备战2025年高考数学一轮复习第六章数列

第六章数列6.1数列的概念通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.【教材梳理】1.数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}2.数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an+1>递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an+1<常数列各项都相等的数列，即恒有an+1=按其他标准周期数列一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an+T=a按其他标准有界（无界）数列任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R,摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法表示法定义列表法列出表格表示n与an图象法把点(n,公式法通项公式an递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如an+1=f(4.an与Sn数列{an}的通项an与前nan5.常见数列的通项（1）1，2，3，4，…的一个通项公式为an=（2）2，4，6，8，…的一个通项公式为an=（3）3，5，7，9，…的一个通项公式为an=（4）2，4，8，16，…的一个通项公式为an=(5)-1,1,-1,1,…的一个通项公式为an=（6）1,0,1,0,…的一个通项公式为an=（7）a，b，a，b，…的一个通项公式为an=（8）9,99,999,…的一个通项公式为an=【常用结论】6.累加法与累乘法（1）已知a1且an-an-1=（2）已知a1且anan-1=f注：以上两式要求{f(n7.数列最值：若an≥an+1,an≥an-1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）1,2,1,2是一个数列. (√)（2）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列. (×)（3）一个数列只能有一个通项公式. (×)（4）任何一个数列，不是递增数列就是递减数列. (×)（5）若数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*2.（教材例题改编）已知数列{an}的通项公式为an=2n2A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项[解析]解:由题知,2n2+n=110，n2+n=203.（教材题改编）已知数列1,-1,34,-12,516,…，照此规律，数列的第A.-18 B.-116 C.-[解析]解：1=120，-1=-221，34=322，-12=-423，54.试写出一个先减后增的数列{an}的通项公式an=[解析]解：若数列{an}先减后增，结合二次函数、对勾函数的性质分析，数列{an}的通项公式可以为a故填n2-6考点一由前n项归纳数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式.（1）-1，7，-13，19，[答案]解：偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(-1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a（2）23，415，635，863，10[答案]这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为an=（3）5，55，555，5555，[答案]将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为（4）0,2，2，6，22，…[答案]原数列为0,2,4,6,8,…,故数列的一个通项公式为an=（5）-1，1，-2，2，-3，3[答案]根据题意，当n=2k-1时，an=-k=-n+1【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n},{2n},{(-1)n},{2n},{n2},{2n-1}等;②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系;③若第n项和第n+1项正负交错，那么用符号(-1)n或(-1)n+1来适配;④对于较复杂数列的通项公式，可使用变形、添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳;⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列变式1.写出下列数列的一个通项公式.（1）3,5,9,17,33,…[答案]解：an=（2）23,-1,107,-179[答案]由于-1=-55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n+1}，分子为2,5,10,17,26,…,即{n2+1}.符号看作各项依次乘1，-1，1，-1，（3）0.8,0.88,0.888，…[答案]将数列变形为89(1-0.1)，89(1-0.01)，89(1-0.001)，（4）1，2，7，10，13，…[答案]根据题意，数列即1，4，7，10，13，…，故通项公式为an=（5）1,0，13，0，15，0，17，0[答案]把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0考点二由an与Sn例2（1）已知数列{an}的前n项和Sn=A.an=2nC.an=0,n[解析]解：当n≥2时，an当n=1时，a1=所以数列的通项公式为an故选D.（2）记Sn为数列{an}的前n项和.若a1=1，an=[解析]解：因为an=2Snn所以(n+2)a②-①可得，(n+2)an+1-(n+1)an=2an+1，n（3）已知数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn.若S[解析]解：由Sn+1=2Sn两式相减得an+1又S2=a1+所以数列{an所以an=2,n【点拨】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).若a1变式2.（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2[解析]解：当n=1时，a1由an=可得an=当n=1时，a1=2×所以数列{an}的通项公式故填an=（2）已知数列{an}满足12a1+1A.an=2nC.an=14,n[解析]解：由题意，设Sn=12当n≥2时，Sn-1①-②得，an2n=2n当n=1时，a1=14综上可知，an=14,（3）已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足：[解析]解：由已知可得(Sn+1-Sn)-(Sn所以数列{an}是以a1=2为首项，1为公差的等差数列，即an（4）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，a[解析]解：因为an+1=SnSn+1，所以an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1，所以Sn+1-S考点三由递推公式求通项公式例3写出下面各数列{an}（1）a1=2，a[答案]解：由题意得，当n≥2时，an所以an=又a1=2=因此an=（2）a1=1,[答案]由题设知an≠0,则aa2aan+1又a1=1,则an+1=（3）a1=1，a[答案]（方法一）（累乘法）an+1=3an+2，得所以a2+1a1+1=3，a3+1a2+1将这些等式两边分别相乘得an+1因为a1=1，所以a即an+1所以an=2×又a1=1故数列{an}的一个通项公式为（方法二）（迭代法）an+1即an=…=3n所以an=2×又a1=1故数列{an}的一个通项公式为（4）a1=2，[答案]an+1=an1+3an，易知an≠0，两边取倒数得1an+1=3+1an，即1an【点拨】已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，一般用累加法求通项；当出现anan-1=f(n)时，一般用累乘法求通项.