备战2025年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式

第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.1集合1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.7.能使用韦恩(Venn)【教材梳理】1.元素与集合（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.（4）常用数集及其记法：数集非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或ZQRC2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法子集集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素x∈A⊆B（或B真子集集合A是集合B的子集，但B中存在元素不属于AA⊆A⫋B（或B相等集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素A⊆A=空集不含任何元素的集合∀x,x∉⌀，⌀⊆A⌀3.集合的基本运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{xA∪交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{xA∩补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x∁U4.集合运算性质（1）并集运算性质：A∪B⊇A;A∪B⊇B;A∪A=A;A∪⌀=（2）交集运算性质：A∩B⊆A;A∩B⊆B;A∩A=A;A∩⌀=（3）补集运算性质：∁U(∁UA)=A；∁UU=⌀;∁U⌀=（4）重要等价关系：A∩B=A⇔A⊆B【常用结论】5.子集的传递性：A⊆B,B⊆C6.子集个数：集合{a1,a2,…,an}的子集有27.元素个数：记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card(A)，card(8.德摩根定律：又称反演律，即∁U(A9.五个关系式:A⊆B，A∩B=A，A∪B=1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）任何一个集合都至少有两个子集.(×)（2）{x|y（3）若{x2,1}={0,1}，则x=0,（4）对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A（5）若(∁UA)∪B=2.已知集合A={x∈N|A.⌀∈A B.{⌀}⊆A C.0∉A[解析]解：因为A={x∈N|x<3}={0,1,2}，所以0∈A，3.（教材练习改编）已知集合A={x|x<1}，BA.A∩B={xC.A∪B={x[解析]解：A={x|x<1}故A∩B故A，B，C都错误，D正确.故选D.4.（教材习题改编）已知集合A={x∈Z|3<x<8}，A∩A.⌀ B.{5} C.{4,5,7} D.{5,7,8}[解析]解：由题得A={4,5,6,7}，A∩所以5,7∈B，4,6∉B所以{4,5,7}一定不是B的子集.故选C.考点一集合的含义与表示例1（1）[2020全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x,y∈N*A.2 B.3 C.4 D.6[解析]解：由题意，A∩B中的元素满足y≥x，x+y=8，且x,y∈N*,由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x（2）【多选题】若集合A={x∈R∣ax2A.92 B.98 C.0 D.[解析]解：若集合A中只有一个元素，则方程ax2-当a=0时，x=23，符合题意；当a≠0时，由Δ=(-3)2-8a=0，得a【点拨】用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合,要知道{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},x{(x变式1.（1）[2022届重庆市高三质量检测]已知集合A={1,2,3}，B={a-b|a∈A.5 B.6 C.8 D.9[解析]解：由题意，当a=b时，有a-b=0，当a>b时，a-b=1或a-b=2，当a<b时，a-（2）已知集合M={2,a2}，P={-2,-2a}，若M∪A.{1,0} B.{-1,0,1} C.{-2,-1,0} D.{-2,0}[解析]解：因为M∪P中有三个元素，且2≠-2，a2≠-2，所以-2a=a2或-2a=2．①当-2a=a2考点二集合间的基本关系例2（1）设A={x|x2-8x+15=0}，B={xA.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：因为A={x|x2-8x当B=⌀时，则a=0，此时B当B≠⌀时，则a≠0，此时B={x|ax-1=0}={1a}，则有1所以实数a的取值是0或13或15故实数a的值的个数为3.故选C.（2）已知a∈R，b∈R，若集合{a,baA.-2 B.-1 C.1 D.[解析]解：因为{a,ba,1}={所以ba=0,a=a+b故a=-1，b=0，a故选B.【点拨】①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合.②已知两个集合之间的关系求参数时,要根据集合间的关系来确定元素之间的关系,须关注子集是否为空集.一般地,当集合为有限集时,往往通过列方程或方程组来处理,此时需注意集合中元素的互异性,当集合为连续型无限集时,往往借助数轴列不等式或不等式组来求解,要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.变式2.（1）已知集合A={-1,a},B={-1,0,a2-a}A.1 B.0 C.2 D.0或2[解析]解：由A∪B=B当a=0时，a2-a=0当a=a2-a时，a=0（舍）或a=2综上所述，a=2.故选（2）已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1<xA.(-∞,2] B.(2,4] C.[2,4] D.(-∞,4][解析]解：当B=⌀时，有m+1≥2m-1当B≠⌀时，若B⊆则m+1≥-2，2m-综上，有m≤4.故选（3）【多选题】已知集合M={x∣x=kπ4A.M∩N≠⌀ B.M⊆N C.[解析]解:对集合M，有x=kπ4+π4=(k+1)π4，k∈Z，对集合N，有x=kπ8-π4=(k-2)π8，k∈Z考点三集合的基本运算命题角度1交、并、补运算例3（1）已知集合A={x|(x+2)(x-3)<0}A.[-2,1) B.[1,3] C.(-∞,-2) D.(-2,1)[解析]解：因为A={x|-2<x<3}所以∁RB={x|故选D.（2）已知集合A={x||x|<2}，B={A.(0,2) B.(0,3) C.(2,3) D.(-2,3)[解析]解：A={x||x|<2}={x|-2<x<2}，【点拨】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)变式3.（1）记全集U=R，集合A={x||x|≥4}，集合A.(2,4] B.(1,4] C.(-4,0] D.(-4,0]∪[2,4)[解析]解：由|x|≥4得x≤-4或x≥4，则∁UA=(-4,4)，由ln(x-1)2≥0得(x-（2）已知集合A={x|y=lg(x2A.(1,2] B.R C.(-∞,0)∪(1,2] D.(-∞,2][解析]解：由x2-x>0，解得x<0或x>1.所以A=(-∞,0)∪(1,+∞).