲3

/+为=诉?①,*%=-赢^②，6分

_46_6-6m2

由％二四厂6，々=，"%一石得：.+七一川+2③,苏+2④,

8分

.齐=（x「6,X）,尸2"=（々-6%），由题意知为3,丹。=°,10分

...玉・々-同芭+X2）+%%+3=o,将①②③④代入上式并整理得病=7,

...m=±V7,11分

因止匕直线/的方程为》一6）'+石=0或了+b）'+行=0。12分

3.4.模板4-垂直平分线相关

讲解：在圆锥曲线大题中出现垂直平分线等题设或者问题，设主直线的方

程（斜率4存在且不为°）,再设垂直平分线的方程（斜率&2存在且不为0）,求中

点坐标，再利用姑质=T建立关系式，求出问题。

例4-1.（12分）在平面直角坐标系中，点E到两点片（-1，0）、鸟（1，0）

的距离之和为2式，设点E的轨迹为曲线C。

（1）写出C的方程；

（2）设过点BQQ）的斜率为％（左/0）的直线/与曲线C交于不同的两点加、

N,点P在y轴上，且IPMHPNI,求点P纵坐标的取值范围。

［解析】（1）由题设知|£F'I+IEF?\=2血＞WBI,

根据椭圆的定义，E的轨迹是焦点为"、尸2,长轴长为2后的椭圆，2

分

/+£=1

设其方程为/b2（。＞6＞0）,贝k=后，c=l,解得。=1,

X2.

----by2=1

・•.C的方程为2；4分

（2）设直线/方程为＞=%（xT）,

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代入椭圆方程消去y得：（2二+1»2-4k2工+2公-2=0.5分

尤+X-软2

△=8二+8>0,设M（孙必）、N（X2,%），则.+%一2二+1,

2k1-2

!=2P+1,7分

2一,___J

设"N的中点为Q,贝产=2二+1,为一血一一一2二+1,

Q（/_____J）

即2/+1'2k2+1,9分

30,

,।k=1（X2k2）

二直线用N的垂直平分线方程为‘+定17一一二"一2二+1,I。分

k1

力=汨T£I

令x=0解得，k,

当我>。时，

..2及+：22后

.。<仆当

••~9

当k<0时，

2k+-<-2y[2

k

[---,0）U（0,—]

综上P纵坐标的取值范围是44。12分

22

工+匕=1

练习4-1.（12分）已知椭圆C：/b2（a>8>0）四个顶点恰好是边

长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线>=履交椭圆C于A、B两点,在直线/：X+y_3=0上存在点

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P,使得火钻为等边三角形，求出的值。

X22」

rr-----Fy=1

【解析】（1）由题意可知.=,3,、=1,椭圆C的方程为3-；3分

（2）设A®，必）,则3（一-y）,

当直线钻的斜率为°时AB的垂直平分线就是轴，4分

轴与直线/：工+k3=0的交点为PQ3）,

..\AB1=273|PO|=3

•，，

=60。，5分

••HA8是等边△,

.•.直线钻的方程为尸°,6分

当直线转的斜率存在且不为。时，设A5的方程为旷=依，代入椭圆方程消

去丫得,7分

(3二+1比2=3

8分

__2

设河的垂直平分线为）"一层',它与直线/：x+y-3=°的交点记为

P（知为）,9分

3k3|。。|=

("1)2

&T,k-\,则

曲为等边三角形，

...应有|「。|=6|4。|,

10分

W+9万愣2+3

代入得到«*T）213r+1,解得2=0（舍）或％=-1,

此时直线钻的方程为y=r,11分

综上，直线钻的方程为）'=°或x+y=°。12分

3.5.模板5-定点定值问题

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—+—=1

例5-1.（12分）已知椭圆C：//力>0）的左、右焦点分别为

旦

耳、尸2,离心率为7,以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线

x-y+&=0相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为4的直线/与x轴、椭圆。顺次相交于点A、M、N（A