根据形如an+1=AanBa变式3.写出下面各递推公式表示的数列{an}（1）a1=2，a[答案]解：因为当n≥2时，an所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(（2）a1=1，a[答案]因为an+1an=2n，所以a2a1=将这n-1得ana1=2当n=1时，适合.故an（3）a1=1，a[答案]由题意知an+1+1=2(an+1)，所以数列{an+1}是以（4）a1=23[答案]由an+1=2anan+2知an≠0，两边取倒数得1an+1-1a考点四数列的单调性与最值例4（1）已知数列{an}中，an=1+1a+2(n-1)（Ⅰ）若a=-7，求数列{a[答案]解：因为a=-7，所以an结合函数f(x可知1>a1>a2所以数列{an}中的最大项为a5=2（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有an≤a[答案]解：an=1+因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)=1+12x-2-（2）在数列{an}（Ⅰ）若an≥an-1[答案]解：因为an>0,则anan-1≥1(n≥2)，即(n+1)(10（Ⅱ）求数列{an}[答案]解：令anan+1≥1，即(n+1)(1011)n(n+2)(1011)n+1≥1，整理得n+1n+2≥1011，解得n【点拨】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.变式4.（1）已知数列{an}（Ⅰ）数列{an[答案]解：因为an=-(n-52)2+1534(又a2=a3=38，故数列{an}（Ⅱ）若am<0，求正整数m[答案]解：因为函数f(x)=-x2所以数列{an}从第又a1=36>0，a2=a3=38>0，a8=8>0即正整数m的最小值是9.（2）已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1（Ⅰ）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn[答案]解：因为xn+2所以a2xn=(a+1)xn又上式对任意的x1≠-1都成立，所以a2-1=0（Ⅱ）当a=1时，若x1>0，数列{[答案]解：数列{xn}因为x1>0,xn+1=又因为xn+1-xn=考点五数列的周期性例5已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an+1=an-1anA.504 B.294 C.-294 D.-[解析]解:因为a1=2，an+1=an-1an+1，所以a2=13，a3=1因为1008÷4=252，所以S1【点拨】解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解.待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.如本例中an+1=an-变式5.【多选题】已知Sn是{an}的前n项和，a1=2,A.a2023=2C.a3na3n+1a[解析]解：因为a1=2，所以a2=1-1a1=12，a3=1-1a2=-1，aa2023=S2023=674(a3na3n+1a【巩固强化】1.数列23，45，67，89，…A.an=n-1n+1 B.a[解析]解：根据题意，数列23，45，67，89an=2n2.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)A.35 B.11 C.-11 D.-[解析]解:依题意，a6=(-1)63.若数列{an}满足a2n=a2n-1+a2n+1(n∈NA.-1，0，1，0，-1，0，1，… B.1，2，1，3，5，2，3，C.0，0，0，0，0，0，0，… D.2，1，-1，0，1，2，1，…[解析]解：因为数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，故不符合条件的只有B.故选B.4.正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2A.0 B.1 C.5 D.6[解析]解:当n=1时，a1=1,当n≥2时,an-1=2Sn-15.[2023届河北秦皇岛高三上开学摸底]已知数列{an}中，a1=1，且an+1[解析]解：由题意知a2=1+1a1a4=1+1a3a6=-a3=-a8=-a5=2，观察可得数列{an}从第2项开始是以6为周期的数列，故故填-326.【多选题】关于数列{an},下列说法正确的是A.若a1=2,an+1B.若a1=1,an+1C.若a1=1，an>0,且(D.若a1=1,an+1[解析]解：对于A,an+1-an=ln(1+1n)对于B,(an+1+3)=2(an+3)对于C,原式化为[(n+1)an+1-nan](an+1+a对于D,an+12n+1=an2n+127.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn[解析]解：因为Sn=2ana1=1，当n=1时，S1=当n≥2时，Sn-1①-②得an=2an+1所以当n≥2时，an故an故填an8.（教材习题改编）已知函数f(x)=2x-1x，设数列（1）求a2[答案]解：由题意得an=2n-（2）求证：1≤an[答案]证明：由（1）知，an=2-1n，因为n为正整数，所以n≥1,0<1n≤1（3）判断{an}[答案]{an}证明：an=2-1n,an+1【综合运用】9.若数列{an}的通项公式为an=A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项[解析]解：an=nn2+196=1n+196n，而n+196n≥2n⋅19610.九连环是我国从古到今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动量的最少次数，{an}满足a1A.7 B.10 C.12 D.22[解析]解：根据题意，a2=2a1-1=1；a3=2a2+2=411.[2023届浙江名校协作体高三上开学考试]已知数列{an}为递增数列，前n项和Sn=n2+A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(-∞,0] D.(-∞,0)[解析]解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+λ-[(12.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S[解析]解：由题意得Sn+Sn-1=Sn-Sn-1=(Sn-Sn-1)(Sn+S13.已知数列{an}的前n项和为Sn（1）求an[答案]解：由2Sn得2Sn两式相减得2an即an+1所以an+2+an令n=1，可得a1=-6;令n=2所以n为奇数时，an=-6-2(当n为偶数时，an=1-2(即an（2）若bn=|a2n|，对任意的1≤n≤10，n[答案]bn=|a2n当n≥2时，bn令cn=bn+16bn，则当n≥2当n≥4时，cn+1>cn，所以所以t≤41【拓广探索】14.[2022年全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+1α1，b2=1+1α1+1α2，A.b1<b5 B.b3<b[解析]解：（方法一）因为αk∈N*(k=1,2,…)，所以α1<α1+1α2，1α1>1α1+1α2以此类推，可得b1>b3>b5b3>b71α2>1α2+α1+1α2+1α（方法二）令αk=1(k=1,2,…),则b1=2,b2=32,b3=53,b4=85故选D.6.2等差数列1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.