由20≤2x≤2命题角度2由集合的运算求参数例4[2020年全国Ⅰ卷]设集合A={x|x2-4≤0}，B={xA.-4 B.-2 C.2 D.[解析]解：由x2-4≤0,可得A={x|-2≤x≤2}，由2x+a≤0，可得B={x【点拨】集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合（包括用数轴、韦恩(Venn)变式4.集合P={x∈R||x-1|<1}，Q={xA.{a|a≥3}C.{a|a≤-1[解析]解：P={x|0<x<2}，Q={x|a-1≤x≤a+1}，要使P∩考点四韦恩（Venn）图及其应用例5全集U=R，集合A={x∣xx-A.(-∞,0]∪[4,5] B.(-∞,0)∪(4,5]C.(-∞,0)∪[4,5] D.(-∞,4]∪(5,+∞)[解析]解：因为集合A={x|0≤x<4}由Venn图可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B所以∁U(A∪【点拨】韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn变式5.已知全集U=R，集合A={x|x(A.(-2,1) B.[-1,0]∪[1,2) C.(-2,-1)∪[0,1] D.[0,1][解析]解：A={x|-2<x<0}由图知阴影部分为∁U(A∩B)∩(A∪B)所以∁U(A∩B)={x例6（原创改编）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位.则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是(A)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4[解析]解：如图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160+60-180=40，40-20=20，故由样本估计总体，可得所求为20200=0.1.故选【点拨】较复杂集合关系的分析，常借助韦恩(Venn)变式6.已知M,N均为R的子集，且∁RM⊆N，则A.⌀ B.M C.N D.R[解析]解：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM,矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得思想方法·分类与整合在集合中的应用典例已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-2<x<1}[解析]解：①当a=0时,A=⌀,满足A②当a>0时,A={因为A⊆B,所以2a≤1③当a<0时,A={因为A⊆B,所以2a≥-2,2+2aa综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{0}∪[2,+∞).故填(-∞,-1]∪{0}∪[2,+∞).【点拨】①本例是由目标的多种可能性引发的分类与整合.分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现原问题的解决.对问题实行分类与整合，其分类标准等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解成小问题（或基础性问题），优化了解题思路，降低了问题难度.简而言之，分类与整合思想就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思想.②分类与整合的原则:一是不重复，不遗漏；二是标准统一，分类的对象确定，层次分明；三是能不分类的要尽量避免分类或尽量推迟分类.变式.已知集合A={x|x2-3x-4=0}，B={A.(-∞,-1] B.[4,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,4) D.[-1,2]∪[4,+∞)[解析]解：由题知A={-1,4}，因为A∩B=⌀，所以，当B=⌀时，a≥a2，解得0≤a≤1，当B≠⌀时，a2≤4，a≥-1【巩固强化】1.[2022年新高考Ⅱ卷]已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}[解析]解：B={x|0≤x≤2}，故2.已知集合A，B满足A={x|x>a},B={A.b<0 B.b≤0 C.b>0[解析]解：由题意，a+b≥a，所以b3.[2022年北京卷]已知全集U={x|-3<x<3}，集合A={A.(-2,1] B.(-3,-2)∪[1,3) C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3)[解析]解：∁UA={x|-3<x≤-24.[2021全国乙卷]已知集合S={s|s=2n+1,n∈A.⌀ B.S C.T D.Z[解析]解：任取t∈T，则t=4n+1=2×2n+1，其中n∈Z，所以t∈5.已知集合M={a,2a-1,2a2-1}A.3 B.1 C.-3 D.-[解析]解：若a=1，则2a若2a-1=1，则a故2a2-1=1，解得a=1故M={-1,-3,1}，所有元素之和为-3.6.设集合A={x|x2-3x+2=0}，则满足A.1 B.3 C.4 D.6[解析]解：由题意知，A={1,2}，则0∈B，所以当集合B的元素个数为1个时，B={0}；当集合B的元素个数为2个时，B={0,1}或{0,2}；当集合B的元素个数为3个时，B7.【多选题】已知(∁RA)∩BA.A∩B=A B.A∩B=B[解析]解：作Venn图知B⊆A，故B,C成立.8.【多选题】已知集合A={x|x2-2xA.(∁RA)∪C.A∩{(x,y)|x>3,y[解析]解：由x2-2x>0，得x<0或x>2，所以A={x|x<0或x>2}，∁RA={x|0≤x≤2}，所以(∁RA)∪B={【综合运用】9.[2022届浙江高三下二联]已知集合A={x|x⊆B}，A.⌀ B.{⌀} C.{1,2,3} D.{⌀,{1,2,3}}[解析]解：因为集合A={x|x⊆B}，B={1,2,3}，所以10.设集合P={m|-1<m≤0},A.P⫋Q B.P⫌Q C.P=[解析]解：Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},对m分类:①当m=0时,-4<0恒成立;②当m11.某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14，10.若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是(C)A.4 B.5 C.16 D.15[解析]解：设仅第一天开车人数为a,仅第二天开车人数为b,两天都开车人数为x,则由图知a+x+b+x=14+10,a+b+x12.已知集合A={x∣ax-1=0},B={x∣1<A.⌀ B.{13} C.{1[解析]解：由A∩B=A，得A⊆B.因为B={x∣1<log2x≤2,x∈N*={x∣2<x≤4,x∈N*}={3,4}.当A=⌀时，则方程ax-1=0无实数解，所以a=0，此时显然有A⊆B13.【多选题】给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是(A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B.若任取x∉C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D.若任取x∉[解析]解：对于A，由A⊆B知A是B的子集，集合A中的元素全在集合B中，故对于B，若x∉A，则x∈B是有可能的，所以x对于C，任取x∈B，则x不一定是A中的元素，所以x∈A对于D，若x∉B，则x一定不是A中的元素，所以x∉A是必然事件，故D【拓广探索】14.