人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：第四章指数函数与对数函数

Chapter4

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

4.1.1〃次方根与分数指数幕

【学习目标】1.理解"次方根、〃次根式的概念2能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会

根式与分数指数嘉之间的相互转化.

知识梳理梳理教材夯实基础

-------------------------------------------------------------N------------------

知识点一〃次方根、“次根式

1.〃的"次方根的定义

一般地，如果那么x叫做。的“次方根，其中且"WN*.

2.。的"次方根的表示

n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围

n为奇数n

”为偶数『0,+°°)

3.根式

n

式子也叫做根式，这里〃叫做根指数,a叫做被开方数.

知识点二根式的性质

n

1.啦=Q（”eN*,且〃>1）.

n

2.（也）"=4（a>0,nSN*.且〃>1）.

3.^=a（n为大于1的奇数）.

_[a,a20,

4.亚=同=火0（〃为大于1的偶数）.

知识点三分数指数幕的意义

竺〃

正分数指数幕规定：=亚(a>0,m,"£N*,且〃>1)

上11

分数指数幕规定：a"——(a>0,tn,,且〃>1)

负分数指数累mn

an

0的分数指数幕0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数幕无意义

知识点四有理数指数幕的运算性质

整数指数累的运算性质，可以推广到有理数指数累，即：

(1)"％'=优七'(4>0,r,sdQ)；

(,2)(ay=arXa>0,r,seQ)；

(3)(潮=/砥。>0,b>0,r£Q).

L思考辨析判断正误------------------------1

1.当"6N"时，(/5)”都有意义.(*)

63

2.(—2尸=(—2尸.(X)

3.a2-a2=a.(X)

m

4.分数指数寐a；可以理解为如个a相乘.(X)

n

I题型探究------------------启迪思维探究重点

一、”次方根的概念

例1(1)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则”+匕=.

『答案』7或一11

『解析』81的平方根为-9或9,

即°=-9或9,

—8的立方根为一2,即匕=—2,

—11或7.

4_____

(2)若正工有意义，求实数x的取值范围.

4_____

解•：小-2有意义,

・・衣一220,

.322,

即x的取值范围是［2,+°°).

反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一

个.

(2)符号：根式缶的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.

①当”为偶数，且时，,为非负实数；

②当"为奇数时，、。的符号与a的符号一致.

跟踪训练1(1)已知丁=8,则x等于()

777

A.2rB.小C.-V8D.+V8

『答案』B

7

『解析』因为7为奇数，8的7次方根只有一个乖.

4

(2)若、2x+5有意义,则x的取值范围是；

5______

若派不有意义，则X的取值范围是.

『答案』［一|，+8)R

二、利用根式的性质化简或求值

例2化简：

(1):(3-兀,；

b)\a>b)；

(3)(/-1)2+、(1—a)2+、(—a)3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4

解(1而三系=|3—兀|=兀一3.

(2),:a>b,/.yl(a~b)2=\a—h\=a—b.

(3)由题意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—a=a~1~\~a—1+1—a=a—1.

反思感悟(1)〃为奇数时(缶)"=亚="，4为任意实数.

(2)〃为偶数时，a》0,(：%)"才有意义，且(：％)"=〃；

而a为任意实数时后均有意义，且折=间.

跟踪训练2化简:

7

(lh/(-2)7；

4__________

⑵，(3。-3)4g)；

34________

(3啦+、(1—”.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

解(lA/(-2)7--2.

4__________

(2)：aWl,：.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l\=3-3a.

1,aWl,

2a~1,a>\.

三、根式与分数指数鬲的互化

例3(1)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

A.—y[x=(-x)2(x>0)

61

B.^/p=y3(y<0)

D.x3=­5(/0)

『答案』C

£

『解析』-y[x=(x>o)；

611

8=(ly|2)6=-y3(><0)；

X3

⑵将下列根式化成分数指数幕的形式(其中。>0,b>0).

34

①

3

③(也F/P.

34112.

解®\[a-yl(i=a3-a4=a12-,

II17

②原式=-aA-a^=a^;

(I、2।373

③原式=ai•泊•后="庐.

反思感悟根式与分数指数幕的互化

(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数蕊的形式，然后利用有理数

指数赛的运算性质解题.

跟踪训练3把下列根式表示为分数指数幕的形式，把分数指数哥表示为根式的形式：

(1)(。一/?)-“伍＞6)；(2/-1＞；

3

⑶广;(4)(a-h)1.

y[cr

解(1)(«-/＞)

y/(a-b)3

(2)"一1)5=(x-1)3；

2

0)7-=a3.

⑷(a-匕)7=7(a—b)3.

随堂演练基础巩固学以致用

------------------------------------N----------

1.已知y(a—b¥=a—b,则()

A.a>hB.a^h

C.a<bD.aWb

『答案』B

一解析』yl(a-b)2=\a-b\=a—b,

所以a—所以故选B.

4________4__________54

2.在6/(—4)2"；(2h/(-4)2n+l,⑤沂，④而中，"6N*,"CR时各式子有意义的是()

A.①②B.①③

C.@@③④D.①②④

『答案』B

3.化简小工的结果为()

A•—或B.-y]—aC.yj—aD.yfa

考点根式与分数指数幕的互化

题点根式化为分数指数基

『答案』A

『解析』显然

2

'=-

雄)f—)3+肌9T=.

1Q

『答案』-y

1=J9