【教材梳理】1.等差数列的概念（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an-an-1=d（n∈N（2）等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=2.等差数列的通项公式与前n项和公式（1）通项公式：an=a1+(n-1)d.该式又可以写成an=nd+(a1-d),这表明（2）前n项和公式：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.该式又可以写成S3.等差数列的性质（1）与项有关的性质①等差数列{an}中，若公差为d，则an=am+(n②在等差数列{an}中，若m+n=p+q(③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列，则数列{λ⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak,ak+m,a（2）与和有关的性质①等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和.若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),③{an}为等差数列⇒{Sn④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn【常用结论】4.关于an（1）在等差数列{an}中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an+1=a（2）若an=pn+q（p,q为常数），则{a5.关于Sn（1）等差数列前n项和的最值与{an}①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项（或0），所以将这些项相加即得S②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项（或0），所以将这些项相加即得S③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d（2）{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn（A,B是常数）.若S1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若数列{an}满足a3-a2=（2）已知数列{an}为等差数列，且公差d>0,则{a（3）数列{an}是等差数列，若m+n=2p，m，n，（4）若数列{an}是等差数列，则数列{an（5）Sn=An2+Bn（A,B为常数，A不为0,n∈2.（教材习题改编）已知{an}为等差数列，a1+aA.25 B.50 C.100 D.200[解析]解：2a2=a3.[2020年全国Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2，a[解析]解：因为等差数列{an}中，a1=-2，a2+a6=2a则S10=10a14.[2023届广西高三上西部联考]已知数列{an}满足2an+1=2an[解析]解：由2an+1=2an+1，得an+1-an=1考点一等差数列基本量的计算例1（1）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，A.an=2n-5 B.an=3[解析]解：设公差为d，则4a1+6d=0，a1+4d（2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=2，aA.180 B.-180 C.162 D.-[解析]解:因为a5=2，a所以a1+4d=2,解得a1=10，d=-2所以S20=20(a（3）已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn+1=SnA.72 B.88 C.92 D.98[解析]解：因为Sn+1=Sn+an+3，所以Sn+1-Sn=an+3=an+1，所以an【点拨】①在等差数列五个基本量a1,d,n,an,Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.变式1.（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，满足3a3=5a2A.1 B.2 C.3 D.4[解析]解:设等差数列{an}的公差为d，因为3a3=5a2，S10（2）设Sn是等差数列{an}的前n项和，a4=11，且S3,S5A.145 B.150 C.155 D.160[解析]解:设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11，所以S3=3(因为S3,S5,a22成等差数列，所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d所以S10=10a1（3）已知数列{an}满足an+2-an+1=[解析]解：由题意可知，数列{an}为等差数列，故设数列{an}的公差为d，则a7-a5=4=2d，即d=2，a1=考点二等差数列的判定与证明例2（1）【多选题】设{an}是无穷数列，An=A.若{an}是等差数列，则B.若{An}是等差数列，则C.若{an}是等差数列，则D.若{An}是等差数列，则[解析]解:对于A，若{an}是等差数列，设公差为d，则An=an+an+1=a对于B，若{An}是等差数列，设公差为d'An-An-1=an+an+1-（2）[2021年全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}①数列{an}是等差数列;②数列{Sn注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.[答案]解：选①②作条件证明③：设Sn=an+b当n=1时，a1当n≥2时，an因为{an}是等差数列，所以(a+所以an=a2(2选①③作条件证明②：因为a2=3a1所以公差d=a所以Sn=na1因为Sn+1所以{Sn}选②③作条件证明①：设Sn=an+b当n=1时，a1当n≥2时，an因为a2=3a1解得b=0或b=-当b=0时，a1=a2,an=a2(2n当b=-4a3时，Sn=综上可知,{an}【点拨】等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数；②等差中项法：证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2；③通项公式法：得出an=pn+q（变式2.（1）【多选题】已知数列{an}，{bnA.数列{-an}是等差数列 B.数列C.{an-bn}是等差数列 D.若[解析]解：由等差数列概念知A对，B错，C对，D对.故选ACD.（2）[2021年全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n[答案]证明：由2Sn+1bn=2,得Sn=2bn2bn-1,且由于bn为数列{Sn}所以2b1所以2b1由两式作商得2bn因为bn+1≠0，所以即bn+1-bn=所以数列{bn}是以32为首项，考点三等差数列的性质命题角度1与项有关的性质例3[2023届辽宁六校高三上期初]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+A.150 B.120 C.75 D.60[解析]解：由等差数列的性质可知a6+a7+a8+a9【点拨】利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an+am=2a变式3.