【多选题】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|A.2B.-3∈[3]C.若整数a，b属于同一“类”，则a-D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一[解析]解：对于A,因为2021=404×5+1，所以2021∈[1]对于B,因为-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故对于C,若a与b属于同一类，则a=5n1+k，b=5n对于D,若a-b∈[0]，设a-b=5n,n∈Z，即a=5n+b,n∈Z，不妨令b=5m+k,m∈Z，k=0,1,2,3,41.2常用逻辑用语1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【教材梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件如果p⇒q,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个p是q的充分不必要条件记作p⇒q且qp是q的必要不充分条件记作p⇏q且qp是q的充分必要条件（简称充要条件）记作p⇔p是q的既不充分又不必要条件记作p⇏q且q⇏2.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题否定结论∀x∈M∃x∈M全称量词命题的否定是存在量词命题（2）存在量词命题的否定存在量词命题否定结论∃x∈M∀x∈M存在量词命题的否定是全称量词命题【常用结论】4.充分、必要条件的传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件.5.以下说法等价:p⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是6.关键量词的否定（1）常用全称量词的否定每一个所有的一个也没有任意存在一个有的至少有一个存在（2）常用存在量词的否定至少有n个至多有一个存在至多有n-1至少有两个任意（3）一些常见判断词的否定是一定是都是大于小于不大于不是不一定是不都是小于或等于大于或等于大于7.充分、必要条件与集合间的关系：集合A={x|p(（1）若A⊆B，则p是q（2）若A⫋B，则p是q（3）若B⊆A，则p是q（4）若B⫋A，则p是q（5）若A=B，则p是q（6）若A⊈B且B⊈A，则p是1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)（2）若p⇒q,则p是q的充分不必要条件.(（3）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(√)（4）“长方形的对角线相等”是存在量词命题.(×)（5）命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数”.(×)2.（教材改编）已知命题p:∃n∈N，n2≥2n+5A.∀n∈N，n2≥2n+5C.∀n∈N，n2<2n+5[解析]解：由存在量词命题的否定可知，¬p为:∀n∈N，n3.（教材改编）若a∈R，则“a3>1”是“a2>1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：解不等式a3>1可得a>1，解不等式a2>1可得a因为{a|因此“a3>1”是“a2>1”4.（教材改编）复数z的共轭复数为z，则“z为纯虚数”是“z+z=0”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：由z为纯虚数，设z=bi，b∈R,可得z当z=0时，可得z=0，则z+z=0+0=0所以“z为纯虚数”是“z+z=0故选B.考点一充分、必要条件的判定例1（1）若z为复数，则“z2<0”是“z为纯虚数”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分又不必要条件[解析]解：设z=a+bi当z2=a2如果b=0，a2如果a=0，b2>0，此时z=b如果a=0且b=0，则z=0，z2=0综上知，a=0，z所以“z2<0”是“z为纯虚数”当z为纯虚数，即z=bi(b所以“z2<0”是“z为纯虚数”综上所述，“z2<0”是“z为纯虚数”故选C.（2）[2022年浙江卷]设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：（方法一）{x|sin（方法二）当sinx=1时，由同角关系得cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立.所以当x∈R时，“sinx【点拨】充要条件的三种判断方法:①定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论.②集合法：见本节“常用结论”，例1（2）可用此法求解变式1.（1）已知平面内两定点A，B及动点P，则“|PA|+|PB|是定值”是“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：|PA|+|PB|是定值有两种情况，|PA|+|PB|=|AB|，则动点P的轨迹为线段AB，或|PA|+|PB|>|AB|（2）f'(x)是函数f(x)的导函数，则“f'(x0)=0”是“函数fA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：由极值定义知后者可得前者，但反之不一定，如f(x)=x3，在x0=0时考点二充分、必要条件的综合应用例2函数f(x)=x|A.ab=1 B.a+b=0 C.a[解析]解：因为f(-x即-x|-x+a|+b=-x|x+a|+b，因为x不恒为0，所以|-x+a|=|x+a|，由x的任意性可得a=0【点拨】①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解;②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.变式2.[2022届广东茂名高三下调研]若不等式|x-1|<a的一个充分条件为0<x<1，则实数A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)[解析]解：由不等式|x-1|<a，可得-a+1<x<a+1，a<0不合题意,要使得0<x<1考点三全称量词命题与存在量词命题命题角度1全称、存在量词命题的否定例3（1）设命题p:所有正方形都是平行四边形，则¬p为(A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边形不是平行四边形[解析]解：由全称量词命题的否定为存在量词命题可知，C正确.故选C.（2）已知f(x)=sinx-tanx，命题pA.p是假命题，p:∀x∈(0,π2B.p是假命题，p:∃x0∈(0,πC.p是真命题，p:∀x∈(0,π2D.p是真命题，p:∃x0∈(0,π[解析]解：x∈(0,π2)时，sinx>0，0<cosx<1，则1cosx>1，sinxcosx>sinx，故sinx<tanx【点拨】①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词.②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.变式3.（1）命题“∀n∈N*，f(n)∈N*A.∀n∈N*,f(n)∉N*且fC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*[解析]解：原命题的否定形式是“∃n0∈N*,f(n0（2）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(A)A.