点在椭圆右顶点的右侧），且满足NNBG=

/MBA,①求证：直线/过定点（2，。），②求斜率%的取值范围。

_c_>[2

【解析】⑴由题意知"="=亍，

2

e2—.।__b_—_1

一/-2,即/=2〃，2分

,41

又...J1+1,

.•.a=2,〃=1,故椭圆C的方程为2；4分

（2）由题意，设直线/的方程为丁=丘+加心*0）,知（孙弘）、'（孙力）,5

分

代入椭圆方程，消去y得：（2-1）/+4公加+（2加2-2）=0,6分

4km_2in2-2

△=16%2机2_4（242+1）（2〃/_2）>0,贝X|'X2=^rT7,7

分

得m2<2k2+1,

・.・NNB6=NgA,且NgAw90°

...^MF2+^NF2=0,8分

又B（i,o）,

一।%一0k%+m।3+J。

•X|—1%2-1g|JXj-1%2~~1

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化简得：2白々+（加一Q（%+々）-2%=0,10分

将西+*2和王.々代入上式得机=-2Z（满足△>0）,

即直线/的方程为>=丘一2左，即直线过定点（2。），11分

将机=一2%代入m2<2d+1得4%2<2公+1,且女工0,

（--,0）U（0,—）

从而直线/的斜率左的取值范围是22。12分

练习5-1.（12分）已知椭圆C：/b2心〉8>0）的左、右焦点分别

为《、尸2,点例（。，2）是椭圆的一个顶点，“々MB是等腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点M分别作直线M4,MB交椭圆于A、3两点，设两直线的斜率分

（__-2）

别为勺、的，且4+&=8,证明：直线.过定点2'0

【解析】⑴依题意可知b=c=2,

Jv2

.••。=2拉，则椭圆方程为84,3分

（2）依题意易知直线/的斜率存在，可设直线钻的方程为）'=丘+m，

（帆/2）,4分

,_）'|_2与_%_2

4不M）、B（x2,%）,则有‘百、?,

X-2+乃-2=&kx、+m-2+优+m-2=8

即西々o芭x2,6分

化简整理得：（2«_8岗%2+（祖一2）（内+》2）=0,①

将直线方程代入椭圆方程消去丁整理得：（1+2公）/+4.x+2（〃/-4）=0,

8分

A=16左2/-8（1+2k2）（m2-4）>0。病<&炉+4

-4km2（tn2-4）

x.+x=----^•/二---------『…

贝I」-71+2公，-1+2二，②9分

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2(-2—4)(2——8)[(%—2)(TA:/n)0

2

把②代入①得：1+2廿i+2k—=,10分

化简得(加一2)(%—2加—4)=0,而机r2,贝ijZ=2m+4,口分

•••直线•方程为>=(2团+4)x+m，即y=帆(2x+1)+4x,

_2)

即直线回过定点2'。12分

练习52(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点/(1,0),。为

坐标原点，A、8为抛物线C上异于。的两点。

(1)求抛物线方程；

(2)若直线。4、。8的斜率之积为一5,求证：直线43过x轴上一定点。

[解析】(1卜・抛物线丁=2px(p>0)的焦点坐标为(I，。)，

一?

2,即P=2,

••・抛物线。的方程为)'2=4'2分

(2)证明：

22

4(—/)B(—,—?)

①当直线AB的斜率不存在时，设4、4,3分

...直线。4、08的斜率之积为一5,

Z_1

17r一一5

44,

化简得户=32,

...A(8,4近)、8(8,-4&),此时直线A8的方程为x=8,5分

②当直线⑷?的斜率存在时，设直线钻的方程为：y=kx+b,6分

y=kx+b

<

2

联立l/=4x并化简得：ky-4y-4h=0f

__4_4b

设A*i，%)、倒出为)，则”+为一工，不，&分

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・・.直线。4、的斜率之积为一5,

—"—=-17n区.甚+2y.旷2=0

.•.须々2,即西-々+2%%=°,即44,9分

，，=竺=-32

解得M•%=0（舍去）或％为=-32,即3）2-工-、，即-=一跳,io

分

:,y=kx-3k,即y=Z（x-8）,正分

综合①②可知，直线转过x轴上一定点（&°）。12分

3.6,模板6-与向量相关的问题

例6-1.（12分）已知椭圆G：彳+>=1,椭圆的中心在坐标原点，

焦点在y轴上，与G有相同的离心率，且过椭圆G的长轴端点。

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）设°为坐标原点，点A、3分别在椭圆C|和G上，若丽=2次，求直

线钻的方程。

【解析】（1）由G方程可得G的离心率「一2’依题意可设椭圆C2的方程

2=1

为“4（。>2）,2分

_V|2_^2-4_3

由已知G的离心率也为"下，则有,解得/=16,4分

兰+金=1

故椭圆G的方程为164；5分

（2）设A（X|，y）、3（々，）2）,

由而=2次及⑴知0、A、8三点共线且点A、3不在》轴上，6分

X22i24

I---by=1Xi=----y

可设直线钻的方程为>=依，将其代入4-中，解得।1+4/,8

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xy2_16__

将尸奴代入花+彳=中，解得当=/，又由为=2函得x；=4x；,

10分