[2023届广西柳州市新高三摸底考]记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=0,a4+a5[解析]解：由a3=0，a3+a6=a4+a5=3得a6=3命题角度2与和有关的性质例4（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n>6)，则[解析]解：由题意知a1+aan+a①+②得(a1所以a1+an=36所以18n=324，所以n因为a1+an=36，n从而a9+a10=a1+a（2）（教材例题改编题）Sn为等差数列的前n项和，若S10=2021,S20[解析]解：因为S2020即202320-202110（3）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBnA.2 B.3 C.4 D.5[解析]解：由AnBn=7n+45n+3得，anbn=A2n-1B2n-1=14n+382【点拨】在等差数列{an}中，依据题意应用其前n变式4.（1）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=18，Sn-3[解析]解:因为S3=3a2=18，所以a2=6，又Sn-Sn-3=（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6=-5A.18 B.13 C.-13 D.-[解析]解：由S6=-5S3≠0，可设S6=-5a(a≠0)，则S3=a.因为{an}为等差数列，所以S3,S6-S3,S（3）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别记为Sn与TnA.127 B.3217 C.167[解析]解：依题意，a2+a9命题角度3单调性与最值例5（1）等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5=[答案]解：（方法一）由题意知d<0，因为Sn设f(x)=d由S5=S12由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn又n∈N*，所以当n=8或9时，（方法二）设等差数列{an}的公差为d，由S5=S12Sn=-116因为a1>0，n∈N*，所以当n=8或（方法三）由方法二得d=-1设此数列的前n项和最大，则an即an解得n≤9,n≥8，又n∈N*，所以当n=8或9时，（方法四）由方法二得d=-1又S5=S12所以7a9=0，所以所以当n=8或9时，Sn（2）【多选题】设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3=12，S12<0A.a7<0 B.数列{C.Sn>0时，n的最大值为11 D.数列{Sn[解析]解：S12=12(a1+a12)2=6(a6由A的分析可知，当1≤n≤6时，an>0，当n≥7时，an<0，可知等差数列{an}S11=11(a1+a当n∈[1,11]时，Sn>0，n∈[12,+∞)时，Sn<0，所以当n∈[7,11]时，an<0且递减,Sn+1an+1-Snan=Sn+1an【点拨】求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）看作关于n的二次函数（当A≠0变式5.（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大值的n为[解析]解：由S19>0，S20<0，可知{an}为递减的等差数列.设其公差为d，则d<0.由S19=19×(a1+a19)2>0，S20=20×(a1+a20)2<0，得a1+a19=2a10>0，a（2）【多选题】设Sn是公差为d(d≠0)的等差数列{an}A.若d<0，则数列{SB.若数列{Sn}C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈D.若对任意n∈N+，均有Sn>0[解析]解：因为Sn=若d<0，对应二次函数图象开口向下，由二次函数图象的性质可知，数列{Sn}若d>0，二次函数图象开口向上，无最大项，故若数列{Sn}有最大项，有d当a1<0,d>|a1|时，{若对任意n∈N+，均有Sn>0，则a1>0,若d>0,则Sn+1>Sn恒成立；若d<0,故选ABD.【巩固强化】1.已知{an}为等差数列且a6=12，Sn为其前nA.142 B.132 C.144 D.136[解析]解：因为a6=12，所以S11=2.[2023届河南濮阳高三上阶段测试]已知数列{an}为等差数列，若a1+aA.4 B.6 C.12 D.16[解析]解：设数列{an}的公差为因为a1+a3+a8=9所以a1+故选C.3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若32S3是S2与S4A.-12 B.-10 C.10 D.[解析]解：（方法一）设等差数列{an}的公差为d,因为3S3=S2+S4,所以3(3a1+3×2（方法二）设等差数列{an}的公差为d,因为3S3=S2+S4,所以3S3=S3-a3+S3+a4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=9，S99-S5A.4 B.5 C.6 D.4或5[解析]解：由{an}为等差数列，设公差为d，有S99-S55=a5-a3=2d=-4，即d=-2，又a15.【多选题】下列关于等差数列的命题中正确的有(BCD)A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，cB.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2C.若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kcD.若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1[解析]解：对于A，取a=1，b=2，c=3⇒a2=1，b2=4对于B，a=b=c对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a+c所以(ka+2)+(kc+2)=对于D，a=b=c≠0⇒故选BCD.6.【多选题】已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2aA.a10=0 B.S10最小 C.S7[解析]解：设等差数列的公差为d，则2a1+3a1+6d=6a1+15d，故a1+9d=0，即a10=0，A正确.若a1>0，d<0，则S9=S107.[2020年新高考Ⅰ卷]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}[解析]解：因为数列{2n-1}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{3n-2}是以1首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，6为公差的等差数列，所以{an}8.[2021年新高考Ⅱ卷]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若（1）求数列{an}的通项公式[答案]解:由等差数列的性质可得S5=5a3，则a3设等差数列的公差为d，从而有a2a4=(a从而，-d2=-2d，由于公差不为0数列{an}的通项公式为（2）求使Sn>an成立的[答案]由数列{an}的通项公式可得，a1=2-6=-4由不等式Sn>an即n2-5n解得n<1或n>6，又因为n为正整数，故n【综合运用】9.若x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,b3,y也成等差数列，其中x≠A.23 B.43 C.53[解析]解：依题意，a2-a110.