∃x∈R，xC.∀x<0，x2≥0 D.至少有一个实数x[解析]解：A中，命题的否定是：∀x∈R，x2-B中，命题的否定是：有的正方形不是矩形，是假命题，也是存在量词命题，B错误.C中，命题的否定是：∃x<0,x2<0D中，命题的否定是：∀x∈R，x3+1≠0，是假命题，也是全称量词命题，命题角度2依据命题真假求参数取值范围例4若命题“存在x0∈R，x02-2axA.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-3,3)C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.[-3,3][解析]解:命题“存在x0∈R，x02-2ax0+9<0”为假命题，等价于“∀【点拨】已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，将存在量词命题为假命题转换为全称量词命题为真命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题.变式4.已知“命题p:∃x0∈R，ax02+2A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1][解析]解：（方法一）当a=0时，2x+1<0，可得x<-12，此时命题p为真；当a≠0时，要使命题p为真，只要Δ=4-4a>0，即a（方法二）命题p的否定是“∀x∈R，ax2+2x+1≥0”.当a=0时，显然命题¬p为假；当a≠0时，命题¬p为真的充要条件是a>0且Δ=4-4a≤0，即a≥1.故¬p学科素养·基于数学知识的逻辑推理典例关于x的方程x2+甲：x=1乙：x=3丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是(A)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁[解析]解：因为1×3>0,1+3≠2,又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假，由甲为假易知,符合题意，由乙为假推出矛盾.故选A.【点拨】此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化，生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.变式.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x甲：在(-∞,0]上函数单调递减；乙：在[0,+∞)上函数单调递增；丙：函数f(x)的图象关于直线丁：f(0)不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是乙，写出一个符合要求的函数f(x)=[解析]解：假设甲，乙两个同学回答正确，因为在[0,+∞)上函数单调递增，所以丙说“函数f(x)的图象关于直线x=1对称”错误.此时f(0)是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误.函数f(x)在(-∞,0]单调递减，关于x=1对称，则f(x)=|【巩固强化】1.已知命题p:∃x∈Q，使得x∉N，则A.∀x∉Q，都有x∉N B.C.∀x∈Q，都有x∈N D.[解析]解：因为p:∃x∈Q，使得x∉N，所以¬p为：∀2.“x2>y2”是“x>yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：令x=-2，y=1令x=1,y=-2知必要性不成立.3.已知命题p:高三（一）班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为(A.高三（一）班至多有一个男生爱踢足球B.高三（一）班至少有一个男生不爱踢足球C.高三（一）班所有的男生都不爱踢足球D.高三（一）班所有的女生都爱踢足球[解析]解：命题p是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，结合选项知，B正确.故选B.4.[2021年浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a⋅c=b⋅c”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：充分性不成立，若a⊥c且b⊥c，则a⋅c=b⋅c=0，但a必要性成立，由a=b，可得a-b=0，则(a-b)⋅c综上所述，“a⋅c=b⋅c”是“5.已知集合A={x|x2-x-6>0},B={x|0<x+a<4}，若A.(-3,6) B.[-3,6]C.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-3]∪[6,+∞)[解析]解：A={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},B={x|-a<x<4-a}，因为“x∈6.【多选题】下列命题中，真命题是(AD)A.若x,y∈R且x+y>2，则xB.∀x∈RC.a+b=0D.命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃[解析]解：对于A，若实数x,y都小于等于1，那么可以推出x+y≤2，所以对于B，当x=2时，2x=x2对于C，当a=b=0时，满足a+b=0，但对于D，命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x0<1,x07.【多选题】下列各项中，p是q的充分不必要条件的是(AC)A.p:x=1B.p:a=bC.p:四边形为菱形；q:D.p:a>b[解析]解：对于A，当x=1时，可得x2=1，即充分性成立；反之,当x2=1，可得x=±1，所以必要性不成立，所以p对于B，当a=b时，可得a+c=b+c，即充分性成立；反之,当a+c=b+对于C，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立；反之,当四边形的对角线垂直，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件，所以C正确；对于D，当a>b，且c<0时，可得ac<bc，即充分性不成立，反之，当ac>bc，且c>0时，可得a>b；当c<0时，可得a<b8.[2022届人大附中学高三三模]能够说明“若a,b,m均为正数，则b+ma+m[解析]解：b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+【综合运用】9.已知α，β是两个不重合的平面，直线a⊂α，p:a//β，q:α//βA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以p:a//β不能推出q:α//β.两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以q:α//β可以推出10.“0<m<2”是“方程x2m+y2A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：方程x2m+y2得0<m<2且m≠1，所以“0<m<2”是“方程x2m11.已知函数f(x)=x+4x，则“x>4”是A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：当x<0时，f(x)<0当x>0时，f(x)=x+4x>5，整理得所以“x>4”是“f(x)>5”12.【多选题】下列命题中的真命题是(ACD)A.∀x∈R，ex-1>0C.