人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4. 5. 3 函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

【学习目标】1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.

3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.

知识梳理梳理教材夯实基础

--------------------------%-------

知识点一几类已知函数模型

函数模型函数『解析』式

一次函数模型y（x）=Qx+优b为常数,〃W0）

k

反比例函数模型Ax）=~+b（k,6为常数且左WO）

二次函数模型J[x）=ax2-\-bx-\-c（a,b,c为常数，QWO）

指数型函数模型“x）=Z?0r+c（〃，b,c为常数，6W0,〃>0且aWl）

对数型函数模型fix）=b\ogax+c（afb,c为常数，〃>0且

幕函数型模型火x）=〃P+仇4,b为常数，〃W0）

知识点二应用函数模型解决问题的基本过程

1.审题一弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2.建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相

应的数学模型；

3.求模——求解数学模型，得出数学模型；

4.还原——将数学结论还原为实际问题.

■思考辨析判断正误

1.在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（X）

2.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否

相符.（J）

3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.（X）

题型探究探究重点素养提升

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------\----------------------

一、指数型函数模型

例1目前某县有10。万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列

问题：（已知：1.1267,1.012“"1.1402,lgl.2«0.079,lgl.012«0.005）

⑴写出y关于x的函数『解析』式；

(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；

⑶计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).

解(1)当x=l时，y=100+100X1.2%=100(1+1.2%)；

当x=2时，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；

当x=3时，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2X1.2%=100(1+1.2%)3；

故y关于x的函数『解析』式为y=100(l+1.2%)x(xeN*).

(2)当元=10时，100X(1+1.2%)10=100X1.01210^112.7.

故10年后该县约有112.7万人.

⑶设x年后该县的人口总数为120万，

BP100X(1+1.2%/=120,

we,12°“

解传X=k>gL012mJ—16.

故大约16年后该县的人口总数将达到120万.

反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数

型函数模型表示，通常可以表示为y=N(l+p)，(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的

形式.

跟踪训练1一种放射性元素，最初的质量为500g,按每年10%衰减.(已知：1g0.5^0.3010,

lg0.9^0.0458)

⑴求t年后，这种射放性元素的质量co的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).

解(1)最初的质量为500g.

经过1年，«=500(1-10%)=500X0.9；

经过2年，0=500X0.92；

所以，年后，o=500X09.

⑵由题意得500X09=250,即

09=0.5,两边取以10为底的对数，得

lg09=lg0.5,即Mg0.9=lg0.5,

所以片黑"66

即这种放射性元素的半衰期为6.6年.

二、对数型函数模型

例2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕

子的飞行速度可以表示为函数O=51og24,单位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度。=0,代入题中公式，可得0=51og2&,解得。

=10个单位.

QQ

(2)将耗氧量0=80代入题中公式，得u=51og2j^=51og28=15(in/s).

反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数

关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其

实际意义.

跟踪训练2“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t=-1441g(l—温

中，f表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N=40

时，t=.(已知lg5七0.699,lg3«=0.477)

『答案』36.72

『解析』当N=40时，t=-1441g(l=-]441g1=-144(lg5-21g3)«36.72.

三、建立拟合函数模型解决实际问题

例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价

M单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：

上市时间X天41036

市场价y元905190

(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与

上市时间x的变化关系并说明理由：@y=ax+b；©y=ax2+bx+c；③y=alogfrX；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

解(1),.,随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+b和y=alog成

显然都是单调函数，不满足题意，

/.用函数'="2+法+0描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系.

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)分别代入〉=⑪2+云+。中，

r1

16a+4Z?+c=90,〃=不

得|100Q+10A+C=51,解得《[八

b——10,

」296〃+36匕+。=90,(

.•・)=*—10x+126="。-20)2+26.

・••当x=20时，y有最小值26.

故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元.

反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则

(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、

较简便的模型.

(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正

确结论.

(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，

能回到具体问题中解决问题.

跟踪训练3芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又

可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦

荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本。(单位：元/10kg)与上

市时间f(单位：天)的数据情况如表：

t50110250

Q150108150

(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间f的变化关系:

Q=at-\-b,Q=at--\-bt-\-c,Q=bt,Q—aiogbt,并说明理由；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本。与上市时间f的变化关系的函数不可能是

常数函数，若用函数。=m+b,Q=a-bt,Q=alog〃中的任意一个来反映时都应有“W0,且

上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数。=d+

从+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数。=aP+R+c,可得：

'150=2500a+506+c,

<108=12100a+1106+c,

,150=62500a+250b+c,

.小

解传”―丽1，b,~~23'c~4~25

所以，刻画芦荟种植成本。与上市时间f的变化关系的函数。=念1》—今3+写425.

_3

—2

(2)当/=-----r=150(天)时，芦荟种植成本最低为

2X200

13425

Q=^X1502-TX150+-^-=100(%/10kg).

4UU乙乙

随堂演练基础巩固学以致用

1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程S关于时间/变化的图象如图所示，那么图象所对应的

函数模型是（）

A.分段函数B.二次函数

C.指数型函数D.对数型函数

考点函数拟合问题

题点函数拟合问题

『答案』A

2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:

X123・・・

…

y138

则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（）

A.y=2x—1B.y=x?1

C.y=2x~lD.y=1.5N—2.5X+2

考点函数拟合问题

题点函数拟合问题

『答案』D

3.国内邮寄1000g以内的包裹的邮资标准如下表：

运送距离x（km）04W500500〈尤W10001000<xW15001500<x^2000…

邮资y（元）5.006.007.008.00…

如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（）

A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元

『答案』C

4.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