[2022年新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA',BB',CC',DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5图1图2A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9[解析]解：设OD1=DC1=CB1=依题意，有k3-0.2=k1,k所以0.5+3k3-0.34故选D.11.若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bnA.数列{bn}是公差为B.数列{bn}是公差为C.数列{an+bnD.数列{an-bn}[解析]解：根据题意，an=a1+(n-1)d，Sn=na1+n(n-1)由an+bn=32dn+2a1-32又an-bn=12dn-12d是关于故选C.12.[2022届江西五市九校协作体高三第一次联考]已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2SnSn-1[解析]解：因为an+2SnSn-1所以Sn-Sn-1+2SnSn所以数列{1Sn}是以所以1Sn=2n故填12n13.[2023届广东茂名高三上9月大联考]已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1（1）证明:数列{an[答案]解：证明:由题意知a1=1，S因为数列{Snn}为等差数列，公差为d，所以Sn当n≥2时，an当n=1时，a1=S1当n≥2时，an所以数列{an}是首项为1,公差为2（2）若d=12，bn=15-2an，求[答案]若d=12，由（1）知，an=n，由bn≥0所以当1≤n≤7时，bn≥0，当n≥8当1≤n≤7时，T当n≥8时，Tn所以Tn【拓广探索】14.将正偶数从小到大按照如图规律排列，定义排序：有序数组(s,t)表示第s行第t个数（从左起），则2022A.(45,20) B.(46,20) C.(45,21) D.(46,21)[解析]解：观察可得,第n行的最后一个数为n(n因为44×45=1980<2所以2022位于第45行，根据等差数列的性质可知(2022-1所以2022的排序为(45,21).故选C.6.3等比数列1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.【教材梳理】1.等比数列的概念（1）等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即an+1an=（2）等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=2.等比数列的通项公式与前n项和公式（1）通项公式:an=a1qn-1.该式又可以写成an=a1q⋅（2）前n项和公式:Sn当q≠1时，该式又可以写成Sn=a11-q-a11-q3.等比数列的性质（1）与项有关的性质①在等比数列{an}②在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k，m,n,p,③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak,ak+d,④若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为⑤当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg（2）与和有关的性质①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，仍为等比数列，且公比为q②在等比数列中，若项数为2n(n∈③在等比数列中，当qm≠1时，SnSm=1-q④在等比数列中，Sn+m=S【常用结论】4.等比数列的单调性（1）当a1>0，q>1或a1<0，0<（2）当a1>0,0<q<1或a1<0，（3）当q=1（4）当q<0时，它是一个摆动数列5.若Sn=Aqn+B1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）G为a,b的等比中项⇔G2=（2）一个等比数列的公比大于1,则该数列单调递增.(×)（3）任何等比数列前n项和都可以写成Sn(×)（4）如果数列{an}是等比数列，那么数列{an（5）如果数列{an}是等比数列，那么数列{an2.在等比数列{an}中，a2024=-8aA.2 B.-2 C.±2 D.1[解析]解：因为a2024a20213.[2022届河北唐山高三三模]等比数列{an}中，若|a1|=1,8a2A.16 B.-16 C.32 D.-[解析]解：因为8a2+a5=0，所以又因为a2<a5，即-2a1<16所以a1=1，则a故选A.4.写出同时具有下列性质①②的一个数列{an}，则an①am+n=am[解析]解：am+n=aman,则{an}可能为等比数列，又an+1<考点一等比数列基本量的计算例1（1）已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为14，且a5=3a3+4a1A.22023-1 B.22[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，a1+a2又a5=3a3+4a1由①②解得q=2，a1=2，则故S2022=（2）等差数列{an}的公差为d，且满足a3，a5，a8A.12 B.0或12 C.2 D.0[解析]解：因为a3，a5，a所以a52=a3所以(a1-2d)d=0即da1=0或12【点拨】解决等比数列基本运算问题的两种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1分类讨论的思想当q=1时，{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1变式1.（1）[2022年全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-aA.14 B.12 C.6 D.3[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0则{a解得q=12，a1=96故选D.（2）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若数列{Sn[解析]解：根据题意，设等比数列{an}的公比为对于等比数列{Sn-2a1}，其前三项为-a1，a2-a1，a3+a2-a1考点二等比数列的判定与证明例2（1）已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn①{an②{an③{an④{Snn则其中正确结论的个数为(B)A.4 B.3 C.2 D.1[解析]解：因为{Sn}是等差数列，所以2S2=S1因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以公比q=a对于①，an+Sn=a1+na1=(n+1)a1，a对于②，anSn=a1⋅na1=na对于③，an2=a12，an+12=a12，所以a对于④，Snn=na1n=a1，Sn+1n+1=(n+1)a1n（2）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，（Ⅰ）证明：{an+bn[答案]解：证明：由题设得4(an+1+b又因为a1+b1=1，所以{an+由题设得4(an即an+1又因为a1-b1=1，所以{an（Ⅱ）求{an}和{[答案]解：由（Ⅰ）知，an+bn=所以an=bn=【点拨】等比数列的四种常用判定方法定义法若an+1an=q（q为非零常数，n∈N*）或anan-1中项公式法若数列{an}中，an≠0且a通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an=c⋅qn-1（c，前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn=k⋅qn-k（k变式2.（1）【多选题】无穷数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c，其中A.{anB.