∃x，y∈Z，使得2x+y=4[解析]解：对于A，因为x-1∈R，根据指数函数的值域为(0,+∞)，即y=对于B，当x=0时，x2=0对于C，当x=0,y=4时，2x+对于D，因为y=tanx的值域为(-∞,+∞)，故∃x∈R,使得tanx13.“(a-x)5（a为常数）的展开式各项系数和不超过243”是“‘∃x0∈R，使A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：(a-1)5≤35⇒a≤4.“∃x0∈R，使ax02-ax0+1≤0成立”为假命题，则“∀x∈R，ax2-ax+1>0”为真命题，当a【拓广探索】14.设f(x)是定义在R上的单调递减函数，能说明“存在x0∈R，使得f([解析]解：“∃x0∈R,f(x0)<1”为假命题，则“∀x∈R,f(x)≥1”1.3等式性质与不等式性质梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.【教材梳理】1.基本事实（1）a>b⇔（2）a=b⇔（3）a<b⇔2.等式的基本性质性质1：如果a=b，那么b性质2：如果a=b,b=c性质3：如果a=b,那么a性质4：如果a=b,那么性质5：如果a=b,c≠0,3.不等式的基本性质序号性质简称性质1a>b⇔对称性性质2a>b,b>传递性性质3a>b⇒可加性性质4a>b,c>0⇒a>b,c<0⇒乘法法则性质5a>b,c>相加法则性质6a>b>0,c相乘法则性质7a>b>0⇒a乘方法则【常用结论】4.基本性质的推论（1）开方法则：a>（2）倒数法则：a>b,（3）异向相减：a>b,（4）异向相除：a>b>05.分数性质若a>b>0，（1）真分数性质：ba<b+（2）假分数性质：ab>a+其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（浓度变大）；糖水析出糖后，糖水变淡（浓度变小）.”1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若ab>1，则a>b（2）一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变. (×)（3）一个非零实数越大，则其倒数就越大. (×)（4）a>b>0，c>（5）若a>b>c，且a+b+c=0,则2.（教材改编）已知x∈R,M=2x2-1,N=4x-A.M>N B.M<N C.[解析]解：由题意，M-N=2x2-1-(4x3.若a>b，则(A.ln(a-b)>0 B.3a<[解析]解：a>b⇒a3>b34.已知a,b,c,d∈R，且a<b<c,c≠A.d<a B.a<d<b[解析]解：由题意，知(a-d)(b-d)(c-d)=d-c，又c≠d，所以(a-d)(b-d考点一不等式的基本性质例1（1）【多选题】若a>b>1>c>0A.logca>logC.a(b+c[解析]解：对于A,因为y=logcx在(0,+∞)对于B,因为y=xc在(0,+∞)上单调递增，所以对于C,因为a(b+c)-对于D,因为ab-bc=ac-b（2）【多选题】已知logb2023>logA.0.2a<0.2bC.lnb-b>lna-a[解析]解：因为logb2023>loga2023>0，即ln2对于A，0.2a<0.2b对于B，1a2-1b2=对于C，构造函数f(x)=lnx则f'(x)=1x-1=1-因为a>b>1，故f(a)<f(对于D，因为m>0则ab-a+mb+m=a【点拨】利用不等式性质判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断（判断成立时）或反例说明（判断不成立时），在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查，此时需要先根据不等式结构灵活构造函数.变式1.（1）【多选题】若a>b>0，且ab=1A.a>b+1 B.1a2+1<[解析]解：由题意知，a>1>b>0，对于A，a-b-1=1b对于B,因为a>1>b>0，所以a2+1>b2对于C,因为f(x)=(12)x为减函数，所以f对于D,因为a>1>b>0，所以a+b>2ab，log（2）【多选题】设a=log26，b=A.ab<0 B.1a-1b=1[解析]解：已知a>0，b<0，所以1a-1b=log62-1a+1b=log62+log因为ab<0，所以a+b>0因为1a2+1b2>(1a考点二利用不等式性质求代数式的取值范围例2（1）【多选题】（教材习题改编）设x,y为实数，满足-1≤x≤2,0<y≤1A.x+y的取值范围是(-1,3] B.x-yC.xy的取值范围是[-1,2] D.x2y的取值范围是[解析]解：由于-1≤x≤2，0<y≤1,所以-1<x+y≤3,A正确.由于-1≤x≤2,-1≤-y<0,所以-2≤x-y<2,B正确.当-1≤x<0,0<y≤1时，-1≤-y<0,则0<-xy≤1,则-1≤xy<0,所以xy的取值范围是[-1,0)（2）已知-1<x+y<4且2<x-[解析]解：（方法一）设2x=(λ+则λ+所以2x-而-2<-12(x所以3<2x-3y<8（方法二）令a=x+y且-1<a<4，所以2x-因为-1<a<4，所以-2<-a2<1所以3<-a2+52故填(3,【点拨】①由不等式性质求代数式的取值范围，要注意端点值的取舍.②由a<f(x,y)<b，c<g(x,y)<d，求F(x,y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x,y变式2.（1）若1<a<3，-4<b<2，则aA.(-3,0) B.(-3,3) C.(0,3) D.(-3,5)[解析]解：因为-4<b<2，所以0≤|b|<4，所以-4<-|b|≤0.又因为（2）已知-π2<α<β<πA.(-π,π) B.(-π2,π2[解析]解：因为-π2<α<β<π2，所以-π2-π2<α（3）若-1≤lgxy≤2，1≤lg([解析]解：由1≤lg(xy)≤4得1≤lgx+lgy则lgx2y=2lgx-lgy考点三作差或作商比较大小例3（1）若a<0，b<0，则p=b2a+aA.p<q B.p≤q C.p[解析]解：（方法一）（作差法）p-q因为a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0，(b-a)（方法二）（特值法）当a=b=-1时，p=-2=q.当a=-1，b=-2时，p=-92，q=-3，则p<q（2）若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e23A.p<m<n B.p<n<[解析]解：由题意得mn=4e3又mp=4e3所以p<m<n【点拨】作差（商）比较法的步骤是：①作差（商）；②变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；③判断符号（判断商和“1”的大小关系）；④给出结论.变式3.（1）已知a=c+1+c+4,b=c+2+cA.a>b B.b>a C.[解析]解：a2=2c+5+2(c+1)(c+4)，b2=2c+5+2(c（2）已知a=0.40.3，b=0.30.3，A.a>c>b B.a>b>[解析]解：0.30.30.30.4=0.3-0.1>1,所以0.30.3>0.3所以a>b另解：用指数函数、幂函数单调性比较.故选B.【巩固强化】1.已知a,b,c,d均为实数，则下列命题中错误的是(A)A.若ab<0，bc-ad>0，则ca-db>0 B.C.若bc-ad>0，ca-db>0，则ab[解析]解：对于A，因为ab<0，bc-ad>0，所以c对于B，因为ab>0，ca-db=bc对于C，因为bc-ad>0，ca-db对于D，由1a<1b<0可得b<a<0，所以2.设b>a>0,c∈RA.a12<b12 B.1a[解析]解：当b>a>0时，因为y=x​12在(0,+∞)上是增函数，所以a​12<b12，故A恒成立；因为y=1x-c在(0,+∞)上是减函数，所以1a-c>1b-c,故B恒成立；因为a3.已知a<b<c且a+A.a2<b2<c2 B.a[解析]解：（方法一）因为a<b<c且a+b+c=0，所以a<0（方法二）（赋值法）依据条件不妨取a=-2，b=0，c=2，可排除A，B，D4.【多选题】设x，y为实数，满足1≤x≤4，0<y≤2A.1<x+y≤6 B.1<x-y[解析]解：对于A，0+1<x+y≤2+4，即1<对于B，-2≤-y<0，则-1≤对于C，0×1<xy≤4×2，即0<xy≤8对于D，由题知1y≥12，则xy≥1×15.【多选题】若a，b为非零实数，且a>b，则下列不等式成立的是(A.ba>ab B.1ab2[解析]解：令a=1,b=-1，则ba=-1=a-1a=0=1ab2-1a2b=a-ba因为a>b，所以a设幂函数y=xα，当α>0时，y=xα在(0,+∞)上单调递增，且12>16.已知a>0且a≠1，P=loga(a3+1)，Q=logA.P>Q B.P<Q C.P[解析]解:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=logaa3+1a2+1.当a综上可知，当a>0且a≠1时，P-Q>0，即7.能够说明“设a,b是任意非零实数.若ba>1，则b>a”是假命题的一组整数a,b的值依次为-1[解析]解：要使“设a,b是任意非零实数.若ba>1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0且a,b∈Z即可，可取a=-1,b8.若实数α,β满足-1≤α+β≤1，1≤α+2[解析]解：设α+3β=λ(α+β)+μ(又-1≤α+β≤1，1≤α+2β≤3，所以-1≤-(α+【综合运用】9.若{an}是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，则(a1+aA.a1+a4>C.a1+a4[解析]解：由题意可得a1>0,q>0且q≠1，则(a1+10.若a-b>0，则下列不等式一定成立的是A.a2>b2 B.tana>tan[解析]解：当a=2,b=-3时，满足a-b>0，但a当a=2π3,b=π3时,tanπ当a=3,b=2时，满足a-b>0，但此时lgy=x∣x∣=x2,x11.设a=ln2,b=logA.a+b>aC.a+b>ab[解析]解：0<ln2=a<lne所以ab>0，a+b>0，1a因为a+bab=1因为(a+b)-(aa-b则a-bab=1综上，a+b>ab12.已知a=0.8-0.4，b=log53A.a<b<c B.b<c<[解析]解：bc=log53log85=ln3⋅ln813.【多选题】已知0<a<b<c，且|A.a+c>2 B.cba>b[解析]解：由题意得lga=-lgc=lg1c，所以ac=1，且c>1因为cbabca=c令a=12，c=2，b=1，则clogab=0>bloga【拓广探索】14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为6；（2）该小组人数的最小值为12.[解析]解：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a，b，c,则2c>a>b>c，a（1）若c=4，则2c=8，所以8>a>b>4，当a=7时，b=6或5；当a（2）因为2c>a>b>c，a，b，c∈N*，所以c与2c之间至少有两个整数，所以2c-c≥3，所以c≥3，所以cmin=3故填（1）6；（2）12.1.4一元二次不等式（与几类重要不等式）的解法1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.【教材梳理】1.一元二次不等式一元二次不等式定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2+bx+ax2+bx+其中a,b,c均为常数，a≠02.二次函数的零点一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax3.三个“二次”的对应关系ΔΔΔΔy=aax2有两个不相等的实数根x1,有两个相等的实数根x没有实数根ax2{{Rax2{⌀⌀【常用结论】4.一元二次不等式恒成立（1）ax2+bx注意：若a=0,则恒成立的充要条件为b=0,（2）ax2+bx注意：若a=0,则恒成立的充要条件为b=0,5.单、双变量恒成立、有解、无解的转化（1）单变量①对任意的x∈[m,n]，a若存在x∈[m,n]，a若对任意x∈[m,n]，②对任意的x∈[m,n]，若存在x∈[m,n]，a若对任意x∈[m,n]，（2）双变量①对任意的x∈[a,b]，不等式②存在x0∈[a,b]③对任意x1∈[a,b]，x2④存在x1∈[a,b]，x2⑤对任意x1∈[a,b]，存在x21.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）-x2+x>0（2）若二次不等式ax2+bx+c>0的解集为（3）不等式ax2+bx+c>0恒成立，则（4）ax<b的解集是(（5）x(x+2)2>02.[2023届湖湘名校高三联考]设集合A={x|x+1x-2≤0}A.{x|-1≤x≤1} B.{x|1≤x[解析]解：由题得(x+1)(x-2)≤0，x-2≠0，则A3.当x∈R时，不等式x2-2x-1-A.(-∞,-2] B.(-∞,-2) C.(-∞,0] D.(-∞,0)[解析]解：由题意，当x∈R时，不等式x2-2x-1-a≥0恒成立，故Δ=(-2)24.（教材题改编）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为(30-52R)万件，要使附加税不少于128万元，则RA.[4,8] B.[6,10] C.[4%,8%] D.[6%,10%][解析]解：根据题意，要使附加税不少于128万元，则(30-52整理得R2-12R+32≤0所以R的取值范围是[4,8].故选A.考点一一元二次不等式的解法例1（1）设集合A={x|x<x2}A.(0,1) B.(-3,0)∪(1,2) C.(-3,1) D.(-2,0)∪(1,3)[解析]解：因为A={xB={x所以A∩B=(-3,0)∪(1,2)（2）[2023届哈尔滨高三质检]已知不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-1<A.R B.⌀C.{x|-1<x<3}[解析]解：因为不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}，故a>0，且x=-1与x=2为方程ax2+bx-2=0的两根，故-（3）解关于x的不等式ax[答案]解：原不等式可化为ax2即(ax-当a=0时，原不等式可化简为x+1≤0原不等式的解集为{x|当a≠0时，原不等式的解集由2a和-1的大小决定，当a>0时，2a>-1;当a<0所以不等式的解集为：当a=0时，{x当a>0时，{x|当-2<a<0时，当a=-2时，{x当a<-2时，{x【点拨】①解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解，常需要分类讨论，分类标准有：二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.变式1.（1）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2-36[xA.(32,152) B.[2,8][解析]解:由4[x]2-36[x]+45<0，得32<[x]<152（2）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{xA.(-3,12)C.