{anC.{anD.{an[解析]解：当a=c=0且b=1时，Sn=n，由Sn-Sn-1=当b=c=0且a=1时，Sn由(2n-1)(2n+3)=4故选ABC.（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=a①a1=32，4Sn+2a注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.[答案]证明：选条件①：当n=1时，4S因为S1=a1=32当n≥1时，4S4Sn作差可得an+2即bn=则{bn}是首项、公比均为选条件②：由an+2可得an+2因为bn=an+则bn+1所以bn-3n=则{bn}是首项、公比均为考点三等比数列的性质命题角度1与项或和有关的性质例3（1）已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3-a72+2a11[解析]解：因为{an}为等差数列，所以a3+a11=2a7，所以已知等式可化为4a7-a72（2）已知正项等比数列{an}的公比为3，且a1a2A.3252 B.3212 C.3[解析]解：因为a1a2…a20=(a因此，a4a8a（3）[2020年全国Ⅰ卷]设{an}是等比数列，且a1+a2+aA.12 B.24 C.30 D.32[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，则a1+a2+a3（4）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2A.9 B.7 C.5 D.4[解析]解：因为S2020S1根据等比数列的性质可知S3030-S2020，S2020-S1010，S1【点拨】①在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列;②等比数列中，依次m变式3.（1）设等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8A.5 B.10 C.20 D.40[解析]解：log3a1+（2）[2020年全国Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12A.2n-1 B.2-21-n[解析]解：q=aSnan=（3）在等比数列{an}中，已知a1+a3=8[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，由已知，得a1+又a9+a11=a1q8+（4）[2021年全国甲卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4，SA.7 B.8 C.9 D.10[解析]解:（方法一）（等比数列性质）因为S2=4≠0，所以q由等比数列性质得S2，S4-S2，S即(6-4)2=4(S6（方法二）（基本量法）设等比数列{an}的公比为q，由题意易知所以a1(1-q2)1-两式相除，化简得1+q2=32，解得q所以S6=a1命题角度2等比数列的函数特性例4【多选题】等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1>1.a99A.0<q<1 B.C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn>1成立的最大自然数[解析]解：对于A，因为a99a100-1>0，所以a因为a1>1，所以q>0.又因为a99-1a100-1<0，所以a对于B，因为a99a101=a1002,0<a对于C，由于T100=T99a100，而0<a对于D，T198=T199=a1⋅a2…【点拨】要理解等比数列与指数函数的关系，及a1和q与等比数列单调性的关系（详见本节【常用结论】）变式4.（1）[2021年全国甲卷]等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]解：若a1=-1，q=1，则Sn=由{Sn}是递增数列，得Sn+1-Sn=故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.（2）[2022年上海春招]已知{an}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，前nA.若S2022>SB.若T2022>TC.若数列{Sn}单调递增,D.若数列{Tn}单调递增,[解析]解：由题意可知a1≠0,q≠0,则对于A,若S2022>S2021，则S对于B,若T2022>T2021>0，则对于C,若数列{Sn}单调递增，则an>0恒成立，当a1>0，且0<q<1时，满足对于D,若数列{Tn}单调递增，则a1>0，且当n≥2时an>1恒成立，则必有q故选D.（3）已知{an}是首项为16，公比为12的等比数列，{bn}是公差为2的等差数列.若集合A={n[解析]解：{an}是递减数列，{bn}是递增函数，故a1>b1，a2>b2，a3>b3，an≤bn(n≥4).故只需命题角度3等比数列中的最值（范围）问题例5已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和SA.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)[解析]解：设等比数列{an}的公比为S3=当q>0时，S3=1+q+当q<0时，S3=1-(-q-1q)≤1-2(-q)⋅(-1【点拨】等比数列中的最值（范围）问题，要抓住基本量a1,q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域变式5.各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a[解析]解：因为{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a3a4=a2+a3+a4，所以a33-a3=a2+a【巩固强化】1.[2023届江西“红色十校”高三上第一次联考]记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若7S2A.13 B.12 C.2 D.[解析]解：正项等比数列{an}中，公比q>0，由7S2=3S3得7(a1+a2)=3(a1+a2.【多选题】已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是A.{|an|} B.{anan[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，an+1an=q，所以|a由an+1an+2anan+1=an由an+12an2=q2，得{a当q=-1时，an+an+1=0，此时{3.设正项等比数列{an}满足a4-a3=36A.3 B.12 C.2 D.1[解析]解：设等比数列{an}的公比为q，则a4-a3=a2q2-a2q4.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+A.26 B.24 C.18 D.12[解析]解：（方法一）因为数列{an}是等比数列，设首项为a1，公比为q即a1所以a7=q6因此S9=（方法二）因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列，由题意知S3,S6-S3,S9-5.[2023届湖北武汉高三上九月调研]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S3=3aA.4 B.3 C.2 D.1[解析]解：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由即6a1+a2-2a3=0，即由S8=2S7+2得a8=S7+2，即a1q7=a16.公比q≠-1的等比数列的前3项、前6项、前9项的和分别为S3，S6，S9A.S3+S6C.S3+S6[解析]解：由等比数列的性质可知，S3，S6-S3，S9-S67.