(-2,13)[解析]解：因为不等式ax2+bx+所以a<0,-ba所以不等式cx2+bx+a<0变形得ca则cx2+bx+a<0（3）已知不等式ax2-3（Ⅰ）求a，b；[答案]解：因为不等式ax2-3x+6>0的解集为{x|b<x所以1+b=3a（Ⅱ）解不等式ax[答案]解：由（Ⅰ）知a=-3,所以原不等式可化为-3x即(3x-因为原不等式对应的方程(3x-2)(x-c)=0的根为x1=23当c<23时，原不等式的解集为{当c=23时，原不等式的解集为当c>23时，原不等式的解集为考点二其他几类重要不等式的解法命题角度1分式不等式的解法例2不等式x-1x≥2A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞)[解析]解：由x-1x≥2得-1-x解得-1≤x<0【点拨】分式不等式解法:①化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式.②将分式不等式转化为整式不等式求解：f变式2.[2023年辽宁名校联考]不等式x+10(x-[解析]解：由x+10(x-2)2>1，得x+10>(x-2)2=x2-4x+4命题角度2高次不等式的解法例3不等式x2-x-4A.{x∣x<-1C.{x|-1<x<1[解析]解：原不等式可化为x2-x-4x-1-1>0如图,由穿针引线法得-1<x<1或所以原不等式的解集为{x|-1<x<1【点拨】解高次不等式的基本思路：先因式分解，再用穿根法.注意因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.穿根法的一般步骤为：第一步，在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根标为实点，等号不成立的根标为虚点;第二步，自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）；第三步，数轴上方曲线对应区域使“＞”成立，下方曲线对应区域使“＜”成立.变式3.设x∈R，则“x2-x-6x2-4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：x2-x-6x2-4≥0⇔(x2-x-6)(x2-4)≥0且x2≠4,即(x+2)(x-3)(x命题角度3无理不等式的解法例4不等式x+27-x+3>0[解析]解：原不等式可化为x+27>x-3，等价于解得-27≤x<3,或3≤x<9故填[-27,【点拨】解无理不等式的关键在于将其转化为有理不等式（组）求解，变形要是同解变形.变式4.不等式4x-x2[解析]解：由题意x>0,4x-x2≥0,4x命题角度4含绝对值不等式的解法例5不等式|x-1|≥3的解集为(-∞,-2]∪[4[解析]解：|x-1|≥3等价于x-1≥3或x-1≤-3对于|x-（方法一）零点分段法，当x≤-1时，1-x当-1<x<1时，1-当x≥1时，x-综上，|x-1|+|x+1|≥3（方法二）利用几何意义，即借助数轴及绝对值定义求解.故填(-∞,-2]∪[4,+∞)【点拨】①|f(x)|<a⇔-a<f(变式5.不等式|x-1|<4的解集为(-3,5)[解析]解：|x-1|<4⇔-4<x-1<4对于|2x+1|<1-（方法一）当x≥-12时，2x+1<1-x，得-12≤x<0故|2x+1|<1-x的解集为（方法二）|2x+1|<1-x⇔x-（方法三）显然x<1,两边平方得x2+2x<0⇒-2<x<0.考点三与一元二次不等式有关的恒成立问题命题角度1在R上的恒成立例6对∀x∈R，不等式(a-2)x2A.(-2,2] B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析]解：依题意，当a-2=0，即a=2时，当a-2≠0需a-2<0,Δ<0,解得-2<a综上可得，实数a的取值范围为(-2,2].故选A.【点拨】在R上的恒成立，结合本节常用结论处理即可，注意讨论二次项系数.变式6.若函数y=ax2+2ax+1的图象恒在直线y=-2A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.{0}∪(3,+∞)[解析]解：因为函数y=ax2+2ax+1的图象恒在直线y=-2上方，则∀x∈R，ax2+2ax+1>-2成立，即ax2+2ax+3>0恒成立，当a=0时，3>0恒成立，则a命题角度2在给定区间的恒成立例7设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于任意的x∈{A.(-∞,57) B.[0,57)[解析]解：（方法一）当1≤x≤3时，0<1≤故原不等式变为m<5x2-x+1,当1≤x（方法二）若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<-m+4恒成立,即mx2-当m=0时，-5<0当m<0时，有g(x)的图象开口向下且在[1,3]上单调递减，所以在[1,3]上,g(x)max=g(1)=m-5<0，得m<5,故有m<0；当m>0综上，实数m的取值范围为(-∞,57)【点拨】在给定区间上的恒成立，常可用分离参数的方法转化为函数值域问题，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f变式7.若对任意x∈[0,2]，都有x2+mx-1<0成立，则实数m的取值范围是(-∞,-32)；若对于任意x∈[[解析]解：当x=0时，m∈R，当x∈(0,2]时，m<1x-x，而y=1x-x在(0,+∞)是减函数，所以m<-32.由题可得f(x)=x命题角度3给定参数范围的恒成立例8对任意a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(aA.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)[解析]解：设g(a由g(a)>0在得g(1)=x2-所以x<1或x>3所以x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).故选B.【点拨】给定参数范围的恒成立，常采用变更主元的方法,转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]变式8.已知集合A={t|t2-4≤0}，对于任意t∈A，使不等式A.{x|x<1C.{x|x<-1}[解析]解：由t2-4≤0，得-2≤t不等式x2+tx-t即不等式x2+(t-2)x+1-t>0对所以只需x-1>0,x+t-1>0所以只需x>1,x>1-t或x<1,x因为-1≤1-t≤3，所以x>3另解：构造f(t)=(x-1)t+x2-2x+1故选B.【巩固强化】1.已知两个集合A={x|y=ln(-x2A.[-12,2) B.(-1,-12][解析]解：由题意得A={x|-x2+x+2>0}={x|-1<2.使不等式x<1x成立的x的取值范围是A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)[解析]解：x<1x⇒x-1x<0⇒x3.已知函数f(x)=ax2+2ax+1的定义域为A.(0,1] B.[0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)[解析]解：由题意知，不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a=0当a≠0时，则a>0,Δ=4a2-4a≤0，得a>0,0≤a4.[2022届合肥第八中学高三月考]已知a>0>b，则不等式a>1xA.1b<x<0或0<x<1C.x<1b或x>[解析]解：因为a>1x>b由ax2>x可得x<0由x>bx2可得x>0求交集可得，x<1b或x>5.若不等式|x-3|<4的解集为{x|a<xA.(-∞,-3] B.(-∞,-3]∪{2} C.(-∞,2] D.