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2[解析]解：根据Sn=2an+1，可得Sn+1=2an+1+1，两式相减得an+1=2an+1-2an，即an+1=2a8.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a（1）求数列{an[答案]解：由an+1=2an又由a1+2a2=故数列{an+1}是以a1+1=2为首项，（2）求使得Sn≤121成立的n[答案]由于an=所以Sn=21+22+…-即2n+1-n≤123，解得1≤n【综合运用】9.已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是A.a3+a5≥2a4C.若a3<a5，则a[解析]解：若an=(-1)n，则a1=a3=a5若an=(-1)n+1，则a3=a对于C，由于a3<a5，公比q≠0,q2>0，所以a3q210.[2023届湖北“宜荆荆恩”高三上起点考试]已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}为等比数列，且a1=b1=1,a2=b2A.1078 B.1068 C.566[解析]解：设{an}公差为d(d≠0)，由题意，a1=b1=1,a2=b2,联立可解得d=1，q=2，所以an=1+(n所以{cn}的前10项和为故选A.11.[2022年北京卷]设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>NA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：设无穷等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.若{an}为递增数列，则d>0，则存在正整数N0，使得当n>N0时，an=dn+a1-d12.【多选题】已知等比数列{an}的各项均为正数，a1=20，2a6+a5-a4=0A.数列{an}单调递增 B.数列C.Tn的最大值为T5 D.Tn[解析]解：设公比为q，则2a6+a5-a4又数列{an}的各项均为正数，所以q=12，an=20×(12)Tn+1Tn=an+1=a1qn=20×12n，当n≤4时，Tn+1Tn>1，当n≥5时，Tn故选BC.13.已知数列{an}满足a1=1，（1）求b1，b2，b[答案]解：由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.将n（2）判断数列{bn[答案]{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由：由条件可得an+1n+1=2ann，即bn（3）求{an}[答案]由（2）可得bn=ann【拓广探索】14.小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为r的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为(C)A.(π-2)r2 B.3116([解析]解：设半径从大到小的圆的面积依次为a1,a2,a3,a4,a5,a6,由画图知圆的面积构成一个等比数列，计算得a1=π同理，设边长从大到小的正方形面积依次为b1,b2,b3,b4,b5,b6,也构成一个公比为由图案知夹在面积最大的圆与面积最大的正方形之间的阴影面积为a1-b1=(π-2)(a1-b6.4数列求和及应用1.探索并掌握等差、等比数列前n项和公式，及其推导用到的“倒序相加法”、“错位相减法”和其他一些重要的求和方法.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题.【教材梳理】1.基本求和公式（1）等差等比数列求和公式①等差数列前n项和公式:Sn②等比数列前n项和公式:Sn（2）常见数列的前n项和①1+2+3+…+n=②2+4+6+…+2n=③1+3+5+…+(2n-1)=④12+2⑤132.数列应用问题常见模型（1）单利公式:利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r,存期为x,则本利和y=a（2）复利公式:利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r,存期为x,则本利和y=a（3）产值模型:原来产值的基础数为N，平均增长率为p,对于时间x，总产值y=N（4）递推型:有an+1=f(a（5）数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数（含三角函数）、数列与解析几何等.【常用结论】3.常见的裂项公式（1）1n（2）1(2（3）1n（4）1a（5）n(（6）Cn（7）n⋅（8）an1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）当n≥2时，1n2-（2）如果已知一个数列的通项公式，那么它的前n项和一定可以求解. (×)（3）已知数列{an}是等差数列，则它的前n项和一定是关于n的二次函数形式.（4）如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm=mSk（m,k（5）已知各项不为0的等差数列{an}的公差为d(d≠0)2.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，a2=3A.2×31011-2 B.2×3[解析]解：因为a1=1，a2=3，an+2=3所以S2022=(a13.[2023届广东广州天河区高三一模]若数列{an}满足an=(-1)n-1⋅A.12022 B.12023[解析]解：当n为奇数时，an=1n+1n+1，当n为偶数时，4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数是192.[解析]解：每日所走路程构成以12为公比的等比数列，其前6项和为378，则S6=a1[1-(1考点一分组（并项）法求和例1（1）已知数列an=3×2n,[解析]解：S21=3(2+23+2（2）[2020年全国Ⅰ卷]数列{an}满足an+2+(-1)nan[解析]解：an+2当n为奇数时，an+2当n为偶数时，an+2设数列{an}的前n项和为S16=a=a=8a1所以a1=7.【点拨】分组求和法就是对一类既不是（或不明显是）等差数列，也不是（或不明显是）等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.变式1.（1）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足a[解析]解：由题意，当n=1时，a1a2=3由anan+1=3两式相减，可得an+1整理得an+2所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列，a19=28;偶数项是以3为首项，S20=(1+4+7+…+28)+(3+6+9+…+30)=310.（2）数列{an}的通项公式an=nsinnπ3，其前[解析]解：函数y=sinπ3x以6为最小正周期，又a6m+1+a6m+2+a（3）[2023届湖北黄冈高三上9月调研]已知数列{an}满足an⋅(-1)nA.231 B.234 C.279 D.276[解析]解：由题意可知,当n为偶数时，an+an+2=2n-1所以S20=(a1+a3+…+a19)+(所以a23=故选B.考点二裂项相消法求和例2（1）已知等差数列{an}的通项公式为an=3n+1.若bn=1anan+1A.3n12n+16 B.n12n+16[解析]解：bn=1anan（2）已知等差数列{an}满足a2+a4=6，前7项和S7=28.设bn=[解析]解：设等差数列{an}的公差为由a2+a4=6前7项和S7=28=7a4所以a1+2d=3,所以an=1+1×(bn=所以{bn}前n=(121+1-【点拨】裂项相消求和问题是常考题型.裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整;二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理.常见裂项公式详见【常用结论】.其中等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即1anan+1=1d指数型：(a对数型：logn无理型：1a变式2.（1）[2022届广东高三模拟]已知数列{an}是首项为1的等差数列，其前n项和为Sn，且2S9-3S6=54，记bn=[解析]解：设等差数列{an}的公差为d，则由a1=1得2×9(1+1+8d解得d=2，所以an所以bn=所以数列{bn}的前n项和Tn=1（2）已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，令an=1f(n+1)+f(n)，A.2022-1 B.2022+1[解析]解：由f(4)=2可得4α=2，解得α=1所以an=S2023=考点三倒序相加法求和例3在进行1+2+3+…+100的求和运算时，德国数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列{an}满足an=n2m+4050（nA.m2+506 B.m4+506 C.m[解析]解：因为ai+所以a1+a2【点拨】如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键,就是要能够找出首项和末项之间的关系变式3.（1）[2022届河北高三上联测]高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=3，Sn-4=12A.8 B.11 C.13 D.17[解析]解：由题意得，S4+(所以a1+又因为Sn=所以n=17.故选（2）已知函数f(x)=3x3x+1，(x∈R)[解析]解：因为f(x)=3x3x+1，所以f(x)+f(-x)=3x3x+1+3-x3-x+1=1.因为数列{an考点四错位相减法求和例4[2020年全国Ⅰ卷]设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2（1）求{an[答案]解：设{an}的公比为q，由题意得2a1=a2+a3，a1≠0（2）若a1=1，求数列{nan}[答案]设{nan}的前n项和为Sn，a1=1，-2Sn①-②得，3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2【点拨】错位相减法适用于通项为等差等比数列乘积的数列（常称“差比数列”）求和,是等比数列前n项和公式推导所使用的方法.错位相减法的思维难度并不高，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应项并准确计算.变式4.[2022届广东三模]欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1）.例如：φ(1)=1；φ(3)=2（与3互素有1，2）；φ(9)=6（与9互素有1，2，4，5，7，8）.记SnA.192×310+12 B.212[解析]解：因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n-1所以φ(3n)=2×3所以Sn=2×33Sn=2×①-②,得-2S则Sn=2n-1故选A.考点五数列的实际应用例5去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}（1）求数列{an}和数列[答案]解：数列{an}是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，数列{bn}是以6+1.5=7.5为首项，1.5为公差的等差数列，则（2）为了确定处理生活垃圾的预算，求从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨，参考数据1.054≈1.216，1.055≈1.276，[答案]设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn则Sn=(a=(20×1.05)×(1-=420×1.05n当n=5时，Sn所以今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.4万吨.【点拨】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答.增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决.变式5.某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In策略A:环境整治，“虫害指数”数列满足In策略B:杀灭害虫，“虫害指数”数列满足I当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数I1∈[1,8][答案]解：由题意可知，使用策略A时，I2=1.02I1-0.20；使用策略令1.02I1-0.20-(1.08I1-0.46)>0⇒I1<133，即当I1∈[1,（2）设第一周的虫害指数I1=3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？[答案]由（1）可知，最优策略为策略B，即In+1=1.08In-0.46,In+1-234=1.08(In-234)，所以数列{In学科素养·数列中的探索创新典例[2021年新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm[解析]解：由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3,20×32，共4种不同规格（单位dm2）.故对折由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为120×(12)n-1，对于第n设S=∑nk=1两式作差得,12=240+60(1-=360-120(n因此，S=720-240(n+3)2n=720-15(n【点拨】剪纸问题通过对折1次，对折2次找到规律，联想到等比数列，并转化为数列求通项、求和问题，二进制类似.探索与创新问题，审题是第一关，读懂题、理解题干所表达的含义是关键，第二关是找到所给数列的特征，从而找到切入点，需要有较强的抽象概括、数学分析、逻辑推理和知识转化的能力，体现高考服务于社会、选拨人才的功能.变式.[2021年新高考Ⅱ卷]【多选题】设正整数n=a0⋅20+a1⋅2A.ω(2n)=ω(C.ω(8n+5)=ω[解析]解：（方法一）因为2n=a0⋅21当n=2时，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，所以ω(7)=3.因为8n+5=a0⋅因为4n+3=a0⋅22因为2n-1=1⋅20+1⋅21（方法二）根据题意得n(10)=ω(n)为n对于A，2n在二进制意义下为末尾添0，不改变各位数字之和，A对于B，2n+3是二进制意义下末尾添0，然后加上11(2)，可能会改变各位数字之和，如10(2)对于C，8n+5是二进制意义下末尾添000，再加上101，4n+3是二进制意义下末尾添00，再加上对于D，(2n-1)(10)=11⋯故选ACD.【巩固强化】1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)A.15 B.12 C.-12 D.-[解析]解：因为an=(-1所以a1+a2=-2+5=3，a3+a4=-8+11=3因此a1+a22.数列{an}，{bn}满足anbn=1，aA.14 B.512 C.34[解析]解：bn=1an=1n2+33.如果数列{an}的通项公式为an=22n-1A.99100 B.199200 C.200201[解析]解：因为an=所以an2所以S100=(1-134.12+2A.2n-n2n B.2n+1[解析]解：设Sn=得12S两式相减得12S所以Sn=2n5.数列{an}的通项