(-∞,-2]∪[2,3][解析]解：由|x-3|<4,得因为不等式|x-3|<4的解集为所以a=-1,b=7所以由(x-得(x-所以(x-则x≤-3或x=2所以不等式的解集为(-∞,-3]∪{2},故选B.6.【多选题】一元二次不等式x2+ax+aA.[-1,1-a] B.{-1} C.[1-a,-1][解析]解：Δ=a2-4(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,当Δ=0,即a=2时，不等式的解集为{-1}；当Δ>0,即a≠2时，不等式为(7.【多选题】已知关于x的不等式t(x+1)(x-2)-1>0的解集是(x1A.x1+x2C.|x1-x[解析]解：t(x+1)(x-2)-1>0，即tx2-tx-2t-1>0的解集为(x1,x2)，可知t<0，且x1+x2=1，①,x1x8.设二次函数f(x)=x（1）已知对于任意的实数x,不等式f(x)≥0恒成立，求实数[答案]解：由题意f(0)=b=1,所以因为对于任意的实数x,不等式f(x)≥0恒成立，即因此只需Δ=a2-4≤0所以实数a的取值范围是[-2,2].（2）若对于任意的a∈[-8,-7],不等式f(x)+11≤0恒成立，求实数[答案]令g(a)=f(x)+11=ax若g(a)=ax+x2+12≤0对于任意的a所以实数x的取值范围是[3,4].【综合运用】9.已知集合P={x|2x+1>xA.(1,2) B.(2,4) C.(2,5) D.(1,4)[解析]解：对于P，x≥-12，当x≤1时恒成立；当x>1时，平方得0<x<4,故P=[-12,4).由10.已知不等式x-2x-1≤12的解集为M，关于x的不等式ax2-x+1>0A.(0,+∞) B.(14,+∞) C.(2[解析]解：x-2x-1≤12⇒x-因为M∪N⊆N，所以M⊆N，由题意可得a即a>x-1x2在x∈(1,3]上恒成立，故只需a>(x-1x2)max,令f故选B.11.[2023届陕西咸阳高三上阶段性检测]若关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解，则实数[解析]解：（方法一）m>2x-x=h(x)在[1,2]上有解，则m>h(x)（方法二）由题可得f(x)=x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解，若f(x)>0在[1,2]上无解，由于f(x)的图象开口向上，故只需1+故填(-1,+∞)12.某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是(B)A.(10,20) B.[15,20) C.(18,20) D.[15,25)[解析]解：由题意，得x[45-3(x-15)]>600，即x2-30x+200<0,所以(x-10)(x13.若不等式sin2x-asinx+2≥0对任意的x[解析]解：设t=sinx，因为x∈(0,π即不等式t2-at+2≥0即a≤t2+2t由对勾函数知y=t+2t在t∈(0,1]上单调递减，故ymin=1+2【拓广探索】14.若函数f(x)=(x-3)(ax-b)[解析]解：因为f(x)=(x-3)(ax-b)=ax所以f(x因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以由f(2-x解得x<-1或x>5（或由2-x>3或所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,+∞).故填(-∞,-1)∪(1.5基本不等式掌握基本不等式ab≤a+【教材梳理】1.基本不等式如果a>0,b>0,那么ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.该式叫基本不等式，其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数2.几个重要不等式重要不等式使用前提等号成立条件a2+a,baba+ababa+abaab≤(a,ba(a+a,ba3.基本不等式求最值（1）设x,y为正数，若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P（2）设x,y为正数，若和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值【常用结论】4.常用推论（1）(a+（2）a2（3）|2ab（4）21即有：正数a,b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.5.三元均值不等式（1）a+（2）a3以上两个不等式中a,b,c∈R,当且仅当a=6.二维形式柯西不等式:若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）∀a,b∈R,(（2）a≥0，b≥0，则a2（3）函数y=x+1x（4）函数y=cosx+4cosx（5）“x>0且y>0”是“xy+yx2.（教材题改编）已知a,b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是A.a2+b2 B.2ab C.[解析]解：因为a,b∈(0,1)，所以a2<a,b2<b，a<a,当a≠b时，由均值不等式可知a+b2由上可知,a+b>2ab>2所以四个式子中a+b最大.3.（教材题改编）设x>0,则3-3x-1xA.3 B.3-22 C.-1 D.[解析]解：因为x>0,所以y=3-3x-1x=3-(3x+1x4.（教材题改编）点(m,n)是一次函数y=1-x[解析]解：由题意可知m+n又因为2m>0,2所以2m+2n≥22m⋅2n所以2m+2n的最小值是22考点一利用基本不等式求最值命题角度1直接求最值例1已知a>0，b>0，且4a+b=1[解析]解：（方法一）因为a>0，b>0，4a+b=1，所以1=4a+b≥24ab=4ab，当且仅当4a=b=12，即（方法二）因为4a+b=1，所以ab=14⋅4a⋅b≤14(4a+b2【点拨】在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.变式1.直角边之和为12的直角三角形面积的最大值为(B)A.16 B.18 C.20 D.不能确定[解析]解：设直角三角形的两直角边为a,b，面积为S，则a+bS=1当且仅当a=b=6时，等号成立命题角度2配凑法求最值例2（1）已知x>2，则函数f(x)=xA.2+2 B.2+22 C.2 D.[解析]解：当x>2时，f(x)=x+12所以f(x)的最小值为2+2（2）已知a>0,b>0,则ba+[解析]解：当a>0,b>0时，ba+4aa+b=a【点拨】常见的配凑有配系数、常数项、平方等.遇到分式，关键在于配出互倒的结构，再用基本不等式求解.变式2.（1）已知x<54，则f(xA.0 B.1 C.3 D.5[解析]解：因为x<54，所以5-4x>0，则f(x)=4x-2+14（2）若0<x<12，则y=A.1 B.12 C.14 D.[解析]解：因为0<x<12，所以y=x1-4x2=x2(1-4x2)=12（3）函数y=x2+2[解析]解：当x>1时，y=(x2-2x+1)+(2x-2)+3x-命题角度3常数代换求最值例3（1）设正实数m，n满足m+n=2，则nm+A.32 B.52 C.54[解析]解：因为m+n=2，所以nm+12n=nm+m+n4n（2）已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)+f(A.23 B.43 C.2 D.[解析]解：因为f(2a)+f(b-4)=0，所以f所以f(2a所以2a=4-b，即所以2(a+1)+所以1a=1≥16当且仅当ba+1=4(a+1)b所以1a+1+2b的最小值是【点拨】在求最值中,如果两个代数式中一个是整式ax+by,另一个是分式mx+ny,则常凑出可以使用基本不等式的形式：变式3.（1）[2023届江西上饶六校联